经典例题剖析一次函数.docx
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经典例题剖析一次函数
第十一章一次函数复习课
[分析]本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t的具体值.从题中可以知道,t=0表示中午12时,t=1表示下午1时,则上午10时应表示成t=-2,当t=-2时,M=(-2)3-5×(-2)+100=102(℃).
答案:
102
例5已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式.
解:
(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y=7代入y-3=kx中,得
7-3=2k,
∴k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2×4+3=11.
(3)当y=4时,4=2x+3,∴x=
.
学生做一做已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数关系式是.
老师评一评由y与x+1成正比例,可设y与x的函数关系式为y=k(x+1).
再把x=5,y=12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.
设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).
∵当x=5时,y=12,
∴12=(5+1)k,∴k=2.
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2.
【注意】y与x+1成正比例,表示y=k(x+1),不要误认为y=kx+1.
例6若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是()
A.m﹤OB.m>0
C.m﹤
D.m>M
[分析]本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m﹤O,∴m>
,故正确答案为D项.
学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)求5年后的产值.
老师评一评
(1)年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式为y=15+2x.
(2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0,因此,函数y=15+2x的图象应为一条射线.
画函数y=12+5x的图象如图11-21所示.
(3)当x=5时,y=15+2×5=25(万元)
∴5年后的产值是25万元.
例7已知一次函数y=kx+b的图象如图11-22所示,求函数表达式.
[分析]从图象上可以看出,它与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,-3),代入关系式中,求出k为即可.
解:
由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点,
代入到y=kx+b中,得
∴
∴此函数的表达式为y=-3x-3.
例8求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
[分析]图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b即可.
解:
由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,
∴图象经过点(2,-1),
∴-l=2×2+b.
∴b=-5,
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
本节知识的综合应用包括:
(1)与方程知识的综合应用;
(2)与不等式知识的综合应用;(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.
例8已知y+a与x+b(a,b为是常数)成正比例.
(1)y是x的一次函数吗?
请说明理由;
(2)在什么条件下,y是x的正比例函数?
[分析]判断某函数是一次函数,只要符合y=kx+b(k,b中为常数,且k≠0)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合y=kx(k为常数,且k≠0)即可.
解:
(1)y是x的一次函数.
∵y+a与x+b是正比例函数,
∴设y+a=k(x+b)(k为常数,且k≠0)
整理得y=kx+(kb-a).
∵k≠0,k,a,b为常数,
∴y=kx+(kb-a)是一次函数.
(2)当kb-a=0,即a=kb时,
y是x的正比例函数.
例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4元;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元(均指市内通话)若1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1,y2与x之间的关系;
(2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?
(3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合算?
[分析]这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论.
解:
(1)y1=50+0.4x(其中x≥0,且x是整数)
y2=0.6x(其中x≥0,且x是整数)
(2)∵两种通讯费用相同,
∴y1=y2,
即50+0.4x=0.6x.
∴x=250.
∴一个月内通话250分时,两种通讯方式的费用相同.
(3)当y1=200时,有200=50+0.4x,
∴x=375(分).
∴“全球通”可通话375分.
当y2=200时,有200=0.6x,
∴x=333
(分).
∴“神州行”可通话333
分.
∵375>333
,
∴选择“全球通”较合算.
例10已知y+2与x成正比例,且x=-2时,y=0.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)观察图象,当x取何值时,y≥0?
(4)若点(m,6)在该函数的图象上,求m的值;
(5)设点P在y轴负半轴上,
(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且S△ABP=4,求P点的坐标.
[分析]由已知y+2与x成正比例,可设y+2=kx,把x=-2,y=0代入,可求出k,这样即可得到y与x之间的函数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点(m,6)在该函数的图象上,把x=m,y=6代入即可求出m的值.
解:
(1)∵y+2与x成正比例,
∴设y+2=kx(k是常数,且k≠0)
∵当x=-2时,y=0.
∴0+2=k·(-2),∴k=-1.
∴函数关系式为x+2=-x,
即y=-x-2.
(2)列表;
x
0
-2
y
-2
0
描点、连线,图象如图11-23所示.
(3)由函数图象可知,当x≤-2时,y≥0.
∴当x≤-2时,y≥0.
(4)∵点(m,6)在该函数的图象上,
∴6=-m-2,
∴m=-8.
(5)函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,
∴A(-2,0),B(0,-2).
∵S△ABP=
·|AP|·|OA|=4,
∴|BP|=
.
∴点P与点B的距离为4.
又∵B点坐标为(0,-2),且P在y轴负半轴上,
∴P点坐标为(0,-6).
例11已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.
(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?
(3)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?
(4)k为何值时,y随x的增大而减小?
[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项b>O;两函数图象平行,说明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.
解:
(1)图象经过原点,则它是正比例函数.
∴
∴k=-2.
∴当k=-3时,它的图象经过原点.
(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).
∴-2=-2k2+18,且3-k≠0,
∴k=±
∴当k=±
时,它的图象经过点(0,-2)
(3)函数图象平行于直线y=-x,
∴3-k=-1,
∴k=4.
∴当k=4时,它的图象平行于直线x=-x.
(4)∵随x的增大而减小,
∴3-k﹤O.
∴k>3.
∴当k>3时,y随x的增大而减小.
例12判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
[分析]由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.
解:
设过A,B两点的直线的表达式为y=kx+b.
由题意可知,
∴
∴过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.
∴当x=4时,y=4-2=2.
∴点C(4,2)在直线y=x-2上.
∴三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一条直线上.
学生做一做判断三点A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一条直线上.
探索与创新题
主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.
例13老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题:
(1)x从0开始逐渐增大时,y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30?
这说明了什么?
(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何?
甲生说:
“y=6x的函数值先达到30,说明y=6x比y=2x+8的值增长得快.”
乙生说:
“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的.”
你认为这两个同学的说法正确吗?
[分析]
(1)可先画出这两个函数的图象,从图象中发现,当x>2时,6x>2x+8,所以,y=6x的函数值先达到30.
(2)直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同,都是-1,故它们是平行的,所以这两位同学的说法都是正确的.
解:
这两位同学的说法都正确.
例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,用旅行社说:
“如果老师买全票,其他人全部半价优惠.”乙旅行社说:
“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价为240元.
(1)设学生人数为x,甲旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费;
(2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
[分析]先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式,再通过比较,探究结论.
解:
(1)甲旅行社的收费y甲(元)与学生人数x之间的函数关系式为
y甲=240+
×240x=240+120x.
乙旅行社的收费y乙(元)与学生人数x之间的函数关系式为
y乙=240×60%×(x+1)=144x+144.
(2)①当y甲=y乙时,有240+120x=144x+144,
∴24x=96,∴x=4.
∴当x=4时,两家旅行社的收费相同,去哪家都可以.
②当y甲>y乙时,240+120x>144x+144,
∴24x<96,∴x<4.
∴当x﹤4时,去乙旅行社更优惠.
③当y甲﹤y乙时,有240+120x﹤140x+144,
∴24x>96,∴x>4.
∴当x>4时,去甲旅行社更优惠.
小结此题的创新之处在于先通过计算进行讨论,再作出决策,另外,这两个函数都是一次函数,利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法.
学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案:
每千克9元,由基地送货上门;乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围;
(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少?
并说明理由.
老师评一评先求出两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,再通过比较,探索出结论.
(1)甲方案的付款y甲(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式为
y甲=9x(x≥3000);
乙方案的付款y乙(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式为
y乙=8x+500O(x≥3000).
(2)有两种解法:
解法1:
①当y甲=y乙时,有9x=8x+5000,
∴x=5000.
∴当x=5000时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以.
②当y甲﹤y乙时,有9x﹤8x+5000,
∴x<5000.
又∵x≥3000,
∴当3000≤x≤5000时,甲方案付款少,故采用甲方案.
③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,
∴x>5000.
∴.当x>500O时,乙方案付款少,故采用乙方案.
解法2:
图象法,作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象,如图11-24所示,由图象可得:
当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时,y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少;当购买量为5000千克时,y甲﹥y乙即两种方案付款一样;当购买量大于5000千克时,y甲>y乙,即选择乙方案付款最少.
【说明】图象法是解决问题的重要方法,也是考查学生读图能力的有效途径.
例15一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为.
[分析]本题分两种情况讨论:
①当k>0时,y随x的增大而增大,则有:
当x=-3,y=-5;当x=6时,y=-2,把它们代入y=kx+b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-4.
②当k﹤O时则随x的增大而减小,则有:
当x=-3时,y=-2;当x=6时,y=-5,把它们代入y=kx+b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-3.
∴函数解析式为y=
x-4,或y=-
x-3.
答案:
y=
x-4或y=-
x-3.
【注意】本题充分体现了分类讨论思想,方程思想在一次函数中的应用,切忌考虑问题不全面.
中考试题预测
例1某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例,当x=20时y=160O;当x=3O时,y=200O.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)动果有50名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么每名运动员需要支付多少元?
[分析]设举办乒乓球比赛的费用y(元)与租用比赛场地等固定不变的费用b(元)和参加比赛的人数x(人)的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
把x=20,y=1600;x=30,y=2000代入函数关系式,求出k,b的值,进而求出y与x之间的函数关系式,当x=50时,求出y的值,再求得y÷50的值即可.
解:
(1)设y1=b,y2=kx(k≠0,x>0),
∴y=kx+b.
又∵当x=20时,y=1600;当x=30时,y=2000,
∴
∴
∴y与x之间的函数关系式为y=40x+800(x>0).
(2)当x=50时,y=40×50+800=2800(元).
∴每名运动员需支付2800÷50=56(元〕
答:
每名运动员需支付56元.
例2已知一次函数y=kx+b,当x=-4时,y的值为9;当x=2时,y的值为-3.
(1)求这个函数的解析式。
(2)在直角坐标系内画出这个函数的图象.
[分析]求函数的解析式,需要两个点或两对x,y的值,把它们代入y=kx+b中,即可求出k在的值,也就求出这个函数的解析式,进而画出这个函数的图象.
解:
(1)由题意可知
∴
∴这个函数的解析式为x=-2x+1.
(2)列表如下:
x
0
y
1
0
描点、连线,如图11-26所示即为y=-2x+1的图象.
例3如图11-27所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得的指距与身高的一组数据.
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)
(2)某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少?
[分析]设h与d之间的函数关系式是h=kd+b(k≠0)
当d=20时,h=160;当d=21时,h=169.
把这两对d,h值代人h=kd+b得
∴
所以得出h与d之间的函数关系式,当h=196时,即可求出d.
解:
(1)设h与d之间的函数关系式为h=kd+b(k≠0)
由题中图表可知当d=2O时,h=16O;当d=21时,h=169.
把它们代入函数关系式,得
∴
∴h与d之间的函数关系式是h=9d-20.
(2)当h=196时,有196=9d-20.
∴d=24.
∴当某人的身高为196cm时,一般情况下他的指距是24cm.
例4汽车由重庆驶往相距400千米的成都,如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间
t(时)的函数关系用图象(如图11-28所示)表示应为()
[分析]本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识,由题意可知,汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式是s=400-100t,其中自变量t的取值范围是0≤t≤4,所以有0≤s≤400,因此这个函数图象应为一条线段,故淘汰掉D.又因为在S=400-100t中的k=-100<0,∴s随t的增大而减小,所以正确答案应该是C.
答案:
C
小结画函数图象时,要注意自变量的取值范围,尤其是对实际问题.
例5已知函数:
(1)图象不经过第二象限;
(2)图象经过点(2,-5).请你写出一个同时满足
(1)和
(2)的函数关系式:
.
[分析]这是一个开放性试题,答案是不惟一的,因为点(2,-5)在第四象限,而图象又不经过第二象限,所以这个函数图象经过第一、三、四象限,只需在第一象限另外任意找到一点,就可以确定出函数的解析式.设经过第一、二、四象限的直线解析式为y=kx+b(k≠O),另外的一点为(4,3),把这两个点代入解析式中即可求出k,b.
∴
∴y=4x-13.
答案:
y=4x-13
【注意】后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析.
例6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,另么b=0.8(220-a).
(1)正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少?
(2)一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他有危险吗?
[分析]
(1)只需求出当a=16时b的值即可.
(2)求出当a=50时b的值,再用b和20×
=120(次)相比较即可.
解:
(1)当a=16时,
b=0.8(220-16)=163.2(次).
∴正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是163.2次.
(2)当a=50时,
b=0.8(220-50)=0.8×170=136(次),表示他最大能承受每分136次.
而20×
=120﹤136,所以他没有危险.
∴一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他没有危险.
例7某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C,D两县运化肥到A,B两县的运费(元/吨)如下表所示.
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
[分析]利用表格来分析C,D两县运到A,B两县的化肥情况如下表.
则总运费W(元)与x(吨)的函数关系式为
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45[60-(100-x)]=10x+4800.
自变量x的取值范围是40≤x≤90.
解:
(1)由C县运往A县的化肥为x吨,则C县运往B县的化肥为(100-x)吨.
D县运往A县的化肥为(90-x)吨,D县运往B县的化肥为(x-40)吨.
由题意可知
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800.
自变量x的取值范围为40≤x≤90.
∴总运费W(元)与x(吨)之间的函数关系式为
w=1Ox+480O(40≤x≤9O).
(2)∵10>0,
∴W随x的增大而增大.
∴当x=40时,
W最小值=10×40+4800=5200(元).
运费最低时,x=40,90-x=50(吨),x-40=0(吨).
∴当总运费最低时,运送方案是:
C县的100吨化肥40吨运往A县,60吨运往B县,D县的50吨化肥全部运往A县.
例82006年夏天,某省由于持续高温和连日无雨,水库蓄水量普遍下降,图11-29是某水库的蓄水量V(万米2)与干旱持续时间t(天)之问的关系图,请根据此图回答下列问题.
(1)该水库原蓄水量为多少万米2?
持续干旱10天后.水库蓄水量为多少万米3?
(2)若水库存的蓄水量小于400万米3时,将发出严重干旱警报,请问:
持续干旱多少天后,将发生严重干旱警报?
(3)按此规律,持续干旱多少天时,水库将干涸?
[分析]由函数图象可知,水库的蓄水量V(万米2)与干旱时间t(天)之间的函数关系为一次函数,设一次函数的解析式是V=kt+b(k,b是常数,且k≠0).由图象求得这个函数解析式,进而求出本题
(1)
(2)(3)问即可.
解:
设水库的蓄水量V(万米3)与干旱时间t(天)之间的函数关系式是
V=kt+b(k,b是常数,且k=0).
由图象可知,当t=10时,V=800;当t=30时,V=400.
把它们代入V=kt+b中,得
∴
∴V=-20t+1000(0≤t≤50).
(1)当t=0时,V=-20×0+1000=1000(万米2);
当t=10时,V=-20×10+1000=800(万米3).
∴该水库原蓄水量为1000万米3,持续干旱10天后,水库蓄水量为800万米3.
(2)当V<400时,有-20t+1000<400,
∴t>30,
∴当持续干旱30天后,将发生严重干旱警报.
(3)当V=0时,有-20t+1000=0,
∴t=50,
∴按此规律,持续干旱50天时,水库将干涸.
【说明】解决本题的关键是求出V与t之间的函数关系式.
例9图11-30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程),根据图象回答下列问题.
(1)当比赛开始多少分时,两人第一次相遇?
(2)这次比赛全程是多少千米?
(3)当比赛开始多少分时,两人第二次相遇?
[分析]本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力.解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中,路程y(千米)随时间x(分)变化的函数关系式,其中:
乙的函数图象为正比例函数,而甲的函数图象则是三段线段,第一段是正比例函数,第二段和第三段是一次函数,需分别求出.
解:
(1)当15≤x<33时,设yAB=k1x+b1,把(15,5)和(33,7)代入,解得k1=
b1=
∴yAB=
x+
.∴yAB=
x+
.
当y=6时,有6=
x+
,
∴x=24。
∴比赛开始24分时,两人第一次相遇.
(2)设yOD=mx,把(4,6)代入,得m=
,
当X=48时,yOD=
×48=12(千米)
∴这次比赛全程是12千米.
(3)当33≤x≤43时,设yBC=k2x+b2,把(33,7)和(43,12)代入,
解得k2=
,b2=-
.∴yBC=
x-
.
解方程组得
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