实数 公开课教案.docx
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实数公开课教案
2.6实数
第一环节:
复习引入新课
内容:
问题:
(1)什么是有理数?
有理数怎样分类?
(2)什么是无理数?
带根号的数都是无理数吗?
意图:
回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。
效果:
学生主动思考并积极回答,通过相互补充完善了旧知识的复习掌握,通过对有理数分类的复习,使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。
通过举例明确了无理数的表现形式,也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。
第二环节:
实数概念和分类
内容1:
把下列各数分别填入相应的集合内:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,0,0.3737737773……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)
…
有理数集合
…
无理数集合
知识整理:
有理数和无理数统称为实数。
意图:
通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念。
效果:
学生动手填写,并进行小组交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。
内容2:
1.你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗?
…
正数集合
…
负数集合
2.0属于正数吗?
0属于负数吗?
知识整理:
无理数和有理数一样,也有正负之分。
1.从符号考虑,实数可以分为正实数、0、负实数,即:
2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:
意图:
在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。
上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,学生容易遗漏,强调0也是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作一类。
提醒学生分类可以有不同的方法,但要按同一标准不重不漏。
效果:
让学生讨论回答,形成共识:
实数也可以分为正实数、0、负实数,并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求。
第三环节:
实数的相关概念
内容1:
1.在有理数中,数a的相反数是什么?
绝对值是什么?
当a不为0时,它的倒数是什么?
2.
的相反数是什么?
的倒数是什么?
,0,—π的绝对值分别是什么?
意图:
从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。
效果:
学生类比有理数中相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。
内容2:
想一想:
1.3—π的绝对值是。
2.想一想:
a是一个实数,它的相反数是,它的绝对值是,当a≠0时,它的倒数是。
知识整理
(1)相反数:
a与—a互为相反数;0的相反数仍是0;
(2)倒数:
当a≠0时,a与
互为倒数(0没有倒数);
(3)绝对值:
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;
即:
意图:
加深学生对相关概念的理解。
效果:
学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识。
第四环节:
实数运算
内容:
1.在有理数范围内,能进行哪些运算?
(加、减、乘、除、乘方),用哪些运算律?
2.判断下列各式成立吗?
意图:
从复习入手,类比有理数中的相关运算及运算律,得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
效果:
学生类比有理数中相关运算,体会到了实数范围内的运算及运算律。
第五环节:
探究——实数与数轴上点之间的对应关系
内容1:
如图所示,认真观察,探讨下列问题:
0
1
2
-1
-2
A
B
议一议:
(1)如图,OA=OB,数轴上A点对应的数表示什么?
它介于哪两个整数之间?
(2)如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?
知识整理
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的;
(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
意图:
探讨用数轴上的点来表示实数,将数和图形联系在一起,让学生进一步领会数形结合的思想,利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。
效果:
经过学生的探讨,认识到了数轴上点A表示的数是
,它是一个无理数,这表明有理数不能将整个数轴填满。
进而观察到点A在表示数1和2的点之间,因此“数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。
第六环节:
课堂练习
内容:
1.判断下列说法是否正确:
(1)无限小数都是无理数;
(2)无理数都是无限小数;
(3)带根号的数都是无理数。
2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值:
(1)
;
(2)
;(3)
.
3.在数轴上作出
对应的点。
意图:
通过以上练习,检测学生对实数相关知识的掌握情况。
效果:
第1,2题学生能较好地完成,在解决第第3题时遇到了一定的困难,通过回顾
的作法,学生相互讨论、交流,确定了作长、宽分别为2和1的长方形,其对角线为即为
,从而能在数轴上作出相应的点。
第七环节:
归纳小结
内容:
议一议,本节课我们学习了哪些知识?
意图:
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。
效果:
学生交流,互相补充,完成本节知识的梳理。
六、反思
实数作为有理数的扩张,其具体研究内容和有理数完全类似,因此学习中,本课时设计中,十分关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这是本课设计中一个十分显著的特点。
实际上,类似的问题在其他知识学习中同样存在,注意体会。
此外,根据学生的认知状况,借助类比学习实数有关知识,还可以有一些不同的尝试,如果学生整体认知水平较高,可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序,并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序,思考在各个具体内容如何研究等问题,然后再打开书本比照学习。
当然也可以首先提出一些思考的问题,让学生自学,整理有关框架,并和旧的框架建立联系等。
教无定法,关键在于适应你的学生状况。
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?
学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:
由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:
利用正比例函数的定义确定表达式:
自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:
先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:
设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:
根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:
设正比例函数的表达式为y1=k1x,一次函数的表达式为y2=k2x+b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k1,3=4k2+b.∴k1=
,即正比例函数的表达式为y=
x.∵OA=
=5,且OA=2OB,∴OB=
.∵点B在y轴的负半轴上,∴B点的坐标为(0,-
).又∵点B在一次函数y2=k2x+b的图象上,∴-
=b,代入3=4k2+b中,得k2=
.∴一次函数的表达式为y2=
x-
.
方法总结:
根据图象确定一次函数的表达式的方法:
从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
解析:
从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:
由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:
解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
2.2 平方根
第1课时 算术平方根
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根;(重点)
2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;(重点)
3.了解算术平方根的性质.(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过:
由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大正方形,那么有a2=2,a=________,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫做x的平方,反过来x叫做a的什么呢?
二、合作探究
探究点一:
算术平方根的概念
【类型一】求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根:
(1)64;
(2)2
;(3)0.36;(4)
.
解析:
根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根,只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可.
解:
(1)∵82=64,∴64的算术平方根是8;
(2)∵(
)2=
=2
,∴2
的算术平方根是
;
(3)∵0.62=0.36,∴0.36的算术平方根是0.6;
(4)∵
=
,又92=81,∴
=9,而32=9,∴
的算术平方根是3.
方法总结:
(1)求一个数的算术平方根时,首先要弄清是求哪个数的算术平方根,分清求
与81的算术平方根的不同意义,不要被表面现象迷惑.
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算,因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.
【类型二】利用算术平方根的定义求值
3+a的算术平方根是5,求a的值.
解析:
先根据算术平方根的定义,求出3+a的值,再求a.
解:
因为52=25,所以25的算术平方根是5,即3+a=25,所以a=22.
方法总结:
已知一个数的算术平方根,可以根据平方运算来解题.
探究点二:
算术平方根的性质
【类型一】含算术平方根式子的运算
计算:
+
-
.
解析:
首先根据算术平方根的定义进行开方运算,再进行加减运算.
解:
+
-
=7+5-15=-3.
方法总结:
解题时容易出现如
=
+
的错误.
【类型二】算术平方根的非负性
已知x,y为有理数,且
+3(y-2)2=0,求x-y的值.
解析:
算术平方根和完全平方式都具有非负性,即
≥0,a2≥0,由几个非负数相加和为0,可得每一个非负数都为0,由此可求出x和y的值,进而求得答案.
解:
由题意可得x-1=0,y-2=0,所以x=1,y=2.所以x-y=1-2=-1.
方法总结:
算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性,即
≥0,|a|≥0,a2≥0,当几个非负数的和为0时,各数均为0.
三、板书设计
算术平方根
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教学过程中要做到:
讲清概念,加强训练,逐步深化.
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?
学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:
由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:
利用正比例函数的定义确定表达式:
自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:
先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:
设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:
根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:
设正比例函数的表达式为y1=k1x,一次函数的表达式为y2=k2x+b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k1,3=4k2+b.∴k1=
,即正比例函数的表达式为y=
x.∵OA=
=5,且OA=2OB,∴OB=
.∵点B在y轴的负半轴上,∴B点的坐标为(0,-
).又∵点B在一次函数y2=k2x+b的图象上,∴-
=b,代入3=4k2+b中,得k2=
.∴一次函数的表达式为y2=
x-
.
方法总结:
根据图象确定一次函数的表达式的方法:
从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
解析:
从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:
由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:
解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
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