六大基本初等函数图像及性质.docx
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六大基本初等函数图像及性质
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六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数(也称常数函数)y=C(其中C为常数);
常数函数(yC)
C0
y
yC
y0
x
O
平行于x轴的直线
定义域R
二、幂函数y
x,x是自变量,
是常数;
y
1
1.幂函数的图像:
yx2
yx2
yx1O
2.幂函数的性质;
性质
y
x
y
x
2
yx
3
函数
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
增
[0,+∞)增
增
(-∞,0]
减
公共点
(1,1)
C0
y
O
y轴本身
定义域R
yx
yx3
x
1
yx2
[0,+∞)
[0,+∞)
非奇非偶
增
x
yx1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
(0,+∞)减
(-∞,0)减
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1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为
x(,
),他们的图形都经过原点,并当
α>1时
在原点处与x轴相切。
且α为奇数时,图形关于原点对称;
α为偶数时图形关于y轴对称;
2)当α为负整数时。
函数的定义域为除去
x=0的所有实数;
3)当α为正有理数m时,n为偶数时函数的定义域为(
0,+∞),n为奇数时函数的定义域为(-
n
∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1,1);
4)如果m>n图形于x轴相切,如果m 均为奇数时,跟原点对称; 5)当α为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去 除x=0以外的一切实数。 三、指数函数yax(x是自变量,a是常数且a0,a1),定义域是R; [无界函数] 1.指数函数的图象: y ax y y y ax (a1) (0a 1) (0,1) y1 (0,1) y1 O x O x 2.指数函数的性质; 性质 yax(a1) yax(0a1) 函数 定义域 R 值域 (0,+∞) 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(0,1),即x 0时,y 1 单调性 在( , )是增函数 在( , )是减函数 1)当a 1时函数为单调增,当0a 1时函数为单调减; 2)不论x为何值, y总是正的,图形在x轴上方; 3)当x 0时,y 1,所以它的图形通过(0,1)点。 学习好帮手 WORD格式整理版 3.(选,补充)指数函数值的大小比较 aN*; y x 1 a.底数互为倒数的两个指数函数 f(x)a x f(x) a f(x)ax,f(x)1 a x (0,1) 的函数图像关于y轴对称。 Ox h(x)3x y f(x)2x b.1.当a1时,a值越大,yax (0,1) 的图像越靠近y轴; Ox g(x) y x 1 3 1 x q(x) 2 b.2.当0 a1时,a值越大,ya x (0,1) 的图像越远离y轴。 O 4.指数的运算法则(公式); a.整数指数幂的运算性质 (a 0,m,n b.根式的性质; Q); n na 当n为奇数时,nan a am an am n (1) a ; (2) (1) 当n为偶数时,n an a (a 0) (2) am an amn a a(a 0) n c.分数指数幂; (3) am anm an m an nam (a 0,m,nZ*,n 1) (1) m n nn m 1 1 * ab ab (4) (2) an m n a m(a0,m,n Z n1) an 学习好帮手 WORD格式整理版 四、对数函数ylogax(a是常数且a0,a1),定义域x(0,)[无界] 1.对数的概念: 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是abN,那么数b叫做以a为底N的对数, 记作logaNb,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式。 对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数,所以ylogax的图象与yax的图象 关于直线yx对称。 2.常用对数: log10N的对数叫做常用对数,为了简便,N的常用对数记作lgN。 3.自然对数: 使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简 记作lnN。 4.对数函数的图象: y O x1 y y logax(a1) (1,0)xO x1 (1,0) x 5.对数函数的性质; y logax(0a1) 性质 y logax y logax 函数 (a1) (0 a1) 定义域 (0,+∞) 值域 R 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(1,0),即x 1时,y 0 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 1)对数函数的图形为于 y轴的右方,并过点 (1,0); 2)当a 1时,在区间 (0,1),y的值为负,图形位于x的下方;在区间(1, + ),y值为正,图形位于 x轴上方,在定义域是单调增函数。 a1在实际中很少用到。 学习好帮手 WORD格式整理版 6.(选,补充)对数函数值的大小比较 aN*; y y logax a.底数互为倒数的两个对数函数 ylogax,ylog1x (1,0) a O x 的函数图像关于 x轴对称。 y f(x) log2 x y log1x a f(x) b.1.当a 1时,a值越大,f(x)logax log3x x轴; 的图像越靠近 O (1,0) x y b.2.当(0 a1)时,a值越大,f(x)loga x (1,0) x O 的图像越远离 x轴。 f(x)log1 x 3 7.对数的运算法则(公式); a.如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么: logaMNlogaMlogaN M logaNlogaMlogaN logaMnnlogaM b.对数恒等式: alogaNN(a0且a1,N0) f(x)log1x 2 c.换底公式: (1)logbN logaN 0,a1,一般常常 (a logab 换为e或10为底的对数,即logbN lnN 或 lnb logbN lgN lgb ) (2)由公式和运算性质推倒的结论: nn loganblogab d.对数运算性质 (1)1的对数是零,即loga10;同理ln10或lg10 (2)底数的对数等于1,即logaa1;同理lne1或lg101 学习好帮手 WORD格式整理版 五、三角函数 1.正弦函数y sinx,有界函数,定义域 x(,),值域y[1,1] 图象: 五点作图法: 0, , ,3 ,2 2 2 2.余弦函数ycosx ,有界函数,定义域 x(,),值域y[1,1] 图象: 五点作图法: 0, , ,3 ,2 2 2 3.正、余弦函数的性质; 性质 ysinx(kZ) y cosx(k Z) 函数 定义域 R 值域 [-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 T 2 T 2 对称中心 (k 0) (k 0) 2 对称轴 x k 2 (k 0) 2 在x 2k 2k 2 上是增函数 在x 2k 2k上是增函数 2 单调性 在x 2k 2k 3 上是减函数 在x 2k 2k 上是减函数 2 2 x 2k 2 时,ymax 1 x 2k时,ymax 1 最值 x 2k 时,ymin 1 x 2k 时,ymin 1 2 学习好帮手 WORD格式整理版 4.正切函数y tanx,无界函数,定义域xxk (kZ),值域y(,) y 2 x 5 2 3 O 3 2 5 2 2 2 2 2 2 ytanx的图像 5.余切函数ycotx,无界函数,定义域xxk,kZ,y(,) y x 3 5 2 3 O 3 2 5 3 2 2 2 2 2 2 y cotx的图像 6.正、余切函数的性质; 性质 y tanx(k Z) y cotx(kZ) 函数 定义域 x k 2 x k 值域 R R 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 T T 单调性 在(k k )上都是增函数 在(k,(k 1) )上都是减函数 2 2 对称中心 k 0) k ( ( 0) 2 2 零点 (k 0) (k 0) 2 学习好帮手 WORD格式整理版 7.正割函数y secx,无界函数,定义域xxk (kZ),值域secx1 y 2 1 2 2 3 5 3 O 3 5 x 2 2 2 -1 2 2 2 8.余割函数ycscx 1 ysecx的图像 ,无界函数,定义域 xxk,(k Z),值域cscx1 sinx y 5 1 3 2 2 2 3 2 3 O 2 5 x 2 -1 2 2 ycscx的图像 9.正、余割函数的性质; 性质 y secx(k Z) y cscx(k Z) 函数 定义域 xx k xx k 2 值域 ( ,1][1, ) ( ,1] [1, ) 奇偶性 偶函数 奇函数 周期性 T 2 T 2 (2k 2k ) (2k 2k 3)(2k,2k ) (2k 3 2k 2)减 2 2 2 2 3 单调性 减 (2k 2k ) (2k 2k ) (2k,2k ) (2k 2k )增 2 2 2 增 2 学习好帮手 WORD格式整理版 续表: 性质 ysecx(kZ) ycscx(kZ) 函数 对称中心 (k 0) (k 0) 2 对称轴 x k x k 2 渐近线 x k x k 2 六、反三角函数 1.反正弦函数yarcsinx,无界函数,定义域[-1,1],值域[0,] A.反正弦函数的概念: 正弦函数 y sinx在区间 上的反函数称为反正弦函数,记为 2 2 y arcsinx 2.反余弦弦函数y arccosx,无界函数,定义域[-1,1] ,值域[0,] B.反余弦函数的概念: 余弦函数 y cosx在区间 0, 上的反函数称为反余弦函数,记为 y y y arccosx 2 -1 O 1 2 x 2 O 1 x -1 yarcsinx的图像 yarccosx的图像 3.反正、余弦函数的性质; 性质 函数 yarcsinxyarccosx 定义域 [-1,1] [-1,1] 值域 [0,] [0,] 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增函数 减函数 学习好帮手 WORD格式整理版 4.反正切函数yarctanx,有界函数,定义域x(,),值域, 22 C.反正切函数的概念: 正切函数ytanx在区间,上的反函数称为反正切函数,记为 22 yarctanx 5.反余切函数yarccotx,有界函数,定义域x(,),值域0, D.反余切函数的概念: 余切函数ycotx在区间0,上的反函数称为反余切函数,记为 yarccotx yy 2 Ox2 2 O x yarctanx的图像 yarccotx的图像 6.反正、余弦函数的性质; 函数 性质 yarctanxyarccotx 定义域R 值域,0,22 奇偶性奇函数非奇非偶 单调性增函数减函数 学习好帮手 WORD格式整理版 三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角 正弦: 正切: 正割: 的终边上任取一点P(x,y),记: r x 2 y 2 。 .. y x sin 余弦: cos r r y x tan 余切: cot x y r r sec 余割: csc x y 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系: sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1 商数关系: tan sin ,cot cos cos sin 平方关系: sin2 cos2 1,1 tan2 sec2 ,1cot2 csc2 三、诱导公式 x轴上的角,口诀: 函数名不变,符号看象限; y轴上的角,口诀: 函数名改变,符号看象限。 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin ) tan tan tan( tan tan sin( ) sin cos cos sin 1 cos( ) cos cos sin sin ) tan tan tan( tan tan cos( ) cos cos sin sin 1 五、二倍角公式 sin22sincos tan2 2tan 1tan2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 二倍角的余弦公式常用变形: (规律: 降幂扩角,升幂缩角) 1 cos2 2cos2 1 cos2
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