新初三暑期四边形复习B.docx
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新初三暑期四边形复习B
四边形
1.如图,正方形ABCD外有一点P,P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间,若PA==,PB=匚,PC==,求PD的长
2222
分析:
用EF,BE,AB分另【J表示AP,BP,用CF,PF,DC分另U表示DP,CP,得AP2+CP2=DP‘+BP2,已知AP,BP,CP代入上式即可求DP.
解答:
解:
延长AB,DC,过P分作PE丄AE,PF丄DF,贝UCF=BE,
222222
AP=AE+EP,BP=BE+PE,
222222
DP=DF+PF,CP=CF+FP,
222222
二AP+CP=CF+FP+AE+EP,
222222
DP+BP=DF+PF+BE+PE,即ap2+cp2=dp2+bp2,代入AP,BP,CP得DP=/^I=27^,
BE
点评:
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了正方形各边相等的性质,本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是解题的关键.
2.如图,?
ABCD中,/ABC=75°°AF丄BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,求/AED的大小
考点:
平行四边形的性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线。
专题:
计算题。
分析:
由DE=2AB,可作辅助线:
取DE中点0,连接AO,根据平行四边形的对边平行,易得△ADE是直角三角形,由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,即可得△AD0,△AOE,△AOB是等腰三角形,借助于方程求解即可.
解答:
解:
取DE中点0,连接A0,
•••四边形ABCD是平行四边形,
•••AD//BC,
•••/DAB=180°-ZABC=105°,
•/AF丄BC,
•AF丄AD,
•ZDAE=90°,
•OA=」DE=OD=OE,
2
•/DE=2AB,
•OA=AB,
•ZAOB=ZABO,ZADO=ZDAO,ZAED=ZEAO,
vZAOB=ZADO+ZDAO=2ZADO,
•••/ABD=/A0B=2/ADO,
•••/ABD+/ADO+/DAB=180°
•••/ADO=25°/AOB=50°
•••/AED+/EAO+/AOB=180°,
•••/AED=65°
故选B.
点评:
此题考查了直角三角形的性质(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)、平行四边形的性质(平行四边
形的对边平行)以及等腰三角形的性质(等边对等角),解题的关键是注意方程思想的应用.
3.在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上异于A和D的任意一点,且PE丄BD,PF丄AC,
E、F分别是垂足,那么PE+PF=_—
矩形的性质;等腰三角形的性质。
几何图形问题。
首先过A作AG丄BD于G•根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,则
PE+PF=AG.利用勾股定理求得BD的长,再根据三角形的面积计算公式求得AG的长,即为PE+PF的
长.
解:
如图,过A作AG丄BD于G,则S^aod=—>OD>AG,S^aop+S^pod==>AO>PF+—>DO沖E=->DOX(PE+PF),
taod=Saaop+S△pod,
•PE+PF=AG,
•等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,
•PE+PF=AG.
•/AD=12,AB=5,
•BD=,—丁-=13,
故答案为:
4.如图,在△ADC中,/BAC=90°°AD丄BC,BE、AF分别是/ABC、/DAC的平分线,BE和AD交于G,求证:
GF//AC.
考点:
平行四边形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质。
专题:
证明题。
分析:
从角的角度证明困难,连接EF,在四边形AGFE的背景下思考问题,证明四边形AGFE为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.
解答:
证明:
连接EF.
•••/BAC=90°AD丄BC.
•••/C+/ABC=90°/C+/DAC=90°/ABC+/BAD=90°
•••/ABC=/DAC,/BAD=/C.
•/BE、AF分别是/ABC、/DAC的平分线.
•••/ABG=/EBD.
•••/AGE=/GAB+/GBA,/AEG=/C+/EBD,
•••/AGE=/AEG,
•AG=AE,
•••AF是/DAC的平分线,
•AO丄BE,GO=EO,
rZAB0=ZFB0
•••*BO=BO
lZAOB=ZFOB^90Q
•△ABO◎△FBO,
•AO=FO,
•四边形AGFE是平行四边形,
•GF//AE,
即GF//AC.
5.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
(1)求证:
△ACDCBF;
CDEF是平行四边形且/DEF=30°
考点:
平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。
专题:
证明题。
分析:
(1)在厶ACD和厶CBF中,根据已知条件有两边和一夹角对应相等,可根据边角边来证明全等.
(2)当/DEF=30°即为/DCF=30°在厶BCF中,/CFB=90°即F为AB的中点,又因为△ACD◎△CBF,所以点D为BC的中点.
解答:
证明:
(1)由厶ABC为等边三角形,AC=BC,/FBC=/DCA,CD=BF,
所以△ACDCBF.
(2)当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形,且角DEF=30度
AB=AC,/EAB+/BAD=/DAC+/BAD=60°即/EAB=/DAC,AE=AD,•••△AEB◎△ADC(SAS),
又•••△ACD◎△CBF,
•△AEB◎△ADC◎△CFB,
•EB=FB,/EBA=/ABC=60°
•△EFB为正三角形,
•EF=FB=CD,/EFB=60°
又•••/ABC=60°
•/EFB=/ABC=60°
•EF//BC,
而CD在BC上,•EF平行且相等于CD,
•四边形CDEF为平行四边形,
•/D在线段BC上的中点,
•F在线段AB上的中点,
•/FCD=-X60°30°
2
贝DEF=/FCD=30°
6.如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,/A=90°点D为BC上任一点,DF丄AB于F,DE丄AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
考点:
等腰三角形的判定。
专题:
证明题。
根据已知,利用SAS判定△AEM◎△BFM,从而得到EM=FM;根据角之间的关系可求得/即厶MEF是等腰直角三角形.
解:
△MEF是等腰直角三角形.证明如下:
连接AM,
•/M是BC的中点,/BAC=90°AB=AC,•AM=*C=BM,AM平分/BAC.
•/MAC=/MAB=云/BAC=45°
•/AB丄AC,DE丄AC,DF丄AB,
•DE//AB,DF//AC.
•//BAC=90°°
•••四边形DFAE为矩形.
•••DF=AE.
•/DF丄BF,/B=45°
•••/BDF=/B=45°
•BF=FD,/B=/MAE=45°
•AE=BF.
•/AM=BM
•△AEM◎△BFM(SAS).
•EM=FM,/AME=/BMF.
•••/AMF+/BMF=90°
•••/AME+/AMF=/EMF=90°
•△MEF是等腰直角三角形.
BD5/C
7.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,试证:
BC丄BD,且BC=BD.
C
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质。
专题:
证明题。
分析:
此题关键是证△PBC^APDB,已有PC=PD,PB是公共边,只需再证明/BPD=/CPB,而/BPD=/APG,则证明/APG=/CPB,进而需要证明/1=/2,可利用同角的余角相等证明.
解答:
解:
PE丄AC于E,PF丄BC于F,/ACB=90°
•CEPF是矩形(三角都是直角的四边形是矩形),
•OP=OF,/PEF+/3=90°
•••/1=/3,
•/PG丄EF,
•/PEF+/2=90°
•/2=/3,
•/1=/2,
•••△ABC是等腰直角三角形,
•/A=/ABC=45°
•/APE=/BPF=45°,
•/APE+/2=/BPF+/1,
即/APG=/CPB,
•••/BPD=/APG,
•••/BPD=/CPB,
又•••PC=PD,PB是公共边,
•••△PBC◎△PBD(SAS),
•BC=BD,/PBC=/PBD=45°
•••/PBC+/PBD=90°
即BC丄BD.
故证得:
BC丄BD,且BC=BD.
8..如图1,在厶ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作dPCD,AC与PD相交于点E,已知/ABC=/AEPa(0° (1)求证: /EAP=/EPA; (2)CAPCD是否为矩形? 请说明理由; (3°如图2,F为BC中点,连接FP,将/AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到/MEN(点M、N分别是/MEN的两边与BA、FP延长线的交点)•猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论• 【答案】 (1)证明: 在△ABC和△AEP中 •••/ABC=/AEP,/BAC=/EAP •/ACB=/APE 在△ABC中,AB=BC •••/ACB=/BAC •/EPA=/EAP ⑵答: DAPCD是矩形 •••四边形APCD是平行四边形 •AC=2EA,PD=2EP •/由 (1)知/EPA=/EAP •EA=EP 贝UAC=PD •o\pcd是矩形 ⑶答: EM=EN •/EA=EP•••/EPA=90°-2a 11 •••/EAM=180-ZEPA=180-(90°辛)=90。 扌a由 (2)知ZCPB=90,F是BC的中点,•FP=FB•ZFPB=ZABCa •ZEPN=ZEPA+ZAPN=ZEPA+ZFPB=90-舟a+a=90? a •ZEAM=ZEPN •••ZAEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到ZMEN •ZAEP=ZMEN •ZAEP-ZAEN=ZMEN-ZAEN即ZMEA=ZNEP 四边形 1.如图,正方形ABCD外有一点P,P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间,若PA=.=,PB二匚,PC==,求PD的长 2.如图,? ABCD中,/ABC=75°AF丄BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,求/AED的大小 3.在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上异于A和D的任意一点,且PE丄BD,PF丄AC, E、F分别是垂足,那么PE+PF=_-— 4.如图,在△ADC中,/BAC=90°AD丄BC,BE、AF分别是/ABC、/DAC的平分线,BE和AD交于G,求证: GF//AC. D 5.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE. (1)求证: △ACDCBF; (2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且/DEF=30° 6.如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,/A=90。 ,点D为BC上任一点,DF丄AB于F,DE丄AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论. 7.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,试证: BC丄BD,且BC=BD. 8•如图1,在厶ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作CAPCD,AC与PD相交于点E,已知/ABC=/AEPa(0° (1)求证: /EAP=/EPA; (2)CAPCD是否为矩形? 请说明理由; (3)如图2,F为BC中点,连接FP,将/AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到/MEN(点M、N分别是 /MEN的两边与BA、FP延长线的交点)•猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论• 图1
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- 初三 暑期 四边形 复习