一元二次不等式及其解法.docx
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一元二次不等式及其解法
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 一元二次不等式的概念
阅读教材P76第一行~P76倒数第四行,完成下列问题.
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
(1)ax2+bx+c>0(a≠0).
(2)ax2+bx+c≥0(a≠0).
(3)ax2+bx+c<0(a≠0).
(4)ax2+bx+c≤0(a≠0).
3.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式.( )
(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.( )
(3)x2-
>0为一元二次不等式.( )
【解析】
(1)×.当m=0时,是一元一次不等式;
当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2)×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
(3)×.因为一元二次不等式是整式不等式,而不等式中含有
,故该说法错误.
【答案】
(1)×
(2)× (3)×
教材整理2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系
阅读教材P76倒数第三行~P78例2,完成下列问题.
三个“二次”的关系:
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)=0的解
有两个不等的实数解x1,x2
有两个相等的实数解x1=x2
没有实数解
画函数y=f(x)的示意图
得等的集不式解
f(x)>0
{x|x<x1_或x>x2}
R
f(x)<0
{x|x1<x<x2}
∅
∅
1.不等式x2≤1的解集为________.
【解析】 令x2-1=0,其两根分别为-1,1,故x2≤1的解集为{x|-1≤x≤1}.
【答案】 {x|-1≤x≤1}
2.不等式2x≤x2+1的解集为________.
【解析】 2x≤x2+1⇔x2-2x+1≥0⇔(x-1)2≥0,
∴x∈R.
【答案】 R
3.设集合M={x|x2-x<0},N={x|x2<4},则M与N的关系为________.
【解析】 因为M={x|x2-x<0}={x|0 N={x|x2<4}={x|-2 所以MN. 【答案】 MN 4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集是________. 【解析】 可根据图表求得两个零点为x1=-2,x2=3,结合二次函数的图象(略)求解. 【答案】 {x|x<-2或x>3} [小组合作型] 解一元二次不等式 求下列一元二次不等式的解集. (1)x2-5x>6; (2)4x2-4x+1≤0; (3)-x2+7x>6. 【精彩点拨】 【自主解答】 (1)由x2-5x>6,得 x2-5x-6>0. ∵x2-5x-6=0的两根是x=-1或6, ∴原不等式的解集为 {x|x<-1或x>6}. (2)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0, 方程(2x-1)2=0的根为x= , ∴4x2-4x+1≤0的解集为 . (3)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0, 而x2-7x+6=0的两个根是x=1或6, ∴不等式x2-7x+6<0的解集为 {x|1 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. [再练一题] 1.解下列不等式: (1)2x2-x+6>0; (2)(5-x)(x+1)≥0. 【解】 (1)∵方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0, ∴函数y=2x2-x+6的图象开口向上, 与x轴无交点, ∴原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, ∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 解含参数的一元二次不等式 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 【精彩点拨】 【自主解答】 原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. (1)当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a (2)当a=0时,原不等式化为x2<0,无解; (3)当a<0时,x1 不等式的解集为 {x|2a 综上所述,原不等式的解集为: a>0时,{x|-a a=0时,x∈∅; a<0时,{x|2a 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 注: 对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并. [再练一题] 2.解关于x的不等式: ax2-2≥2x-ax(a<0). 【解】 原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0, 化简为(x+1)(ax-2)≥0. ∵a<0,∴(x+1) ≤0.
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- 一元 二次 不等式 及其 解法