北师版数学9上考点13 一元二次方程的几何应用.docx
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北师版数学9上考点13一元二次方程的几何应用
考点13一元二次方程的几何应用
一、选择题
1.(2015·衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为
米,根据题意,可列方程为().
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】矩形的宽为x米,则矩形的长为(x+10)米,由题意得:
x(10+x)=900,故选择B.
2.(2015·烟台中考)等腰三角形三边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为()
A.9B.10C.9或10D.8或10
【答案】B
【解析】由一元二次方程根与系数的关系,得a+b=6,ab=n-1.由于等腰三角形三边长分别为a,b,2,所以a=b=3,或a=2或b=2(此时b=4或a=4,此情况不成立),所以n-1=9,n=10.故选B.
3.(2015·济南中考)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为()
A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm
【答案】D
【解析】设原铁皮的边长为xcm,则盒子的边长为(x-6)cm,由题意得:
3(x-6)2=300,解得x=16(负值不合题意舍去).故答案为D.
4.(2015·济宁中考)三角形两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-13x+36=0的根,则
三角形的周长为()
A.13B.15C.18D.13或18
【答案】A
【解析】解方程x2-13x+36=0得,x1=4,x2=9.当x1=4时,3+4>6,故能构成三角形,此时周长为3+4+6=13;当x2=9时,3+6=9,故不能构成三角形,故选择A.
5.(2015·通辽中考)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根,则菱形ABCD的周长为()
A.8 B.20C.8或20D.10
【答案】B
【解析】解方程y2-7y+10=0得,
.当y=2时,不符合三角形两边之和大于第三边,不合题意,所以边AB的长为5,所以菱形的周长是4×5=20,故选B.
6.(2015·呼伦贝尔中考)学校要组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场),计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?
设邀请x个球队参赛,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设邀请x个球队参赛,计划安排21场比赛,每两队之间赛一场,所以列方程为
,故选B.
7.(2015·宁夏中考)如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建
两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通
道.若设人行道的宽度为
米,则可以列出关于
的方程是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为人行通道的宽为x米,所以绿地部分矩形的宽为(6-2x)米,长为(18-3x)米,根据题意得(6-2x)(18-3x)=60,方程整理得x2-9x+8=0,故选择C.
8.(2015·葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x+1)(3x-1)=0的两个根,且k>b,则
函数y=kx+b的图象不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】(2x+1)(3x-1)=0,所以
,
,因为k>b,所以
,
,所以
,因此一次函数的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,故选择B.
9.(2015·陕西中考)在□ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点.若四边形AECF为正方形,则AE的长为()
A.7B.4或10
C.5或9D6或8
【答案】D
【解析】据题意,画图:
设AE的长为x,根据正方形的性质可得BE=14-x,
在△ABE中,根据勾股定理可得x2+(14-x)2=102,
解得x1=6,x2=8.
故AE的长为6或8.
故选D.
10.(2015·德阳中考)如图,在一次函数y=-x+6的图象上取一点P,作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,且矩形PBOA的面积为5,则在x轴上方满足上述条件的点P的个数共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】根据题意,可设点P的坐标为(x,-x+6),∵点P在x轴上方,∴y>0,即-x+6>0,x<6,∵矩形PBOA的面积为5,∴
(-x+6)=5即x(-x+6)=5或-x(-x+6)=5.解得x1=1,x2=5或x1=3+
,x2=3-
,因此,符合要求的点P共有3个.故选C.
11.(2015·广安中考)一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是()
A.12B.9C.13D.12或9
【答案】A
【解析】∵x2-7x+10=0,∴(x-2)(x-5)=0,∴x1=2,x2=5.若等腰三角形的三边为2,5,5,则2+5>5,满足三角形三边关系,此时周长为12.若等腰三角形的三边为2,2,5,则2+2<5,不满足三角形三边关系,舍去.故选择A.
12.(2015·雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程
的
根,则该三角形的周长可以是()
A.5B.7C.5或7D.10
【答案】B
【解析】解方程
得:
,
.
当等腰三角形的腰为1,底为3时,∵1+1<3,此时构不成三角形,
∴等腰三角形的腰为3,底为1,∴其周长为3+3+1=7,故选择B.
13.(2015·佛山中考)如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2m,另一边减少了3m,剩余一块面积为20m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是( )
A.7mB.8mC.9mD.10m
【答案】A
【解析】设原正方形的边长为xm,依题意有(x﹣3)(x﹣2)=20,解得:
x1=7,x2=﹣2(不合题意,舍去),∴原正方形的边长是7m,故选择A.
14.(2015·广州中考)已知2是关于x的方程
的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()
A.10B.14C.10或14D.8或10
【答案】B
【解析】将x=2代入方程x2-2mx+3m=0,得4-4m+3m=0,解得m=4.将m=4代入原方程,得x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6.∵6+6>2,∴等腰三角形ABC的三边长可以是2,6,6,此时△ABC的周长为2+6+6=14;∵2+2<6,∴等腰三角形ABC的三边长不可以是2,2,6.故选择B.
15.(2015·安顺中考)已知三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长是()
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
【答案】B
【解析】解x2-12x+35=0得:
x1=5,x2=7,根据三角形三边关系判断第三边长只能取5,所以三角形的周长为12,故选择B.
二、填空题
1.(2015·随州中考)观察下列图形规律:
当n= 时,图形“●”的个数和“△”的个数相等.
【答案】5
【解析】∵n=1时,“●”的个数:
3=3×1;n=2时,“●”的个数:
6=3×2;n=3时,“●”的个数:
9=3×3;n=4时,“●”的个数:
12=3×4;∴第n个图形中“●”的个数:
3n;
又∵n=1时,“△”的个数:
1;n=2时,“△”的个数:
3=1+2;n=3时,“△”的个数:
6=1+2+3;n=4时,“△”的个数:
10=1+2+3+4;∴第n个“△”的个数:
1+2+3+…+n=
;
∵图形“●”的个数和“△”的个数相等,∴3n=
,可得n2-5n=0,解得n=5或n=0(舍去),故答案为5.
2.(2015·西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为 .
【答案】16
【解析】设矩形的长和宽分别为x、y,根据题意,得x+y=8;所以矩形的周长=2(x+y)=16.故答案为:
16.
3.(2015·巴彦淖尔中考)某校要组织一次乒乓球邀请赛,参赛的每
两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排2天,每天安排5场比赛.设
比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的方程为.
【答案】
x(x-1)=2×5
【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场,且每两队之间只有1场比赛,共需比赛
x(x-1)场,所以可列方程:
x(x-1)=2×5,故答案为
x(x-1)=2×5.
4.(2015·甘孜中考)若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根,
则矩形ABCD的对角线长为__________.
【答案】5
【解析】方程x2﹣7x+12=0,即(x﹣3)(x﹣4)=0,则x﹣3=0或x﹣4=0,解得:
x1=3,x2=4.则矩形ABCD的对角线长是:
=5.故答案是:
5.
5.(2015·甘孜中考)若函数y=-kx+2k+2与
(k≠0)的图象有两个不同的交点,则k的取值范围是.
【答案】k>
且k≠0
【解析】把方程组
消去y得到﹣kx+2k+2=
,
整理得kx2﹣(2k+2)x+k=0,
根据题意得Δ=(2k+2)2﹣4k2>0,解得k>﹣
,
即当k
时,函数y=﹣kx+2k+2与y=
(k≠0)的图象有两个不同的交点,
故答案为k
且k≠0.
6.(2015·广元中考)从3,0,-1,-2,-3这五个数中抽取一个数,作为函数y=(5-m2)x
和关于x的一元二次方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值.若恰好使函数的图像经过第一、三象限,且
使方程有实数根,则满足条件的m的值是____.
【答案】-2
【解析】∵函数y=(5-m2)x的图像经过第一、三象限,∴5-m2>0,则m2<5,m=0或-1或-2;又由一元二次方程(m+1)x2+mx+1=0有实数根,得
即m≠-1,(m-2)2≥8,则m=-2.故答案是-2.
三、解答题
1.(2015·绍兴中考)某校规划在一块长AD为18m,宽AB为13m的长方形场地ABCD上,设计分
别与AD,AB平行的横向通道和纵向通道,其余部分铺上草皮.
(1)如图1,若设计三条通道,一条横向,两条纵向,且它们的宽度相等,其余六块草坪相同,其中一块草坪两边之比AM:
AN=8:
9,问通道的宽是多少?
(2)为了建造花坛,要修改
(1)中的方案,如图2,将三条通道改为两条通道,纵向的宽度改为横向宽度的2倍,其余四块草坪相同,且每一块草坪均有一边长为8m,这样能在这些草坪建造花坛.如图3,在草坪RPQC中,已知RE⊥PQ于点
E,CF⊥PQ于点F,求花坛RECF的面积.
解:
(1)设通道的宽为xm,AM=8ym.
∵AM:
AN=8:
9,∴AN=9ym,
∴
,解得
,
∴通道的宽应设计为1m.
(2)∵四块相同草坪中的每一块有一条边长为8m,若RP=8m,则AB>13m,不合题意,
∴RQ=8m,
∴纵向通道的宽为2m,横向通道的宽为1m,
∴RP=6m.
∵RE⊥PQ,四边形RPCQ是长方形,∴PQ=10m,
∴RE·PQ=PR·QR,∴RE=4.8m.
∵RP2=RE2+PE2,∴PE=
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