九年级下册三角函数教学案.docx
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九年级下册三角函数教学案
九年级下册三角函数教学案
一、教学目标:
1.理解并掌握正切的定义,会在直角三角形中求出某个锐角的正切值;
2.了解计算一个锐角的正切值的方法.
二、自主学习:
1.下列图中的两个台阶哪个更陡?
你是怎么判断的?
2.思考与探索:
除了用∠A的大小来描述倾斜程度,我们还可以
(1)可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比,来说明台阶的倾斜程度.
(2)可通过测量B1C1与A1C1的长度,再算出它们的比,来说明台阶的倾斜程度.
总结:
一般地,如果锐角A的大小确定,我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三形(如图),那么图中:
成立吗?
为什么?
结论:
.
3.正切的定义:
.
三、释疑解难:
思考:
当∠A越来越大时,∠A的正切值如何变化?
四、例题讲解:
1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.
通过上述计算,你有什么发现?
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AC=3,AB=5,求∠ACD、∠BCD的正切值.
变式:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高.
①tanA=____=____;②tanB=____=____;
③tan∠ACD=____;④tan∠BCD=____;
五:
当堂检测:
A级(100分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=,求tanA与tanB的值.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,tanA=,求AB的值.
3.如图,在4×4的正方形网格中,tanα=__________.
4.在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,1),
B(-1,3),C(-4,3),则tanB=___________.(先画图再填空)
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,tanA=2,求AB的值.
B级(20分)
6.等腰三角形ABC的腰长AB,AC为5,底边长为6,求tanC.
课题:
§7.2正弦、余弦
(1)
一、教学目标:
1.理解并掌握正弦、余弦的含义,会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值;
2.能用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
二、自主学习:
问题1:
如图,小明沿着某斜坡向上行走了13m后,他的相对位置升高了5m,如果他沿着该斜坡行走了20m,那么他的相对位置升高了多少?
行走了am呢?
问题2:
在上述问题中,他在水平方向又分别前进了多远?
思考:
从上面的两个问题可以看出:
当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________;它的邻边与斜边的比值___________.(根据是______________________.)
正弦的定义:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______,记作________,
即:
sinA=________=________.
余弦的定义:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______,记作=_________,
即:
cosA=______=_____.
(你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗?
)试试看.
根据如图中条件,分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值.
三、释疑解难:
从sin15°,sin30°,sin75°的值,你们得到什么结论?
____________________________________________________________.
从cos15°,cos30°,cos75°的值,你们得到什么结论?
____________________________________________________________.
问题4:
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________
归纳与小结:
sinA=;cosA=;tanA=.
2.锐角A的正弦,余弦和正切都是∠A的_________________.
3.当锐角α越来越大时,α的正弦值越来___________,α的余弦值越来___________.
四、例题讲解:
1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A的三个三角函数值.
变式:
如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边,△ABC最小的角为A,求sinA的值.
五:
当堂检测:
A级(100分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA=_____,
cosA=_____,sinB=_____,cosB=_____.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则sinA=__,cosB=____,cosA=_______,sinB=____.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9a,AC=12a,AB=15a,tanB=____,cosB=____,sinB=_______.
4.已知:
如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
sinA==;sinB==
cos∠ACD=;cos∠BCD=
tanA==;tanB==
5.如图,已知Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠B=40°,则直角边BC的长是()
A.m·sin40°B.m·cos40°
C.m·tan40°D.
B级(20分)
6.在△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,求sinB,tanB的值.
课题:
§7.2正弦、余弦
(2)
一、教学目标:
1.能够根据直角三角形的边角关系进行计算;
2.能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.
二、自主学习:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,分别写出∠A的三角函数关系式:
sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____.
∠B的三角函数关系式_________________________.
2.比较上述中,sinA与cosB,cosA与sinB,tanA与tanB的表达式,你有什么发现?
3.基础训练
①如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____.
②如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____.
③在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=2BC,则sinC=_____.
④如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=,则BC=_____.
⑤在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____.
⑥如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=15,sinC=,则AB=_____.
⑦在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=12,则AB=_____,BC=_____.
三、释疑解难:
四、例题讲解:
例1.小明正在放风筝,风筝线与水平线成35°角时,小明的手离地面1m,若把放出的风筝线看成一条线段,长95m,求风筝此时的高度.(精确到1m)
(参考数据:
sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002)
例2.工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶(如图),已知木板长为4m,车厢到地面的距离为1.4m.
(1)你能求出木板与地面的夹角吗?
(2)请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离.(精确到0.1m)
(参考数据:
sin20.5°≈0.3500,cos20.5°≈0.9397,tan20.5°≈0.3739)
五:
当堂检测:
A级(100分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA,则∠A的度数是____.
2.比较大小:
(用>,<或=表示)
①sin40°cos40°②sin80°cos30°③sin45°cos45°.
3.在Rt△ABC中,∠B=90º,AC=15,sinC=,则BC=_______________.
4.已知α为锐角:
(1)sinα=,则cosα=______,tanα=______.
(2)cosα=,则sinα=______,tanα=______.
(3)tanα=,则sinα=______,cosα=______.
5.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cosα=,AB=4,则AD的长为________.
B级(20分)
6.如图,AB表示地面上某一斜坡的坡面,BC表示斜面上点B相对于水平地面AC的垂直高度,∠A=14º,AB=240m.求点B相对于水平地面的高度(精确到1m).(友情提示:
sin14º=0.24,cos14º=0.97,tan14º=0.25)
课题:
§7.3特殊角的三角函数
一、教学目标:
1.能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值,进一步体会三角函数的意义;
2.会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值;
3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
二、自主学习:
【温故知新】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,分别写出∠A的三角函数关系式:
sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____.
2.如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若BC=a,请你在图上分别写出三边长度.
如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,若BC=a,请你在图上分别写出三边长度.
3.根据以上探索完成下列表格:
三、释疑解难:
四、例题讲解:
例1.求下列各式的值.
(1)2sin30°-cos45°
(2)sin60°·cos60°(3)sin230°+cos230°
练习:
计算.
(1)cos45°-sin30°
(2)sin260°+cos260°(3)tan45°-sin30°·cos60°(4)
2.求下列各式的值
(1)tan45°-sin30°·cos60°
(2)
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则BC∶AC∶AB等于()
A.1∶2∶5B.1∶∶C.1∶∶2D.1∶2∶
4.已知α为锐角,当无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.
5.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=.分别求出
△ABC、△ACD、△BCD中各锐角.
五:
当堂检测:
A级(100分)
1.计算下列各式的值.
(1)2sin30°+3cos60°-4tan45°
(2)cos30°sin45°+sin30°cos45°(3)
(4)cos30°+sin45°(5)·tan30°(6)2cos45°+-))
B级(20分)
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,求:
(1)cosA
(2)当AB=4时,求BC的长.
课题:
7.4由三角函数值求锐角
一、教学目标:
1会根据锐角的三角函数值。
2能够解决含三角函数值计算的实际问题
二、自主学习:
1.问题:
如图,小明沿斜坡AB行走了10cm。
他的相对位置升高了5cm,
你能知道这个斜坡的倾斜角A的大小吗?
根据已知条件,有:
sinA=
可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。
得∠A=
自学例题:
1.求满足下列条件的锐角A
(1)
(2)(3)
2.如图,已知秋千吊绳的长度2m,求秋千升高1m时,秋千吊绳与竖直方向所成的角度
三、释疑解难:
四、例题讲解:
例1.根据下列条件求锐角θ的大小:
(1)sinθ=;
(2)cosθ=;(3)tanθ=;
例2.求满足下列条件的锐角α.
(1)cosα=,2)
(2)2sinα=1(3)2sinα-=0(4)tanα-1=0
练习:
1.若sinα=,则锐角α=_________;若sinα=,2),则锐角α=_________.
2.若∠A是锐角,且tanA=,3),则cosA=_________.
例3.在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=,tanB=,AB=10,求△ABC面积.
变式:
如图,△ABC中,cosB=,2),sinC=,AC=5,则△ABC的面积是_________.
五:
当堂检测:
A级(100分)
1.若sinα=,2),则锐角α=________;若2cosα=1,则锐角α=_________.
2.在△ABC中,若))+=0,则sinB=,∠C=.
在△ABC中,∠A、∠B为锐角,且有))+(2sinA-)2=0,则△ABC的形状是_________.
3.在△ABC中,∠C=90°
(1)若∠A=30°,则a:
b:
c=;
(2)若∠A=45°,则a:
b:
c=.
4.求满足下列条件的锐角α:
⑴cosα-,2)=0⑵-tanα+=0⑶cosα-2=0
⑷tan(α+10°)=⑸cos(α-25°)=,2)⑹tanα-2tanα+3=0
课题:
7.5解直角三角形
一、教学目标:
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形;
2.渗透数形结合的数学思想;逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
二、自主学习:
1、如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,其余5个元素之间有以下关系:
(1)三边之间关系:
(勾股定理);
(2)锐角之间的关系:
;
(3)边角之间的关系:
;;.(以∠A为例)
2、由直角三角形中的,求出的过程,叫做解直角三角形.
三、释疑解难:
四、例题讲解:
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5.解这个直角三角形.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=.解这个直角三角形.
练习:
在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.请根据下列条件解直角三角形.
(1)a=10,∠A=45°;
(2)a=5,b=5;
3、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=,解Rt△ABC。
4、已知:
如图,⊙O的半径为10,求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长.
5、当堂检测:
A级(100分)
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,当已知∠A和a时,求c,应选择的关系式是()
A.c=B.c=C.c=a·tanAD.c=a·cosA
2、在Rt△ABC中∠C=90°,c=8,∠B=30°,则∠A=______,a=______,b=______.
3、在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形:
(1)b=,c=4;
(2)∠A=60°,a+b=
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,求△ABC的周长和tanA的值.
B级(20分)
5.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,AD=14,CD=12,S△ADC=,求BD的长。
课题:
§7.6锐角三角函数的简单应用
(1)
一、教学目标:
1.能把实际问题抽象为几何问题,借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。
2.构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。
二、自主学习:
问题引入:
单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时,∠BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少
(精确到1cm)?
三、释疑解难:
四、例题讲解:
例1、国庆节,小明和同学一起到游乐场游玩,游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?
分析:
如图,小明开始在车厢点B,经过2min后到了点C,点C离地面的高度就是小明离地面的高度,其实就是DA的长度DA=AE-
解:
问题延伸:
1、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达10m?
2、小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中?
例2:
机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图5所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.
(1)求弦BC的长;
(2)求圆O的半径长.(本题参考数据:
sin67.4°=,cos67.4°=,tan67.4°=)
5、当堂检测:
A级(100分)
1、如图1所示的半圆中,是直径,且,,则的值是.
2、如图,已知⊙O的半径为5cm,弦AB的长为8cm,P是AB延长线上一点,BP=2cm,
则tan∠OPA等于( )
A.B.C.2D.
A
20米
300450
BC
3、涟水县在“旧城改造”中计划在县内一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境。
已知∠B=300,∠C=450,AB=20米,且知道这种草皮每平方米售价a元,请你算一算购买这种草皮共需要多少钱?
B级(20分)
4、某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,CD⊥AD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长(精确到1m,≈1.732)
课题:
§7.6锐角三角函数的简单应用
(2)
一、教学目标:
1.进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
二、自主学习:
仰角、俯角的定义:
如右图,从下往上看,视线与水平线的夹角叫仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.右图中的∠1就是仰角,∠2就是俯角.
问题引入:
如图,小明欲利用测角仪测量树的高度。
已知他离树的水平距离BC为10m,测角仪的高度CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。
(参考数据:
sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)
三、释疑解难:
四、例题讲解:
例1:
为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角为30°,然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为45°.若小明的眼睛离地面1.6m,小明如何计算气球的高度呢(精确到0.01m)
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