高中数学新学案同步必修2苏教版第一章立体几何初步124第1课时.docx
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高中数学新学案同步必修2苏教版第一章立体几何初步124第1课时
高中数学新学案同步-必修2苏教版-第一章-立体几何初步-1.2.4-第1课时
1.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
学习目标 1.了解平面与平面的位置关系,掌握面面平行的判定定理、性质定理.2.会利用“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化,来证明“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”等问题.3.了解两个平面间的距离的概念.
知识点一 两个平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
平面α与平面β平行
α∥β
没有公共点
平面α与平面β相交
α∩β=l
有一条公共直线
知识点二 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在的直线与平面α平行,这个三角板所在的平面与平面α平行吗?
答案 不一定.
思考2 三角板的两条边所在的直线分别与平面α平行,这个三角板所在的平面与平面α平行吗?
答案 平行.
梳理
表示
定理
图形
文字
符号
两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
⇒α∥β
知识点三 平面与平面平行的性质定理
观察长方体ABCD—A1B1C1D1中的两个平面:
平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗?
答案 是的.
思考2 若m⊂平面ABCD,n⊂平面A1B1C1D1,则m∥n吗?
答案 不一定,也可能异面.
思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,B1C1与BC是什么关系?
答案 平行.
梳理
表示
定理
图形
文字
符号
两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
1.若平面α∥平面β,l⊂平面β,m⊂平面α,则l∥m.( × )
2.夹在两平行平面间的平行线段相等.( √ )
3.若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.( × )
类型一 两平面平行的判定
例1 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:
平面MNQ∥平面PBC.
证明 ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
∴MQ∥AD,NQ∥BP.
∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,∴MQ∥BC.
∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,
得平面MNQ∥平面PBC.
反思与感悟 判定平面与平面平行的常用方法
(1)利用定义,证明两个平面没有公共点,常用反证法.
(2)利用判定定理.要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
(3)利用平行平面的传递性,即α∥β,β∥γ,则α∥γ.(客观题用)
跟踪训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解 当点Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,连结PQ,
易证四边形PQBA是平行四边形,
∴QB∥PA.
又∵AP⊂平面APO,QB⊄平面APO,∴QB∥平面APO.
∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO,
又D1B∩QB=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
类型二 面面平行的性质定理的应用
例2 如图,平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于S,且AS=8,BS=9,CD=34,求SC的长.
解 设AB,CD确定平面γ,
因为γ∩α=AC,γ∩β=BD,且α∥β,
所以AC∥BD,所以△SAC∽△SBD,
所以
=
,即
=
,
所以SC=272.
引申探究
若将本例改为:
点S在平面α,β之间(如图),其他条件不变,求CS的长.
解 设AB,CD确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.
因为α∥β,所以AC∥BD,
所以△ACS∽△BDS,所以
=
.
设CS=x,则
=
,所以x=16,
即CS=16.
反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
跟踪训练2 如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为________.
答案
解析 AA′,BB′相交于点O,所以AA′,BB′确定的平面与平面α,平面β的交线分别为AB,A′B′,
所以AB∥A′B′,且
=
=
.
同理可得
=
=
,
=
=
.
所以△ABC,△A′B′C′面积的比为9∶4,
又△ABC的面积为
,
所以△A′B′C′的面积为
.
例3 如图所示,四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A′B′C′D′外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
证明 ∵四边形A′B′C′D′是平行四边形,
∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′⊄平面BB′C′C,B′C′⊂平面BB′C′C,
∴A′D′∥平面BB′C′C.
同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′⊂平面AA′D′D,AA′⊂平面AA′D′D,
且A′D′∩AA′=A′,
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵AD,BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D,平面ABCD与平面BB′C′C的交线,∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
反思与感悟 本类题的解题思路一般为先得出线面平行,再得面面平行,最后由面面平行的性质定理得线线平行.
跟踪训练3 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:
四边形BED1F是平行四边形.
证明 如图,连结AC,BD,交点为O,连结A1C1,B1D1,交点为O1,连结BD1,EF,OO1,
设OO1的中点为M,
由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.
又因为E,F分别为AA1,CC1的中点,
所以EF过OO1的中点M,同理四边形BDD1B1为矩形,
BD1过OO1的中点M,
所以EF与BD1相交于点M,
所以E,B,F,D1四点共面.
又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
平面EBFD1∩平面ADD1A1=ED1,
平面EBFD1∩平面BCC1B1=BF,
所以ED1∥BF.
同理可证EB∥D1F.
所以四边形BED1F是平行四边形.
类型三 平行关系的综合应用
例4 设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线段,且直线AB,CD为异面直线,M,P分别为AB,CD的中点.求证:
MP∥β.
证明 如图,过点A作AE∥CD交平面β于点E,
连结DE,BE.
∵AE∥CD,∴AE,CD确定一个平面,设为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=DE.
又α∥β,∴AC∥DE(面面平行的性质定理),
取AE的中点N,连结NP,MN,
∴M,P分别为AB,CD的中点,
∴NP∥DE,MN∥BE.
又NP⊄β,DE⊂β,MN⊄β,BE⊂β,∴NP∥β,MN∥β,
∵NP∩MN=N,∴平面MNP∥β.
∵MP⊂平面MNP,MP⊄β,∴MP∥β.
反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示:
跟踪训练4 如图,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:
PQ∥平面DCC1D1;
(2)求PQ的长;
(3)求证:
EF∥平面BB1D1D.
(1)证明 方法一 如图,连结AC,CD1.
∵P,Q分别是AD1,AC的中点,
∴PQ∥CD1.
又PQ⊄平面DCC1D1,
CD1⊂平面DCC1D1,
∴PQ∥平面DCC1D1.
方法二 取AD的中点G,连结PG,GQ,则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,
∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ,
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)解 由
(1)知PQ=
D1C=
a.
(3)证明 方法一 取B1D1的中点O1,连结FO1,BO1,
则有FO1∥
B1C1,FO1=
B1C1.
又BE∥
B1C1,BE=
B1C1,
∴BE∥FO1,BE=FO1.
∴四边形BEFO1为平行四边形,∴EF∥BO1.
又EF⊄平面BB1D1D,BO1⊂平面BB1D1D,
∴EF∥平面BB1D1D.
方法二 取B1C1的中点E1,连结EE1,FE1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,B1D1∩BB1=B1,
∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F,
∴EF∥平面BB1D1D.
1.下列条件中,可以用来判定平面α与平面β平行的是________.(填序号)
①α内有无穷多条直线与β平行;
②直线a∥α,a∥β;
③直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α;
④α内的任何直线都与β平行.
答案 ④
2.已知α,β是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,若α∥β,且a⊂α,b⊂β,则直线a,b的位置关系是________.
答案 平行或异面
解析 利用正方体模型及两个平面的位置关系的定义,可得直线a,b的位置关系是平行或异面.
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列四对截面中彼此平行的是________.(填序号)
①截面A1BC1和截面ACD1;
②截面BDC1和截面B1D1C;
③截面B1D1D和截面BDA1;
④截面ADC1和截面AD1C.
答案 ①
解析 易证A1B∥CD1,BC1∥AD1,由面面平行的判定定理,可得截面A1BC1∥截面ACD1,所以①符合条件;因为截面BDC1和截面B1D1C相交,截面B1D1D和截面BDA1相交,截面ADC1和截面AD1C相交,所以②③④不符合条件.故填①.
4.若一平面截平行六面体,与两组相对的面相交,则截面四边形的形状一定是__________.
答案 平行四边形
解析 由面面平行的性质定理可得.
5.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:
EF∥平面ABCD.
证明 过E作EG∥AB交BB1于点G,连结GF,则
=
,
∵B1E=C1F,B1A=C1B,
∴
=
,
∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD.
又∵EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面ABCD.
1.证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义.
(2)面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
(3)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.
(4)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
2.常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
3.空间中各种平行关系相互转化的示意图
一、填空题
1.给出下列条件:
①两个平面不相交;
②两个平面没有公共点;
③一个平面内所有直线都平行于另一个平面;
④一个平面内有一条直线平行于另一个平面;
⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面.
其中能判断两个平面平行的是________.(填序号)
答案 ①②③
解析 由两个平面的位置关系知①正确;由两个平面平行的定义知②③正确;两个平面相交,其中一个平面内可以有无数条直线与另一个平面平行,故④⑤错误,
故填①②③.
2.已知平面α∥平面β,直线a⊂平面α,则下列命题中正确的是________.(填序号)
①a与β内的所有直线平行;
②a与β内的无数条直线平行;
③a与β内的任何直线都不平行;
④a与β没有公共点.
答案 ②④
3.已知夹在两平行平面α,β之间的线段AB的长为6,AB与α所成的角为60°,则α与β之间的距离为________.
答案 3
解析 过B作BC⊥α于C(图略),则∠BAC=60°,
在Rt△ABC中,BC=AB·sin60°=3
.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱A1D1上的动点,O为底面ABCD的中心,E,F分别是A1B1,C1D1的中点,则下列平面中与OM扫过的平面平行的是________.(填序号)
①平面ABB1A1;②平面BCC1B1;
③平面BCFE;④平面DCC1D1.
答案 ③
解析 AB,DC的中点分别为E1和F1,OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图).
故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
5.若不共线的三点到平面α的距离相等,则这三点确定的平面β与α之间的关系是____________.
答案 平行或相交
解析 若三点在平面α的同侧,则α∥β;若三点在平面α的异侧,则α与β相交.
6.已知α∥β且α与β间的距离为d,直线a与α相交于点A,与β相交于点B,若AB=
d,则直线a与α所成的角等于________.
答案 60°
解析 设直线a与α所成的角为θ.
由题意得AB=
=
.∴sinθ=
.
又0°≤θ≤90°,∴θ=60°.
7.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则
=____.
答案
解析 ∵平面MNE∥平面ACB1,
由面面平行的性质定理,可得EN∥B1C,EM∥B1A.
又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,
∴MN=
AC,即
=
.
8.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=________.
考点 平面与平面平行的性质
题点 与面面平行性质有关的计算
答案
解析 由ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,且AB=CD,
又E,F分别是AB,CD的中点,
∴AE=FD,
又∠EAH=∠DFH,
∠AEH=∠FDH,
∴△AEH≌△FDH,
∴EH=DH.
∵平面AGF∥平面PEC,
又平面PED∩平面AGF=GH,
平面PED∩平面PEC=PE,
∴GH∥PE,
则G是PD的中点.
∵PA=PB=AB=2,
∴PE=2×sin60°=
,
∴GH=
PE=
.
9.如图,已知α∥β,GB,GD分别交α,β于点A,B,C,D,且GA=9,AB=12,则
=________.
答案
解析 因为α∩平面GAC=AC,β∩平面GBD=BD,
且α∥β,所以AC∥BD,又因为GA=9,AB=12,
所以
=
=
=
.
10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足______时,有MN∥平面B1BDD1.
答案 M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,
HN∩HF=H,BD∩DD1=D,
∴平面NHF∥平面B1BDD1,
故线段FH上任意一点M与N连结,
有MN∥平面B1BDD1.
11.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为________.
答案
解析 当且仅当点Q为B1D1的中点时,PQ∥平面AA1B1B,取A1D1中点O,连结OQ,OP,
则OQ∥A1B1,OP∥A1A.
故易证平面OPQ∥平面ABB1A1,
则PQ∥平面ABB1A1.
在Rt△POQ中,OQ=OP=
,
∴PQ=
.
二、解答题
12.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.
(1)求证:
平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ADC.
(1)证明 如图,连结BM,BN,BG并延长交AC,AD,CD分别于点P,F,H.
∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,
∴
=
=
=2.
连结PF,FH,PH,有MN∥PF.
又PF⊂平面ACD,
MN⊄平面ACD,
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD,
又MG∩MN=M,
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)解 由
(1)可知
=
=
,
∴MG=
PH.
又PH=
AD,
∴MG=
AD.
同理NG=
AC,MN=
CD.
∴△MNG∽△DCA,其相似比为1∶3,
∴S△MNG∶S△ADC=1∶9.
13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.
求证:
N为AC的中点.
证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N,
平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,
平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,
∴C1N∥AM,又AC∥A1C1,
∴四边形ANC1M为平行四边形,
∴AN=C1M=
A1C1=
AC,
∴N为AC的中点.
三、探究与拓展
14.如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是________.(填序号)
答案 ③
解析 过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连结QN.
∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,
MN∩MQ=M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.
又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x,
∵
=
=2,∴MQ=2x.
在Rt△MQN中,MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,
∴y2-4x2=1(x≥0,y≥1),∴函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.
15.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?
若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
解 方法一 存在点E,且E为AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
证明如下:
如图,取BB1的中点F,连结DF,则DF∥B1C1,
因为AB的中点为E,连结EF,
则EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1,EF∩DF=F,
所以平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.
方法二 假设在棱AB上存在点E,
使得DE∥平面AB1C1.
如图,取BB1的中点F,连结DF,EF,则DF∥B1C1.
又DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,
所以DF∥平面AB1C1.
又DE∥平面AB1C1,DE∩DF=D,
所以平面DEF∥平面AB1C1.
因为EF⊂平面DEF,所以EF∥平面AB1C1.
又因为EF⊂平面ABB1,
平面ABB1∩平面AB1C1=AB1,
所以EF∥AB1,
因为点F是BB1的中点,所以点E是AB的中点.
即当点E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
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