新课标全国1卷精编版.docx
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新课标全国1卷精编版
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(新课标I)
2018年全国统一高考数学试卷(理科)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
1一彳
1.(5分)(2018?
新课标I)设z=+2i,则|z|=()
1+1
A.0B.IC.1D.匚
2.(5分)(2018?
新课标I)已知集合A={x|x2-x-2>0},则?
rA=()
A.{x|-1vxv2}B.{x|-1
3.(5分)(2018?
新课标I)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
第三产业收入
建设前经济收入构咸比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是()
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.
新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.(5分)(2018?
新课标I)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3$=&+$4,a^,则a5=()
A.-12B.-10C.10D.12
5.(5分)(2018?
新课标I)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
6.
E为AD的中点,则—i=(
(5分)(2018?
新课标【)在厶ABC中,AD为BC边上的中线,
1—*?
—*3—*1—*
B.
"-「
径的长度为()
8.(5分)(2018?
新课标I)设抛物线
C:
y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为三的直线与C交于M,N
3
两点U■]=(
A.5B.6C.7D.8
9.(5分)(2018?
新课标I)已知函数f(x)='\,g(x)=f(x)+x+a•若g(x)存在2个零点,则
lnx>
X.
a的取值范围是()
A.[-1,0)B.[0,+s)C.[-1,+s)D.[1,+s)
10.(5分)(2018?
新课标I)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成,三
个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点,此点取自I,n,川的概率分别记为P1,P2,P3,则()
A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+P3
2
11.(5分)(2018?
新课标I)已知双曲线C:
&-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两
r-J
条渐近线的交点分别为M,2若厶OMN为直角三角形,则|MN|=()
A.二B.3C.2:
D.4
2
方体所得截面面积的最大值为(
-B--U
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
\-2y-2<0
13.(5分)(2018?
新课标I)若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为.
「y<0
14.(5分)(2018?
新课标I)记Sn为数列{a.}的前n项和.若S=2an+1,则Ss=.
15.(5分)(2018?
新课标I)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的
选法共有种.(用数字填写答案)
16.(5分)(2018?
新课标I)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,贝Uf(x)的最小值是
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)(2018?
新课标I)在平面四边形ABCD中,/ADC=90°,/A=45°AB=2,BD=5.
(1)求cos/ADB;
(2)若DC=2■:
求BC.
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18.(12分)(2018?
新课标I)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把厶DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF丄BF.
(1)证明:
平面PEF丄平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
2
19.(12分)(2018?
新课标I)设椭圆C:
年一+y2=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当I与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
/OMA=/OMB.
20.(12分)(2018?
新课标I)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品
作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决
定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p(0vpv1),且各件产品是否为不合格品
相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点P0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的P。
作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)(2018?
新课标I)已知函数f(x)」-x+alnx.
x
(1)讨论f(x)的单调性;
f(K)if(K)
(2)若f(x)存在两个极值点X1,X2,证明:
va-2.
Il_x2
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)(2018?
新课标I)在直角坐标系xOy中,曲线Ci的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为p+2pcos-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
[选修4-5:
不等式选讲](10分)
23.(2018?
新课标I)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x€(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C;2.B;3.A;4.B;5.D;6.A;7.B;8.D;9.C;10.A;11.B;12.A;
、填空题:
本题共
4小题,每小题5分,共20分。
13.6;14.-63;15.16;16.
的。
1.(5分)(2018?
新课标I)设z=+2i,则|z|=()
1+1
A.0c.1
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后,然后求解复数的摸.
【解答】解:
zJ+2i=*—-''+2i=-i+2i=i,
1+i(l-i)(l+i)
则|z|=1.
故选:
C.
2.(5分)(2018?
新课标I)已知集合A={x|x2-x-2>0},则?
ra=()
A.{x|-1vxv2}B.{x|-1
【解答】解:
集合A={x|x2-x-2>0},
可得A={x|xv-1或x>2},
则:
?
fA={x|-1wx<2}.
故选:
B.
3.(5分)(2018?
新课标I)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
种植收入
慕殖收入
第三产业收入
其他收入
种植收入
第三产业收入
其他收入
謀殖收入
建设前经济收入枸成比例
建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是(
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A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后,经济收入情况,利用数据推出结果.
【解答】解:
设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.
A项,种植收入37x2a-60%a=14%a>0,
故建设后,种植收入增加,故A项错误.
B项,建设后,其他收入为5%x2a=10%a,
建设前,其他收入为4%a,
故10%a-4%a=2.5>2,
故B项正确.
C项,建设后,养殖收入为30%x2a=60%a,
建设前,养殖收入为30%a,
故60%a-30%a=2,
故C项正确.
D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为
(30%+28%)x2a=58%x2a,
经济收入为2a,
故(58%x2a)-2a=58%>50%,
故D项正确.
因为是选择不正确的一项,
故选:
A.
4.(5分)(2018?
新课标I)记Sn为等差数列{an}的前n项和•若3&=9+£,ai=2,则a5=()
A.-12B.-10C.10D.12
a的值.
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程,能求出
•-仁
【解答】解:
TSn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,內=2,
-i=a1+a1+d+4a1+d,
2
把a1=2,代入得d=-3
…a5=2+4x(—3)=—10.
5.(5分)(2018?
新课标I)设函数处的切线方程为()
故选:
B.
f(x)=x3+(a-1)/+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数,求出切线的向量然后求解切线方程.【解答】解:
函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,
可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f'(x)=3x2+1,
最新资料推荐曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:
1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:
y=x.故选:
D.
6.(5分)(2018?
新课标I)在厶ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则「;=()
2—*1—*1—*3—*¥—*1—*1—*y
A.•4-’B.•小-C.4+D.•.■+
44444444
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示,计算可得所求向量.
【解答】解:
在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,
=:
「一_X]
22
(:
丨l+
故选:
A.
7.(5分)(2018?
新课标I)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
2"C.3
D.2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状,禾U用侧面展开图,转化求解即可.
【解答】解:
由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为:
2,
直观图以及侧面展开图如图:
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M至UN的路径中,最短路径的长度:
”一:
〔=2_
故选:
B.
22
8.(5分)(2018?
新课标I)设抛物线C:
y=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为三的直线与C交于M,N
两点,则IT?
「’1=()
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A.5B.6C.7D.8
【分析】求出抛物线的焦点坐标,直线方程,求出M、N的坐标,然后求解向量的数量积即可.
【解答】解:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),过点(-2,0)且斜率为2的直线为:
3y=2x+4,
3联立直线与抛物线C:
y2=4x,消去x可得:
y2-6y+8=0,解得yi=2,y2=4,不妨M(1,2),N(4,4),丽二©2),前二⑶4).
则屮?
,【|=(0,2)?
(3,4)=8.
故选:
D.
9.(5分)(2018?
新课标I)已知函数f(x)=^''',g(x)=f(x)+x+a•若g(x)存在2个零点,则
[lrnc,
a的取值范围是()
A.[-1,0)B.[0,+s)C.[-1,+s)D.[1,+s)
【分析】由g(x)=0得f(x)=-x-a,分别作出两个函数的图象,根据图象交点个数与函数零点之间的关系进
行转化求解即可.
【解答】解:
由g(x)=0得f(x)=-x-a,
作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图:
当直线y=-x-a的截距-a<1,即卩a>-1时,两个函数的图象都有2个交点,
即函数g(x)存在2个零点,
故实数a的取值范围是[-1,+R),
10.(5分)(2018?
新课标I)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三
个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点,此点取自I,n,川的概率分别记为p1,p2,P3,则()
B
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A.P1=P2B.P1=P3C.P2=P3D.P1=P2+P3
【分析】如图:
设BC=2ri,AB=2e,AC=2r3,分别求出I,n,川所对应的面积,即可得到答案.
【解答】解:
如图:
设BC=2ri,AB=2%AC=2j
.22丄2
…ri=r2+「3,
1-2
二Si=一X4「2「3=2「2「3,S皿=Xnr—2「2「3,
22
Sn」Xn32+1Xn22-囱=Xn/+Xn『一X冗『+2「2「3=2「2「3,
22222
Si=Sh,
二Pi=F2,
故选:
A.
2
十-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两
条渐近线的交点分别为M,2若厶OMN为直角三角形,则|MN|=()
A.■:
【分析】
B.3C.2■:
D.4
【解答】
求出双曲线的渐近线方程,求出直线方程,求出MN的坐标,然后求解|MN|.
彳■-y2=1的渐近线方程为:
y=土芈X,渐近线的夹角为:
60°不妨设过F(2,0)的
解:
双曲线C:
y=九-,
V
3解得
Ly=V3(x-2)
3*解得:
NLy=V3(i-2)
则|MN|=
直线为:
M(,
(-■),
:
=3・
故选:
B.
此时正六边形的边长
a截此正方体所得截面最大值为:
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故选:
A.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
\-2y-2<0
13.(5分)(2018?
新课标I)若x,y满足约束条件7丁1》0,则z=3x+2y的最大值为6
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.
【解答】解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+2y得y=-Zx+z,
22
平移直线y=-x+z,
22
由图象知当直线y=-x+「z经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,
22
最大值为z=3X2=6,
故答案为:
6
14.(5分)(2018?
新课标I)记Sn为数列{an}的前n项和.若S=2an+1,则Ss=-63.
【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列,再根据求和公式计算即可.
【解答】解:
Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an+1,①
当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1,
当n》2时,Sn-1=2an-1+1,②,
由①-②可得an=2an-2an-1,
…an=2an-1,
•••{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列,
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故答案为:
-63
15.(5分)(2018?
新课标I)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有16种.(用数字填写答案)
【分析】方法一:
直接法,分类即可求出,
方法二:
间接法,先求出没有限制的种数,再排除全是男生的种数.
【解答】解:
方法一:
直接法,1女2男,有C21C42=12,2女1男,有C22C41=4
根据分类计数原理可得,共有12+4=16种,
方法二,间接法:
C63-C43=20-4=16种,
故答案为:
16
16.(5分)(2018?
新课标I)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,贝Uf(x)的最小值是_--_.
2
【分析】由题意可得T=2n是f(x)的一个周期,问题转化为f(x)在[0,2n)上的最小值,求导数计算极值和
端点值,比较可得.
【解答】解:
由题意可得T=2n是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,
故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2n)上的值域,
先来求该函数在[0,2n)上的极值点,
求导数可得f'(x)=2cosx+2cos2x
2
=2cosx+2(2cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),
令f'(x)=0可解得cosx=或cosx=-1,
2
可得此时x=,冗或一;
33
•••y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=,n或和边界点x=0中取到,
33
计算可得f(=)=£],f(冗)=0,f(竺)=-奚3,f(0)=0,
3232
•••函数的最小值为--江
2
故答案为:
•-二
2
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)(2018?
新课标I)在平面四边形ABCD中,/ADC=90°,/A=45°AB=2,BD=5.
(1)求cos/ADB;
(2)若DC=2■:
求BC.
【分析】
(1)由正弦定理得=,求出sin/ADB=,由此能求出cos/ADB;
sinZADBsin45"5
(2)由/ADC=90,得cos/BDC=sir^ADB=•-,再由DC=2「,利用余弦定理能求出BC.
5
【解答】解:
(1)v/ADC=90,/A=45,AB=2,BD=5.
由正弦定理得:
•亠=^,即1=
sinZ^ADBsinZAsinZADBsin45,>
•sin/ADB==-,
55
•/ABVBD,•/ADB
•••DC=2二
•BC=:
-:
:
'll:
:
':
■:
7.-H:
:
--
^25+8-2X5X2Vsx2y
=5.
18.(12分)(2018?
新课标I)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以
【分析】
(1)利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF,然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可
(2)利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离,进而求出线面角.
【解答】
(1)证明:
由题意,点E、F分别是AD、BC的中点,
则」…■',由于四边形ABCD为正方形,所以EF丄BC.
由于PF丄BF,EFAPF=F,贝UBF丄平面PEF.
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又因为BF?
平面ABFD,所以:
平面PEFL平面ABFD.
(2)在平面DEF中,过P作PH丄EF于点H,联结DH,
由于EF为面ABCD和面PEF的交线,PH±EF,
贝UPH丄面ABFD,故PH丄DH.
在三棱锥P-DEF中,可以利用等体积法求PH,
因为DE//BF且PF丄BF,
所以PF丄DE,
又因为△PDF^ACDF,
所以/FPD=ZFCD=90,
所以PF丄PD,
由于DEAPD=D,贝UPF丄平面PDE,
故Vf-^—
因为BF//DA且BF丄面PEF
所以DA丄面PEF
所以DE丄EP.
设正方形边长为2a,贝UPD=2a,DE=a
在厶PDE中,:
U
所以二-r「=T「
故Vf-pdE=…,,
6
又因为卜T.JT<,
所以PH='…,=[,,
a22
所以在△PHD中,sin/PDH==-,
PD4
即/PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为:
V3
~T
2
19.(12分)(2018?
新课标I)设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的
坐标为(2,0).
(1)当I与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设0为坐标原点,证明:
/OMA=/OMB.
【分析】
(1)先得到F的坐标,再求出点A的方程,根据两点式可得直线方程,
(2)分三种情况讨论,根据直线斜率的问题,以及韦达定理,即可证明.
【解答】解:
(1)c=.—=1,
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