数学中考压轴题解析汇编03.docx
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数学中考压轴题解析汇编03
【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.
(1)当OC=
时,求证:
CD是⊙O的切线;
(2)当OC>
时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.
①当D为CE中点时,求△ACE的周长;
②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?
若存在,请说明梯形个数并求此时AE·ED的值;若不存在,请说明理由。
解:
(1)连接OD。
∵AB是⊙O的直径,AB=4
∴OA=OB=OD=2∴OD2=4
∵OA=CD
∴CD=2∴CD2=4
∵OC=
∴OC2=8
∵OC2=OD2+CD2
∴△ODC是直角三角形,且∠ODC=90°
∴OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线
(2)①连接OE、OD。
∵D为CE的中点∴DE=CD
∵CD=OA=2,OA=OD=OE
∴DE=OD=OE=2
∴△ODE是等边三角形∴∠DOE=∠ODE=60°
∵CD=OD=2∴∠DOC=∠OCD
∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60°
∴∠DOC=∠OCD=30°
过点D作DF⊥OC于F
则OF=CF=OD·cos∠DOC=2×
=
∴OC=OF+CF=2
∵∠DOC=30°,∠DOE=60°∴∠AOE=90°
∴AE=
=
∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA
=
+2+2+2
+2
=
+2
+6
②存在四边形AODE为梯形。
由题意知,当OD∥AE时,四边形AODE为梯形。
由对称性知,存在两个这样的梯形,即在AC的上下方各一个。
∵OD∥AE∴∠DOC=∠EAO
∵△ODC、△AOE是等腰三角形
又OA=OE=OD=CD=2
∴△ODC≌△AOE∴OC=AE
设OC=AE=m(m>
),则AC=m+2
∵OD∥AE∴
∴
,即m2-2m-4=0
解得m=
或
(舍去)
∴AE=
∵∠DOC=∠EAO=∠OCD
∴CE=AE
∴ED=CE-CD=AE-CD=
-2=
∴AE·ED=(
)(
)=4
【2013·广州·25题】已知抛物线y1=
过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限。
(1)使用a、c表示b;
(2)判断点B所在象限,并说明理由;
(3)若直线y2=2x+m经过点B,且于该抛物线交于另一点C(
),求当x≥1时y1的取值范围。
解:
(1)∵抛物线过点A(1,0)
∴a+b+c=0
∴b=-a-c
(2)点B在第四象限。
理由如下:
当y1=0时,ax2+bx+c=0
由韦达定理得,x1·x2=
∵a≠c
∴x1·x2≠1
∵抛物线过点A(1,0)
∴1是方程的根,令x1=1
∴x2≠1
∴抛物线与x轴有两个交点
∵抛物线不经过第三象限
∴抛物线开口向上,即a>0
∴顶点B在第四象限
(3)∵点C
在抛物线上
∴b+8=a·(
)2+b·
+c
=
=
∴b=-8
∴a+c=8……①
∵点C
在直线y2=2x+m上
∴m=-
∵顶点B的坐标为(-
,
)
即B(
,
),且在直线y2上
∴
=
-
……②
由①②解方程组得:
或
∵a≠c
∴a=2,c=6
∴抛物线的解析式为y1=2x2-8x+6
易知A(1,0)和C(3,0)是抛物线与x轴
的交点,顶点B坐标为(2,-2)
∵抛物线开口向上
∴当x≥1时,y1的取值范围为y1≥-2
【2013·福州·21题】如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,P是BC边上一点,△PAD的面积为
,设AB=
,AD=
(1)求
与
的函数关系式;
(2)若∠APD=45°,当
时,求PB•PC的值;
(3)若∠APD=90°,求
的最小值。
解:
(1)过点A作AE⊥BC于E。
∵∠B=45°,AB=x
∴AE=AB·sin∠B=
x
∵AD=y,S△APD=
∴S△APD=
AD·AE=
·y·
x=
∴y关于x的函数关系式为y=
(2)∵∠APD=45°
∴∠APB+∠DPC=135°
∵∠B=45°,AD∥BC
∴∠BAD=180°-∠B=135°
∴∠BAP+∠PAD=135°
∵AD∥BC
∴∠PAD=∠APB
∴∠BAP+∠APB=135°
∴∠BAP=∠DPC
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠C,AB=CD
∴△ABP∽△PCD
∴
,即PB·PC=AB·CD
∵y=1∴x=
∴AB=CD=
∴PB·PC=
·
=2
(3)取AD的中点F,连接FP,过点P作PH⊥AD于H,则PF≥PH。
∴当PF=PH时,PF有最小值
∵∠APD=90°,点F为AD的中点
∴PF=
AD=
y
∵PH=AE=
x
∴当
y=
x时,PF有最小值,即y有最小值
∵y=
,即x=
∴
y=
·
,得y2=2
∵y>0
∴y=
,即y的最小值为
【2013·福州·22题】我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y1=ax2+bx(a≠0)
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a=__________;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是___________
(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b;
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过Dn,求所有满足条件的正方形边长。
解:
(1)当顶点为(1,1)时,
则有-
=1,a+b=1
∴a=-1
当顶点为(m,m)时,
则有-
=m,am2+bm=m
消去b后即得:
am+1=0
(2)由抛物线顶点坐标公式可得,过原点的抛物线的顶点坐标为(-
,
)
∵顶点在直线y=kx(k≠0)上
∴-
=
∵a≠0,b≠0
∴b=2k
(3)∵顶点An在直线y=x上
∴由
(2)可知,b=2
∴抛物线解析式为y=ax2+2x
由题意可设,An坐标为(n,n),并设点Dn所在的那条抛物线的顶点坐标为(m,m)
由
(1)可知,a=-
∴这条抛物线的解析式为y=-
x2+2x
∵四边形AnBnCnDn是正方形,AnBn⊥x轴,且CnDn在AnBn右侧
∴点Dn的坐标为(2n,n)
∴n=
(2n)2+2×2n
得4n=3m
∵m、n都是正整数,且m≤12,n≤12
∴n=3或6或9
∴满足条件的正方形的边长为3或6或9
【2013·成都·27题】如图,⊙O的半径r=25,四边形ABCD内接于⊙O,AC⊥BD于点H,P为CA延长线上一点,且∠PDA=∠ABD。
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若tan∠ADB=
,PA=
AH,求BD的长;
(3)在
(2)的条件下,求四边形ABCD的面积。
解:
(1)PD与⊙O相切。
理由如下:
连接DO延长交⊙O于E,连接AE。
∵DE是⊙O的直径
∴∠DAE=90°
∴∠ADE+∠AED=90°
∵∠PDA=∠ABD,∠ABD=∠AED
∴∠ADE+∠PDA=90°
∴∠PDE=90°,即PD⊥DE
∴PD与⊙O相切
(2)连接BE。
∵AC⊥BD
∴∠AHD=90°
∴tan∠ADB=
=
∴DH=
AH
∵PA=
AH
∴PH=PA+AH=
AH
∵在Rt△PHD中,tan∠P=
∴∠P=30°
∵∠P+∠PDH=90°,∠PDH+∠BDE=90°
∴∠BDE=30°
∵DE是⊙O的直径
∴∠DBE=90°
∵DE=2r=50
∴BD=DE·cos∠BDE=50×
=25
(3)过点O作OF⊥AC于F,作OG⊥AB于G,则四边形OFHG是矩形
∴FH=OG
由
(2)可得,FH=OG=
OD=
∵OF⊥AC
∴AC=2AF=2AH+25
由tan∠ADB=
,设AH=3m,DH=4m
则AC=6m+25,PA=(4
-3)m
∴PC=AC+PA=(4
+3)m+25
∵在Rt△PHD中,∠P=30°
∴PD=2DH=8m
∵PD是⊙O的切线,PAC是⊙O的割线
∴PD2=PA·PC
∴64m2=(4
-3)m·[(4
+3)m+25]
解得m=0(舍去)或4
-3
∴AC=6m+25=24
+7
∴S四边形ABCD=
AC·BD
=
(24
+7)·25
=900+
【2013·成都·28题】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-
x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限。
(1)如图,若该抛物线经过A、B两点,求抛物线的函数表达式;
(2)平移
(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q。
①若点M在直线AC下方,且为平移前
(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
②取BC的中点N,连接NP,BQ。
试探究
是否存在最大值?
若存在,请求出该最大值;若不存在,请说明理由。
解:
(1)由题图知,点B坐标为(4,-1),则
解得
∴抛物线的函数表达式为y=-
x2+2x-1
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,则
解得
∴直线AC的解析式为y=x-1
设顶点P的坐标为(m,m-1),则平移后的抛物线解析式为y=-
(x-m)2+m-1
联立y=x-1可得,点Q坐标为(m-2,m-3)
①当△MPQ是等腰直角三角形时,存在如下三种情况,如图①:
一、当PM=PQ且∠P=90°时,此时,点M的坐标为(m+2,m-3)
∵点M在抛物线y=-
x2+2x-1上
∴m-3=-
(m+2)2+2(m+2)-1,即m2+2m-8=0
解得m=2或-4∴M(4,-1)或(-2,-7)
二、当MP=MQ且∠M=90°时,此时,点M的坐标为(m,m-3),则m-3=-
m2+2m-1,即m2-2m-4=0
解得m=1+
或1-
(舍去)
∴M(1+
,-2+
)或(1-
,-2-
)
三、当QM=QP且∠Q=90°时,此时,点M的坐标为(m,m-5),则m-5=-
m2+2m-1,即m2-2m-8=0
解得m=4或-2∴M(4,-1)或(-2,-7)
故,符合条件的点M的坐标为(4,-1)、(-2,-7)、(1+
,-2+
)、(1-
,-2-
)
②∵P(m,m-1),Q(m-2,m-3)
∴PQ=
=2
∴当NP+BQ有最小值时,
有最大值
∵N是BC的中点∴N(4,1),BN=2为定值
∴当四边形BNPQ的周长最小时,NP+BQ最小
取点B关于直线AC的对称点B’(0,3),取AB的中点D(2,-1),连接B’D交AC于Q,过点N作NP∥B’D交AC于P,连接DN,如图②。
易证得PQ∥DN,PQ=DN
∴四边形DNPQ是平行四边形∴NP=DQ
∵BQ=B’Q∴NP+BQ=DQ+B’Q
∵点B’、Q、D在同一直线上
∴NP+BQ=B’D有最小值
易得NP+BQ=B’D=
=2
∴
的最大值为
【2013·贵阳·24题】在△
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