初中几何的重要公式证明.docx
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初中几何的重要公式证明
重要公式及证明
任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:
设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
a=b·cosC+c·cosB,
b=c·cosA+a·cosC,
c=a·cosB+b·cosA。
注:
以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。
证明1:
设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。
证明2:
由正弦定理,可得:
b=a·sinB/sinA,c=a·sinC/sinA=a·sin(A+B)/sinA=a·(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=a·cosB+(a·sinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。
1、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:
1的两部分
已知,在△ABC中,BD为AC中线,CE为AB中线,BD、CE交于点O,
求证BC的中线AF过点O。
延长AO交BC于F'
作BG平行EC交AO延长线于G
则因E为AB中点,所以O为AG中点
连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线
BD平行GC
所以BOCG为平行四边形
F'平分BC
F'与F重合
BC的中线AF过点O。
2、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
3、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL
4、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
三角AM,设AM交OH于点G’。
∵BD是直径,∴∠BAD、∠BCD是直角。
∴AD⊥AB,DC⊥BC。
∵CH⊥ABM是BC的中点,O是BD的中点。
∴OM=DC。
∴OM=AH。
∵OM‖AH,∴△OMG’∽△HAG’。
∴。
∴G’是△ABC的重心。
∴G与G’重合。
∴O、G、H三点在同一条直线上。
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:
三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。
5、欧拉线的证明:
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。
连结AD、CD、AH、CH、OH。
作中线AM,设AM交OH于点G’。
∵BD是直径,∴∠BAD、∠BCD是直角。
∴AD⊥AB,DC⊥BC。
∵CH⊥AB,AH⊥BC,∴DA‖CH,DC‖AH。
∴四边形ADCH是平行四边形,∴AH=DC。
∵M是BC的中点,O是BD的中点。
∴OM=DC。
∴OM=AH。
∵OM‖AH,∴△OMG’∽△HAG’。
∴。
∴G’是△ABC的重心。
∴G与G’重合。
∴O、G、H三点在同一条直线上。
6、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上
最简单的方法是以H(垂心)为位似中心1/2为位似比作位似变换,简单的说就是对于平面上的任何一个点X把它变成H与X的中点X',也可以理解为按比例缩小,通过这样的变换我们发现所有的三角形的顶点都变成了欧拉点.
以H和某两个顶点(比如B和C)作一个平行四边形HBL'C那么由于∠BL'C=∠BHC
所以∠BL'C+∠BAC=180°于是ABCL'四点共圆.L'在△ABC的外接圆上.L'变成了L
而H关于某条边(如BC)的对称点D'也由于∠BD'C=∠BHC
所以∠BD'C+∠BAC=180°于是ABCD'四点共圆.D'在△ABC的外接圆上.D'变成了D
也就是说在这个位似变换下,有九个在△ABC的外接圆上的点,ABC三点,类似L'的三点,类似D'的三点,一共九个点都在△ABC的外接圆上,他们变成了三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点.当然这九个点都在一个圆上,这个圆就是△ABC的外接圆通过变换后得到的圆---九点圆
7、欧拉定理:
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
8、库立奇*大上定理:
(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
圆周上的5点,过任4点做九点圆圆心,这些点在同一个圆上,叫五边形的九点圆,同理有六,七……n边形的九点圆
把圆周看作复平面上的单位圆
|z₁|=|z₂|=|z₃|=|z₄|=1
△z₂z₃z₄的九点圆圆心为1/2(z₂+z₃+z₄)……欧拉定理
同理有1/2(z₁+z₃+z₄)
1/2(z₁+z₂+z₄)
1/2(z₁+z₂+z₃)
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2(z₂+z₃+z₄)|=|z₁/2|=1/2
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2(z₁+z₃+z₄)|=|z₂/2|=1/2
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2(z₁+z₂+z₄)|=|z₃/2|=1/2
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2(z₁+z₂+z₃)|=|z₄/2|=1/2
于是△z₂z₃z₄,△z₁z₃z₄,△z₂z₁z₄,△z₂z₃z₁的九点圆圆心到点1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)的距离都是1/2,即四边形的九点圆是以1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)为圆心的圆
四个垂心组也是共圆的,圆心是z₁+z₂+z₃+z₄
9、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:
r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半
如何证明任何三角形的三条内角角平分线分线必交于同一点.
三角形内角平分线上的点到两边距离相等;.......
(1)
相反,到两边距离相等的点都在角平分线上。
.....
(2)
角A、角B的平分线交于0
0A平分角A----->O到b、c边距离相等
0B平分角B----->O到a、c边距离相等
∴O到a、b边距离相等----->0C平分角C
∴三角形的三条内角角平分线分线必交于同一点(O).
(2)由中位线定理、相似三角形性质、同一法证明G。
10、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
证明三角形的三条高的所在直线交于一点:
(1)分别过各顶点作各边的平行线,构成大三角形;
(2)由平行四边形知识分别证明各顶点是大三角形各边的中点;
(3)证明三角形的三条高分别垂直于大三角形各边的;
(4)由
(2)、(3)可知三条高的所在直线就是大三角形三边的垂直平分线,从而转化为前面的2的情形。
1、证明三角形的三条角平分线交于一点:
(1)由其中两个内角的交点向三条边作垂线段;
(2)在根据角平分线的性质定理及逆定理就可获证。
2、证明三角形的三条边的垂直平分线交于一点:
(1)作两条边的垂直平分线的交点K;
(2)连结K及个顶点;
(3)在根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理就可获证。
3、证明三角形的三条高的所在直线交于一点:
(1)分别过各顶点作各边的平行线,构成大三角形;
(2)由平行四边形知识分别证明各顶点是大三角形各边的中点;
(3)证明三角形的三条高分别垂直于大三角形各边的;
(4)由
(2)、(3)可知三条高的所在直线就是大三角形三边的垂直平分线,从而转化为前面的2的情形。
4、证明三角形的三条中线交于一点(最好用同一法):
(1)作一、二中线的交点G,二、三中线的交点G’与G’重合即可;
一般的三角形没有中心的概念,只有外心、内心、重心、垂心、旁心的概念。
只有正三角形才有中心,这个中心是外心、内心、重心、垂心重合成了一点以后的名称(四心合一)。
三角形“五心歌”
三角形有五颗心;重、垂、内、外和旁心,
五心性质很重要,认真掌握莫记混.
重心
三条中线定相交,交点位置真奇巧,
交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓;
长短之比二比一,灵活运用掌握好.
垂心
三角形上作三高,三高必于垂心交.
高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形,
四点共圆图中有,细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点,角角都有平分线,
三线相交定共点,叫做“内心”有根源;
点至三边均等距,可作三角形内切圆,
此圆圆心称“内心”如此定义理当然.
外心
三角形有六元素,三个内角有三边.
作三边的中垂线,三线相交共一点.
此点定义为“外心”,用它可作外接圆.
“内心”“外心”莫记混,“内切”“外接”是关键.
按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下.
重心是中线交点,内心是角平分线交点(或内切圆的圆心),
外心是中垂线交点(或外接圆的圆心),垂心是高线交点,
这称三角形的四心.
还有一个心叫傍心:
外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心)
只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.
三角形ABC的三个旁心O1、O2、O3,证明:
⊿O1O2O3的垂心为⊿ABC的内心
连接O2C,O3A,O1B.
∵O1O3平分∠ACE,∠JCB,∴∠ACO1=∠O1CE,
∠BCO3=∠JCO3,又∵∠BCJ=∠ECA
∴∠ACO1=∠BCO3,又∵O2到HB,AG的距离相等
∴CO2为角平分线,
∴∠O2CO3=∠O2CB+∠BCO3=1/2×180°=90°即O2C⊥O3O1,
以此类推,BO1⊥O2O3,A03⊥O2O1.
BO1,AO3为角平分线。
∴O3A,O1B,O2C分别为高。
又∵CO2,BO1,AO3为角平分线,
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。
[编辑本段]一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。
(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)
重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
[编辑本段]二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。
外心的性质:
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。
重心坐标:
((c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c)。
5、外心到三顶点的距离相等
[编辑本段]三、三角形垂心定理
三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质:
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2。
(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline))
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知:
ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F,
证明:
连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
[编辑本段]四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。
内心的性质:
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是:
向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
[编辑本段]五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。
旁心的性质:
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图,点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。
附:
三角形的中心:
只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
[编辑本段]有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌(重外垂内旁)
三角形有五颗心,重外垂内和旁心,五心性质很重要,认真掌握莫记混.
重心
三条中线定相交,交点位置真奇巧,交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓;长短之比二比一,灵活运用掌握好.
外心
三角形有六元素,三个内角有三边.作三边的中垂线,三线相交共一点.
此点定义为外心,用它可作外接圆.内心外心莫记混,内切外接是关键.
垂心
三角形上作三高,三高必于垂心交.高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形,四点共圆图中有,细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点,角角都有平分线,三线相交定共点,叫做“内心”有根源;
点至三边均等距,可作三角形内切圆,此圆圆心称“内心”如此定义理当然.
又名阿波罗尼奥斯定理
即广义勾股定理。
即“三角形的两边平方和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍”
求证过程:
过B点作CA的平行线BE,与CD的延长线交于E点.
可证△ACD≌△BED,CD=DE,AC=BE,∠ACD=∠E.
设AB=c,BC=a,AC=b,CD=m.
在△ACD和△BEC中由余弦定理得
(c/2)^2=b^2+m^2-2bmcos∠E
a^2=b^2+(2m)^2-2b(2m)cos∠E
消去cos∠E化简得:
a^2+b^2=2m^2+(1/2)c^2
三角形外接圆上一点作三边的垂线,则其三垂足共线,此线称为西摩松线
ΔABC之外接圆上有一点P,向作垂线,得垂足分别是D,E,F,证明:
D,E,F三点共线。
外接圆就是三角形外部的圆,且三角形的三个定点都在这个圆上,而内切圆是三角形内部的圆,且这个圆与三角形三边都相切。
三角形旁心(示例)
简化图形(不画那四个圆),如图(图传不上来)E在C的右边,J在C的右下侧。
H在B的左侧,G在A的左上侧。
∴⊿O1O2O3的垂心为⊿ABC的内心。
11、三角形五心定理
求证:
CF⊥AB
12、中线定理:
(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
13、斯图尔特定理:
P将三角形ABC的边BC内分成m:
n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
即(BC)^2+(AC)^2=2[(CD)^2+(AD)^2]得证
14、波罗摩及多定理:
圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
15、阿波罗尼斯定理:
到两定点A、B的距离之比为定比m:
n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:
n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上
阿波罗尼斯定理
设三角形ABC中边长a,b,c中线m1,m2,m3
则有:
b^2+c^2=(1/2)a^2+2*m1^2
c^2+a^2=(1/2)b^2+2*m2^2
b^2+a^2=(1/2)c^2+2*m3^2
证明:
(用向量最简单)
([a]表示a向量)
因为[m1]为a边上的中线
所以2[m1]=[b]+[c]......
(1)
又[a]=[c]-[b]......
(2)
(1)平方+
(2)平方
得4[m1]^2+[a]^2=2*([b]^2+[c]^2)
即b^2+c^2=a^2/2+2m1^2
其余两个同理
16、托勒密定理:
设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC
托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文:
圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。
)
在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD
因为△ABE∽△ACD
所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD
(1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD
(2)
(1)+
(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)
所以命题得证
复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:
(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式:
(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d),两边取模,运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上,圆周角∠BAC=∠BDC,而在AB上,∠ADB=∠ACB。
在AC上取一点K,使得∠ABK=∠CBD;因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD,所以∠CBK=∠ABD。
因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD~△KBC。
因此AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD;因此AK·BD=AB·CD,且CK·BD=BC·DA;两式相加,得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA;但AK+CK=AC,因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。
证毕。
三、托勒密定理:
圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:
圆内接四边形ABCD,求证:
AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明:
如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得.....又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得.....①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
17、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形
18、爱尔可斯定理1:
若△ABC和三角形△都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
19、爱尔可斯定理2:
若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。
20、梅涅劳斯定理:
设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R,则有:
BPPC×CQQA×ARRB=1
梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出:
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或:
设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
证明一:
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得:
(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二:
过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立:
若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理,可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理
证明三:
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC',
所以AD:
DB=AA':
BB',BE:
EC=BB':
CC',CF:
FA=CC':
AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆:
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=-1。
(注意与塞瓦定理相区分,那里是λμν=1)
21、梅涅劳斯定理的逆定理:
若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理,可以判断三点共线。
梅涅劳斯逆定
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