燕山大学里仁学院运筹学考题附答案.docx
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燕山大学里仁学院运筹学考题附答案
科目
运筹学
班级
姓名
学号
时间
题号一二三四五总分
分数
一、(25分)给出下列线性规划的最优单纯形表,如表1所示。
其中x4,X5分别为第一、第二
约束方程中的松弛变量。
maxz=5为8x26x3
X!
x2x3_12
2x22x3_20
Xi,X2,X3一0
表1
CjT
5
8
6
0
0
Cb
基(Xb)
b
X1
X2
X3
X4
X5
5
X1
4
1
0
0
2
-1
8
X2
8
0
1
1
-1
1
Cj_Zj
0
0
-2
-2
-3
试分析下列各种条件下最优解(基)的变化:
(1)目标函数中变量X3的系数由6变为10;
(2)约束条件右端项由12变为'301;
丿120丿
(3)在原线性规划的约束条件上,增加约束条件:
2x1X23x3-13。
其最优解是否变化?
如变化,求出最优解。
二、(25分)表2中给出了一个运输问题,回答下列问题:
1、求解运输问题的初始基可行解的方法有哪几种,都是什么?
2、对于已经求得的初始可行解进行最优性检验有几种方法,都是什么?
运输规划的基可行解最优的条件是什么?
3、利用最小元素法求下列运输问题的初始基可行解,并检验该初始基可行解的最优性。
表2
销地
产地
Bi
B2
B3
B4
产量
A
3
11
3
10
7
a2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
三、(20分)用Gomory割平面法求解如下整数规划问题,已知该整数规划的松弛问题的最
优单纯形表如表3,其中x3,x4分别为第一、第二约束方程中的松弛变量。
maxz=x1x2
"一捲+x2兰1
3捲+x2兰4
Xi,X2>0
x1,x2取整数
表3
CjT
1
1
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
1
X1
3/4
1
0
—1/4
1/4
1
X2
7/4
0
1
3/4
1/4
Cj_Zj
0
0
—1/2
—1/2
五、(20分)
要求:
(1)用图上计算法计算图2中各事项的时间参数,各工作的时间参数以及时差;
(2)指出该网络图的关键路径。
试题答案
、(25分)给出下列线性规划的最优单纯形表,如表1所示。
其中x4,X5分别为第一、第二约
束方程中的松弛变量。
maxz=5捲8x26x3
X!
x2x3込12
Xi2x22x3一20
Xi,X2,X3-0
表1
CjT
5
8
6
0
0
CB
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
5
X1
4
1
0
0
2
-1
8
X2
8
0
1
1
-1
1
Cj_Zj
0
0
-2
-2
-3
试分析下列各种条件下最优解(基)的变化:
(1)
目标函数中变量X3的系数由6变为10;
(3)在原线性规划的约束条件上,增加约束条件:
2x1x23x^113。
其最优解是否变化?
如变化,求出最优解。
解:
(1)题意即为c3由6变为10,此时最优单纯形表1变为下表:
CjT
5
8
10
0
0
CB
Xb
b
x
X2
X3
X4
X5
5
X1
4
1
0
0
2
-1
8
X2
8
0
1
【1】
-1
1
Cj_Zj
0
0
2
-2
-3
这时原方案已不再是最优方案,再经过一次迭代,得到最终单纯形表:
—
5
8
10
0
0
CB
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X
5
X1
4
1
0
0
2
-1
10
X3
8
0
1
1
-1
1
Cj_Zj
0
-2
0
0
-5
由最终单纯形表可得,此时最优解变为:
X^(4,0,8,0,0f,目标函数最优值变为:
maxz=1°0
(2)题意即为b由12变为30,此时最优单纯形表1中的b列向量将变为:
最终单纯形表由表1变为下表:
(2分)
CjT
5
8
6
0
0
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X
5
X1
40
1
0
0
2
—1
8
X2
—10
0
1
1
[—1】
1
Cj-Zj
0
0
—2
—2
—3
这时原方案已不是最优方案,用对偶单纯形法再迭代一次,得到最终单纯形表:
5
8
10
0
0
CB
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
5
X1
20
1
2
2
0
1
0
X4
10
0
—1
—1
1
—1
Cj_Zj
0
—2
—4
0
—5
由最终单纯形表可得,此时最优解变为:
X"二20,0,0,10,0T,目标函数最优值变为:
max^100
(3)增加新约束条件:
2x1x23x3_13后,原最优解不满足新约束条件,即16>13不成
立,故原最优解会发生变化。
(1分)
新约束加入松弛变量X6标准化:
2xiX23x3x^13,置于表1得下表:
CjT
5
8
6
0
0
0
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
5
X1
4
1
0
0
2
-1
0
8
X2
8
0
1
1
-1
1
0
0
X6
13
2
1
3
0
0
1
Cj-Zj
0
0
-2
-2
-3
0
将基变量&,X2,X6所对应的列向量变为单位向量,经计算得下表
CjT
5
8
6
0
0
0
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
5
X1
4
1
0
0
2
-1
0
8
X2
8
0
1
1
-1
1
0
0
X6
-3
0
0
2
[-3】
1
1
Cj-Zj
0
0
-2
-2
-3
0
再利用对偶单纯形法计算得下表:
(3分)
CjT
5
8
6
0
0
0
Cb
Xb
b
Xi
X2
X3
X4
X5
X6
5
Xi
2
1
0
4/3
0
—1/3
2/3
8
X2
9
0
1
1/3
0
2/3
—1/3
0
X4
1
0
0
—2/3
1
—1/3
—1/3
Cj_Zj
0
0
—10/3
0
—11/3
—2/3
用对偶单纯形法求出新的最优解为:
*T
X=2,9,010,0,目标函数最优值变为:
maxZ=82。
二、(25分)表2中给出了一个运输问题,回答下列问题:
1求解运输问题的初始基可行解的方法有哪几种,都是什么?
2、对于已经求得的初始可行解进行最优性检验有几种方法,都是什么?
运输规划的基可行解最优的条件是什么?
3、利用最小元素法求下列运输问题的初始基可行解,并检验该初始基可行解的最优性。
表2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3
10
7
a2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
1答:
求解运输问题初始基可行解有三种方法:
最小元素法、西北角法和沃格尔法。
2、答:
初始基可行解的最优性检验有两种方法,它们是:
闭回路法以及位势法。
最优条件是所有检验数都非负。
(3分)
3、解:
此问题是一个产销平衡问题,应用最小元素法求得的初始基可行解如下表:
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A
4
3
7
A2
3
1
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
F面应用闭回路法或位势法计算得各个空格的检验为:
11=1;;-12=2;;-22=1;;-24=-1;;-31=10;33=12°
此时还存在负检验数二24二-1,该初始基可行解不是最优解,还需进一步改进。
三、(20分)用Gomory害叩面法求解如下整数规划问题,已知该整数规划的松弛问题的最优
单纯形表如表3,其中X3,X4分别为第一、第二约束方程中的松弛变量。
maxz=Xrx2
"一洛+x2兰1
3捲+x2兰4
X1,X2-0
X1,x2取整数
表3
Cjt
1
1
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
1
x
3/4
1
0
—1/4
1/4
1
X2
7/4
0
1
3/4
1/4
Cj_Zj
0
0
—1/2
—1/2
解:
由表3可知,此整数规划的松弛问题的最优解不是整数规划的解。
利用Gomory割平面法,
由于两个常数项具有相等的非负真分数部分,任从
将常数项都分解成整数和非负真分数之和,其中的一行,如第一行,产生割平面约束:
3(3
—X3
4<4
引入松弛变量x5,得割平面方程:
313
X3X4X5:
444
将这个新的约束条件反映到表3中,再用对偶单纯形法进行迭代得下表:
(
CjT
1
1
0
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X
1
X1
3/4
1
0
—1/4
1/4
0
1
X2
7/4
0
1
3/4
1/4
0
0
X5
-3/4
0
0
[—3/4】
—1/4
1
Cj-Zj
0
0
—1/2
—1/2
0
1
X1
1
1
0
0
1/3
—1/3
1
X2
1
0
1
0
0
1
0
X3
1
0
0
1
1/3
—4/3
Cj-Zj
0
0
0
—1/3
—2/3
由上表可得:
X=(1,1,1,O,OT,已为整数解,且maxz=2。
四、(10分)应用Dijkstra算法求图1中从v1到v6的最短路径(只需在图上标号并指出最短路
V2
V4
径),
2
解:
用Dijkstra算法求解过程如下:
(每个顶点P标号正确得1分)
(1)首先给V以P标号,给其余所有点T标号。
P(Vi)=0T(Vj)=(j=2,3|||,6)
(2)T(V2)=min[T(V2),P(vJ「]=min[:
:
03]=3
T(V3)=min[T(V3),P(vJ"13]=min[:
:
05]=5
(3)P(V2)=3
(4)T(V3)=min[T(V3),P(V2)G]=min[5,31]=4
T(v4)=min[T(v4),P(v2)l24]=min[:
:
32]=5
T(V5)=min[T(V5),P(V2)J5]=min[:
:
32]=5
(5)P(V3)=4
(6)TW5)=min[T(V5),PW3)G]=min[5,44]=5
(7)PM)=5P(V5)=5
(8)TM)=min[T(V6),Pg)G]=min[:
:
54]=9
(9)TM)=min[T仏),P")圖=min[:
:
52]=7
(10)P(V6)=7
反向追踪得V1到V6的最短路径为:
V1》V2'V5'V6o
五、(20分)
55
911
1111
1818
(2)该网络图的关键路径为:
①t②t④t⑥t⑦。
(3分)
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