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小波讲义
小波分析(waveletanalysis),或小波变換(wavelettransform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(motherwavelet)的振波形来表示信号。
该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。
小波一词由Morlet和Grossman在1980年代早期提出。
英文称为“wavelet”。
多数情况下,需要要求
连续且有一个矩为0的大整数M,也即对所有整数m 这表示母小波必须非0且均值为0。 技术上来讲,母小波必须满足可采纳性条件以使某个分辨率的恒等成立。 母小波的一些例子: 母小波缩放(或称膨胀) 倍并平移b得到(根据Morlet的原始形式): 小波变换分成两个大类: 離散小波變換(DWT)和连续小波变换(CWT)。 两者的主要区别在于,连续变换在所有可能的缩放和平移上操作,而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 小波理论和几个其他课题相关。 所有小波变换可以视为时域频域表示的形式,所以和调和分析相关。 所有实际有用的离散小波变换使用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段(filterbank)。 构成CWT的小波受海森堡的测不准原理制约,或者说,离散小波基可以在測不準原理的其他形式的上下文中考虑。 波的发展和几条不同的思路相关,最早的是Haar在20世纪早期的工作。 对小波理论有突出贡献的有Goupillaud,Grossman和Morlet的表述,现在称为CWT(1982),Strömberg在离散小波上的早期工作(1983),多贝西(Daubechies)的紧支撑正交小波(1988),Mallat的多分辨率框架(1989),DelpratCWT的时域频域解释(1991),Newland的调和小波变换和之后的很多其他人。 [编辑]时间线 ∙第一个小波(Haar小波)由AlfredHaar给出(1909年) ∙1950年代以来: JeanMorlet和AlexGrossman ∙1980年代以来: YvesMeyer,StéphaneMallat,英格丽·多贝西(IngridDaubechies),RonaldCoifman,VictorWickerhauser 小波 小波(Wavelet)这一术语,顾名思义,“小波”就是小区域的波,而且是长度有限、均值为0的波形。 所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式。 如下图 正弦波 Meyer小波 Morlet小波 或频域形式: Marr小波(也叫墨西哥草帽小波) Haar小波 简单来说,小波函数必须满足下列条件: (1) 也即 并单位化, (2) 也即 (3) , 小波变换的反变换及对基本小波的要求 小波变换区别于某些常用变换(如傅里叶变换、拉氏变换)的一个特点是没有固定的核函数,但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波 。 任何变换都必须存在反变换才有实际意义,但反变换并不一定存在,对小波变换而言,所采用的小波必须满足所谓“容许条件”(admissiblecondition),反变换才存在。 容许条件: 正规性条件(regularitycondition) 本来满足容许条件的 便可用作基本小波,但实际上往往要求更高些,对 还要施加正规性条件,以便 在频域上表现出较好的局域性能。 也就是要求 , 且 越大越好。 光滑紧支撑正交小波 的构造 满足 (1) 是中的标准正交基; (2) 满足双尺度方程 , (3) 且 (4) 是紧支撑的。 与Fourier变换相比,小波变换是时间(空间)频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。 有人把小波变换称为“数学显微镜”。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的,通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式,当时未能得到数学家的认可。 正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到? ? 名数学家J.L.Lagrange,P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。 幸运的是,早在七十年代,A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备,而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基;1986年? ? 名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基,并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法? ? 多尺度分析之后,小波分析才开始蓬勃发展起来,其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲(TenLecturesonWavelets)》对小波的普及起了重要的推动作用。 它与Fourier变换、视窗Fourier变换(Gabor变换)相比,这是一个时间和频率的局网域变换,因而能有效的从信号中提取资讯,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(MultiscaleAnalysis),解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题,从而小波变化被誉为“数学显微镜”,它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域,经过近10年的探索研究,重要的数学形式化体系已经建立,理论基础更加扎实。 与Fourier变换相比,小波变换是空间(时间)和频率的局部变换,因而能有效地从信号中提取信息。 通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析,解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。 数学家认为,小波分析是一个新的数学分支,它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶;信号和信息处理专家认为,小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术,它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 [C]小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。 现在,它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域,它的重要方面是图象和信号处理。 现今,信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分,信号处理的目的就是: 准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。 从数学地角度来看,信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号),在小波分析地许多分析的许多应用中,都可以归结为信号处理问题。 现在,对于其性质随实践是稳定不变的信号,处理的理想工具仍然是傅立叶分析。 但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛,它包括: 数学领域的许多学科;信号分析、图象处理;量子力学、理论物理;军事电子对抗与武器的智能化;计算机分类与识别;音乐与语言的人工合成;医学成像与诊断;地震勘探数据处理;大型机械的故障诊断等方面;例如,在数学方面,它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断,去污等。 在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间,提高分辨率等。 (1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。 它的特点是压缩比高,压缩速度快,压缩后能保持信号与图象的特征不变,且在传递中可以抗干扰。 基于小波分析的压缩方法很多,比较成功的有小波包最好基方法,小波域纹理模型方法,小波变换零树压缩,小波变换向量压缩等。 (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。 它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。 包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。 一、基的概念 我们要明确的是基的概念。 两者都是基,信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。 而展开系数就是基与信号之间的内积,更通俗的说是投影。 展开系数大的,说明信号和基,是足够相似的。 这也就是相似性检测的思想。 但我们必须明确的是,傅里叶是0-2pi标准正交基,而小波是-inf到inf之间的基。 因此,小波在实轴上是紧的。 而傅里叶的基(正弦或余弦),与此相反。 而小波能不能成为Reisz基,或标准稳定的正交基,还有其它的限制条件。 此外,两者相似的还有就是PARSEVAL定理。 (时频能量守恒)。 二、离散化的处理 傅里叶变换,是一种数学的精妙描述。 但计算机实现,却是一步步把时域和频域离散化而来的。 第一步,时域离散化,我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT),频谱被周期化;第二步,再将频域离散化,我们得到离散周期傅里叶级数(DFS),时域进一步被周期化。 第三步,考虑到周期离散化的时域和频域,我们只取一个周期研究,也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。 这里说一句,DFT是没有物理意义的,它只是我们研究的需要。 借此,计算机的处理才成为可能。 下面我们谈谈小波。 所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数,都可以成为小波。 小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。 但连续取值的尺度因子和平移因子,在时域计算量和频域的混叠来说,都是极为不便的。 用更为专业的俗语,叫再生核。 也就是,对于任何一个尺度a和平移因子b的小波,和原信号内积,所得到的小波系数,都可以表示成,在a,b附近生成的小波,投影后小波系数的线性组合。 这就叫冗余性。 这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西,它顶多也只能作为一种积分变换或基。 但它的显微镜特点和相似性检测能力,已经显现出来了。 为了进一步更好的将连续小波变换离散化,以下步骤是一种有效方法。 第一步,尺度离散化。 一般只将a二进离散化,此时b是任意的。 这样小波被称为二进小波。 第二步,离散b。 怎么离散化呢? b取多少才合适呢? 于是,叫小波采样定理的东西,就这样诞生了。 也就是小波平移的最小距离(采样间隔),应该大于二倍小波基的最高频率(好像类似,记不清了)。 所以b取尺度的整数倍就行了。 也就是越胖的小波,对应频谱越窄,平移量应该越大,采样间隔越大。 当然,第一二两步的频域理解,即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下,频域就在统计上是完美二分的。 (但很多小波满足不了这个条件,而且频域窗口能量不集中,所以只是近似二分的)。 这时的小波变换,称为离散二进小波变换。 第三步,引入稳定性条件。 也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。 满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生成了可能。 他是数值稳定性的保证。
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