张齐华平均数课堂实录.docx
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张齐华平均数课堂实录
张齐华平均数课堂实录
一、建立意义
师:
你们喜爱体育运动吗?
生:
(齐)喜爱!
师:
假如张老师告知大家,我最喜爱并且最拿手的体育运动是篮球,你们相信吗?
生:
不相信。
篮球运动员通常都很强壮,就像姚明和乔丹那样。
张老师,您也太瘦了点。
师:
真是哪壶不开提哪壶啊。
不过还别说,和你们一样,我们班上的小强、小林、小刚对我的投篮技术也深表怀疑。
就在上星期,他们三人还约我进行了一场“1分钟投篮挑战赛”。
怎么样,想不想了解现场的竞赛状况?
生:
(齐)想!
师:
首先出场的是小强,他1分钟投中了5个球。
可是,小强对这一成果好像不太满足,觉得似乎没有发挥出自己的真实水平,想再投两次。
假如你是张老师,你会同意他的要求吗?
生:
我不同意。
万一他后面两次投中的多了,那我不就危急啦!
生:
我会同意的。
做老师的应当大度一点。
师:
呵呵,还真和我想到一块儿去了。
不过,小强后两次的投篮成果很有趣。
(师出示小强的后两次投篮成果:
5个,5个。
生会心地笑了)
师:
还真巧,小强三次都投中了5个。
现在看来,要表示小强1分钟投中的个数,用哪个数比较合适?
生:
5。
师:
为什么?
生:
他每次都投中5个,用5来表示他1分钟投中的个数最合适了。
师:
说得有理!
接着该小林出场了。
小林1分钟又会投中几个呢?
我们也一起来看看吧。
(师出示小林第一次投中的个数:
3个)
师:
假如你是小林,会就这样结束吗?
生:
不会!
我也会要求再投两次的。
师:
为什么?
生:
这也太少了,确定是发挥失常。
师:
正如你们所说的,小林果真也要求再投两次。
不过,麻烦来了。
(出示小林的后两次成果:
5个,4个)三次投篮,结果怎么样?
生:
(齐)不同。
师:
是呀,三次成果各不相同。
这一回,又该用哪个数来表示小林1分钟投篮的一般水平呢?
生:
我觉得可以用5来表示,由于他最多,二次投中了5个。
生:
我不同意川、强每次都投中5个,所以用5来表示他的成果。
但小林另外两次分别投中4个和3个,怎么能用5来表示呢?
师:
也就是说,假如也用5来表示,对小强来说——
生:
(齐)不公正!
师:
该用哪个数来表示呢?
生:
可以用4来表示,由于3、4、5三个数,4正好在中间,最能代表他的成果。
师:
不过,小林肯定会想,我究竟还有一次投中5个,比4个多1呀。
生:
(齐)那他还有一次投中3个,比4个少1呀。
师:
哦,一次比4多1,一次比4少1……
生:
那么,把5里面多的1个送给3,这样不就都是4个了吗?
(师结合同学的沟通,呈现移多补少的过程)
师:
数学上,像这样从多的里面移一些补给少的,使得每个数都一样多。
这一过程就叫“移多补少”。
移完后,小林每分钟看起来都投中了几个?
生:
(齐)4个。
师:
能代表小林1分钟投篮的一般水平吗?
生:
(齐)能!
师:
轮到小刚出场了。
小刚也投了三次,成果同样各不相同。
这一回,又该用几来代表他1分钟投篮的一般水平呢?
同学们先独立思索,然后在小组里沟通自己的想法。
生:
我觉得可以用4来代表他1分钟的投篮水平。
他第二次投中7个,可以移1个给第一次,再移2个给第三次,这样每一次看起来似乎都投中了4个。
所以用4来代表比较合适。
(结合同学沟通,师再次呈现移多补少过程)
师:
还有别的方法吗?
生:
我们先把小刚三次投中的个数相加,得到12个,再用12除以3等于4个。
所以,我们也觉得用4来表示小刚1分钟投篮的水平比较合适。
[师板书:
3+7+2=12(个),12÷3=4(个)]
师:
像这样先把每次投中的个数合起来,然后再平均分给这三次(板书:
合并、平分),能使每一次看起来一样多吗?
生:
能!
都是4个。
师:
能不能代表小刚1分钟投篮的一般水平?
生:
能!
师:
其实,无论是刚才的移多补少,还是这回的先合并再平均分,目的只有一个,那就是——
生:
使原来几个不相同的数变得同样多。
师:
数学上,我们把通过移多补少后得到的同样多的这个数,就叫做原来这几个数的平均数。
(板书课题:
平均数)比如,在这里,我们就说4是3、4、5这三个数的平均数。
那么,在这里,哪个数是哪几个数的平均数呢?
在小组里说说你的想法。
生:
在这里,4是3、7、2这三个数的平均数。
师:
不过,这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗?
生:
不能!
师:
能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗?
生:
也不能!
师:
古怪,这里的平均数4既不能代表小刚第一次投中的个数,也不能代表他第二次、第三次投中的个数,那它到底代表的是哪一次的个数呢?
生:
这里的4代表的是小刚三次投篮的平均水平。
生:
是小刚1分钟投篮的一般水平。
(师板书:
一般水平)
师:
最末,该我出场了。
知道自己投篮水平不怎么样,所以正式竞赛前,我主动提出投四次的想法。
没想到,他们竟一口答应了。
前三次投篮已经结束,怎么样,想不想看看我每一次的投篮状况?
(师呈现前三次投篮成果:
4个、6个、5个)
师:
猜猜看,三位同学看到我前三次的投篮成果,可能会怎么想?
生:
他们可能会想:
完了完了,确定输了。
师:
从哪儿看出来的?
生:
你们看,光前三次,张老师平均1分钟就投中了5个,和小强并列第一。
更何况,张老师还有一次没投呢。
生:
我觉得不肯定。
万一张老师最末一次发挥失常,一个都没投中,或只投中一两个,张老师也可能会输。
生:
万一张老师最末一次发挥超常,投中10个或更多,那岂不赢定了?
师:
状况到底会怎么样呢?
还是让我们抓紧看看第四次投篮的成果吧。
师:
凭直觉,张老师最终是赢了还是输了?
生:
输了。
由于你最末一次只投中1个,也太少了。
师:
不计算,你能大略估量一下,张老师最末的平均成果可能是几个吗?
生:
大约是4个。
生:
我也觉得是4个。
师:
英雄所见略同呀。
不过,第二次我明明投中了6个,为什么你们不估量我最末的平均成果是6个?
生:
不可能,由于只有一次投中6个,又不是次次都投中6个。
生:
前三次的平均成果只有5个,而最末一次只投中1个,平均成果只会比5个少,不可能是6个。
生:
再说,6个是最多的一次,它还要移一些补给少的。
所以不可能是6个。
师:
那你们为什么不估量平均成果是1个呢?
最末一次只投中1个呀!
生:
也不可能。
这次尽管只投中1个,但其他几次都比1个多,移一些补给它后,就不止1个了。
师:
这样看来,尽管还没得出结果,但我们至少可以确定,最末的平均成果应当比这里最大的数——
生:
小一些。
生:
还要比最小的数大一些。
生:
应当在最大数和最小数之间。
师:
是不是这样呢?
抓紧想方法算算看吧。
[生列式计算,并沟通计算过程:
4+6+5+1=16(个),16÷4=4(个)]
师:
和刚才估量的结果比较一下,怎么样?
生:
的确在最大数和最小数之间。
师:
现在看来,这场投篮竞赛是我输了。
你们觉得问题主要出在哪儿?
生:
最末一次投得太少了。
生:
假如最末一次多投几个,或许你就会赢了。
师:
试想一下:
假如张老师最末一次投中5个,甚至更多一些,比如9个,竞赛结果又会如何呢?
同学们可以通过观测来估一估,也可以动笔算一算,然后在小组里沟通你的想法。
(生估量或计算,随后沟通结果)
生:
假如最末一次投中5个,那么只要把第二次多投的1个移给第一次,很简单看出,张老师1分钟平均能投中5个。
师:
你是通过移多补少得出结论的。
还有不同的方法吗?
生:
我是列式计算的。
4+6+5+5=20(个),20÷4=5(个)。
生:
我还有补充!
其实不用算也能知道是5个。
大家想呀,原来第四次只投中1个,现在投中了5个,多出4个。
平均分到每一次上,每一次正好能分到1个,结果自然就是5个了。
师:
那么,最末一次假如从原来的1个变成9个,平均数又会增加多少呢?
生:
应当增加2。
由于9比1多8,多出的8个再平均分到四次上,每一次只增加了2个。
所以平均数应增加2个。
生:
我是列式计算的,4+6+5+9=24(个),24÷4=6(个)。
结果也是6个。
二、深化理解
师:
现在,请大家观测下面的三幅图,你有什么发觉?
把你的想法在小组里说一说。
(生独立思索后,先组内沟通想法,再全班沟通)
生:
我发觉,每一幅图中,前三次成果不变,而最末一次成果各不相同。
师:
最末的平均数——
生:
也不同。
师:
看来,要使平均数发生改变,只需要转变其中的几个数?
生:
一个数。
师:
瞧,前三个数始终不变,但最末一个数从1变到5再变到9,平均数——
生:
也跟着发生了改变。
师:
难怪有人说,平均数这东西很敏感,任何一个数据的“风吹草动”,都会使平均数发生改变。
现在看来,这话有道理吗?
(生:
有)其实呀,擅长随着每一个数据的改变而改变,这正是平均数的一个重要特点。
在将来的数学学习中,我们将就此作更进一步的讨论。
大家还有别的发觉吗?
生:
我发觉平均数总是比最大的数小,比最小的数大。
师:
能说明一下为什么吗?
生:
很简约。
多的要移一些补给少的,最末的平均数当然要比最大的小,比最小的大了。
师:
其实,这是平均数的又一个重要特点。
利用这一特点,我们还可以大略地估量出一组数据的平均数。
生:
我还发觉,总数每增加4,平均数并不增加4,而是只增加1。
师:
那么,要是这里的每一个数都增加4,平均数又会增加多少呢?
还会是1吗?
生:
不会,应当增加4。
师:
真是这样吗?
课后,同学们可以继续开展讨论。
或许你们还会有更多的'新发觉!
不过,关于平均数,还有一个特别重要的特点隐蔽在这几幅图当中。
想不想了解?
生:
想!
师:
以图为例。
认真观测,有没有发觉这里有些数超过了平均数,而有些数还不到平均数?
(生点头示意)比较一下超过的部分与不到的部分,你发觉了什么?
生:
超过的部分和不到的部分一样多,都是3个。
师:
会不会只是一种巧合呢?
让我们抓紧再来看看另两幅图吧?
生:
(观测片刻)也是这样的。
师:
这儿还有几幅图,状况怎么样呢?
生:
超过的部分和不到的部分还是同样多。
师:
古怪,为什么每一幅图中,超出平均数的部分和不到平均数的部分都一样多呢?
生:
假如不一样多,超过的部分移下来后,就不可能把不到的部分正好填满。
这样就得不到平均数了。
生:
就像山峰和山谷一样。
把山峰切下来,填到山谷里,正好可以填平。
假如山峰比山谷大,或者山峰比山谷小,都不可能正好填平。
师:
多生动的比方呀!
其实,像这样超出平均数的部分和不到平均数的部分一样多,这是平均的第三个重要特点。
把握了这一特点,我们可以奇妙地解决相关的实际问题。
师:
张老师大略估量了一下,觉得这三张纸条的平均长度大约是10厘米。
不计算,你能依据平均数的特点,大略地判断一下,张老师的这一估量对吗?
生:
我觉得不对。
由于第二张纸条比10厘米只长了2厘米,而另两张纸条比10厘米一共短了5厘米,不相等。
所以,它们的平均长度不可能是10厘米。
师:
照你看来,它们的平均长度会比10厘米长还是短?
生:
应当短一些。
生:
大约是9厘米。
生:
我觉得是8厘米。
生:
不可能是8厘米。
由于7比8小了1,而12比8大了4。
师:
它们的平均长度究竟是多少,还是抓紧口算一下吧。
三、拓展开展
师:
下面这些问题,同样需要我们借助平均数的特点来解决。
瞧,学校篮球队的几位同学正在进行篮球竞赛。
我了解到这么一份资料,说李强所在的欢乐篮球队,队员的平均身高是160厘米。
那么,李强的身高可能是155厘米吗?
生:
有可能。
师:
不对呀!
不是说队员的平均身高是160厘米吗?
生:
平均身高160厘米,并不表示每个人的身高都是160厘米。
万一李强是队里最矮的一个,当然有可能是155厘米了。
生:
平均身高160厘米,表示的是篮球队员身高的一般水平,并不代表队里每个人的身高。
李强有可能比平均身高矮,比如155厘米,当然也可能比平均身高高,比如170厘米。
师:
说得好!
为了使同学们对这一问题有更深刻的了解,我还给大家带来了一幅图。
(出示中国男子篮球队队员的合影,图略)画面中的人,相信大家肯定不生疏。
生:
姚明!
师:
没错,这是以姚明为首的中国男子篮球队队员。
老师从网上查到这么一那么数据,中国男子篮球队队员的平均身高为200厘米。
这是不是说,篮球队每个队员的身高都是200厘米?
生:
不可能。
生:
姚明的身高就不止2米。
生:
姚明的身高是226厘米。
师:
看来,还真有超出平均身高的人。
不过,既然队员中有人身超群过了平均数——
生:
那就肯定有人身高不到平均数。
师:
没错。
据老师所查资料显示,这位队员的身高只有178厘米,远远低于平均身高。
看来,平均数只反映一组数据的一般水平,并不代表其中的每一个数据。
好了,探讨完身高问题,我们再来看看池塘的平均水深。
师:
冬冬来到一个池塘边。
低头一看,发觉了什么?
生:
平均水深110厘米。
师:
冬冬心想,这也太浅了,我的身高是130厘米,下水游泳肯定没危急。
你们觉得冬冬的想法对吗?
生:
不对!
师:
怎么不对?
冬冬的身高不是已经超过平均水深了吗?
生:
平均水深110厘米,并不是说池塘里每一处水深都是110厘米。
可能有的地方比较浅,只有几十厘米,而有的地方比较深,比如150厘米。
所以,冬冬下水游泳可能会有危急。
师:
说得真好!
想看看这个池塘水底下的真实情形吗?
生:
原来是这样,真的有危急!
师:
看来,认识了平均数,对于我们解决生活中的问题还真有不少援助呢。
当然,假如不了解平均数,闹起笑话来,那也很麻烦。
这不,前两天,老师从最新的《健康报》上查到这么一份资料。
师:
可别小看这一数据哦。
30年前,也就在张老师诞生那会儿,中国男性的平均寿命大约只有68岁。
比较一下,发觉了什么?
生:
中国男性的平均寿命比原来长了。
师:
是呀,平均寿命变长了,当然值得兴奋喽。
可是,一位70岁的老伯伯看了这份资料后,不但不兴奋,反而还有点难受。
这又是为什么呢?
生:
我想,老伯伯可能以为平均寿命是71岁,而自己已经70岁了,看来只能再活1年了。
师:
老伯伯之所以这么想,你们觉得他懂不懂平均数。
生:
不懂!
师:
你们懂不懂?
(生:
懂)既然这样,那好,假如我就是那位70岁的老伯伯,你们打算怎么劝劝我?
生:
老伯伯,别难受。
平均寿命71岁,并不是说每个人都只能活到71岁。
假如有人只活到六十几岁,那么,你不就可以活到七十几岁了吗?
师:
原来,你是把我的美满建立在别人的痛楚之上呀!
(生笑)不过,还是要感谢你的劝说。
别的同学又是怎么想的呢?
生:
老伯伯,我觉得平均寿命71岁反映的只是中国男性寿命的一般水平,这些人中,肯定会有人超过平均寿命的。
弄不好,你还会长命百岁呢!
师:
感谢你的祝愿!
不过,光这么说,似乎还不足以让我彻底放心。
有没有谁家的爷爷或是老太爷,已经超过71岁的?
假如有,那我可就更放心了。
生:
我爷爷已经78岁了。
生:
我爷爷已经85岁了。
生:
我老太爷都已经94岁了。
师:
真有超过71岁的呀!
猜猜看,这一回老伯伯还会再难受吗?
生:
不会了。
师:
探讨完男性的平均寿命,想不想了解女性的平均寿命?
有谁情愿大胆地猜猜看?
生:
我觉得中国女性的平均寿命大约有65岁。
生:
我觉得大约有73岁。
(师呈现相关资料:
中国女性的平均寿命大约是74岁)
师:
发觉了什么?
生:
女性的平均寿命要比男性长。
师:
既然这样,那么,假如有一对60多岁的老夫妻,是不是意味着,老奶奶的寿命肯定会比老爷爷长?
生:
不肯定!
生:
虽然女性的平均寿命比男性长,但并不是说每个女性的寿命都会比男性长。
万一这老爷爷特别长寿,那么,他完全有可能比老奶奶活得更长些。
师:
说得真好!
走出课堂,愿大家能带上今日所学的内容,更好地认识生活中与平均数有关的各种问题。
下课!
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