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完整word版平稳随机过程的采样和插值
随机信号实验
平稳随机过程的采样和插值
一.实验目的
了解确定信号的采样与平稳随机信号的采样之间的关系,掌握信号的采样及分析方法。
二.实验原理
确定信号的采样符合香农定理,那么随机信号的采样是否符合香农定理呢?
答案是定的。
香农定理可以推广到随机信号的采样。
若X(t)为平稳随机过程,且具有零均值,它的功率谱密度
限于(-
,+
)之间。
当满足条件
时,便可将X(t)按它的振幅样本展开为:
上式就是平稳随机过程的采样定理。
式中T为采样周期。
三.实验任务与要求
⑴程序用matlab或c/c++语言编写和仿真。
系统框图如图29、图30所示:
图29抽样系统框图
图30插值系统框图
⑵输入信号x(t):
x(t)=正弦波信号+n(t),频率为100Hz的正弦波信号,幅值为1v,n(t)为白噪声。
计算输入信号的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑶低通滤波器设计
低通滤波器技术要求:
通带截止频率1KHz
阻带截止频率2KHz。
过渡带:
1KHz
阻带衰减:
>35DB
通带衰减:
<1DB
采样频率:
≤44.1KHz
计算经低通滤波器后信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑷对输入信号进行抽样:
采样频率8000Hz。
每间隔4个点和每间隔8个点各抽样一次。
计算抽样信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑸对采样信号进行插值:
每一个间隔插入4个值和每一个间隔插入8个值。
采样频率8000Hz。
计算插值信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑹对采样前后、插值前插值后信号进行比较。
观察在采样频率不变的情况下,信号频谱的变化和频谱的周期延拓性。
⑺讨论X(n)的自相关函数、功率谱密度与X(t)的自相关函数、功率谱密度之间的关系。
四.实验步骤及结果
1.输入信号x(t)
(1)x(t)=正弦波信号+n(t),频率为100Hz的正弦波信号,幅值为1v,其中n(t)为高斯白噪声。
Fs=40000;Ns=5000;n=0:
Ns-1;t=n/Fs;两点间距取1/40000,共取N=5000个采样点,n为长度为N的序列,t为采样时间,作为信号图像横坐标
sine=sin(2*pi*100*t);产生频率为100hz的正弦波
noise=randn(1,length(t));产生高斯白噪声
x=sine+noise;信号合成为输入信号
figure
(1);
plot(t,x);
xlabel('t'),ylabel('x');
title('输入信号');
产生的输入信号如下:
(2)计算输入信号的均值、均方值、方差
均值:
x_mean=0.0072
均方值:
x_var=1.4747
方差:
input_fangcha=1.4748
(3)x(t)的相关函数利用MALTLAB中的xcorr函数
x_xcorr=xcorr(x);
t1=(-Ns+1:
Ns-1)/Fs;%相关函数图像横坐标
figure
(2);
plot(t1,x_xcorr);%相关函数
xlabel('t'),ylabel('R');
title('输入信号相关函数');
(4)x(t)的概率密度利用ksdensity函数
[F1,y1]=ksdensity(x);%y1为输入信号所有取值,F1为每个值相应概率
figure(3);
plot(y1,F1);%概率密度
xlabel('y'),ylabel('F');
title('输入信号概率密度');
(5)x(t)的频谱利用fft函数
x_spectra=fft(x);
f=Fs*n/Ns;%频域横坐标
figure(4);
plot(f(1:
300),abs(x_spectra(1:
300)));
xlabel('f'),ylabel('Y');
title('输入信号频谱');
(6)x(t)的功率谱密度用功率谱的概念求,即频谱函数的平方求时间平均。
P1=x_spectra.*conj(x_spectra)/Ns;%频谱函数的平方求时间平均
figure(5);
plot(f(1:
300),abs(P1(1:
300)));%功率谱密度
xlabel('f'),ylabel('S');
title('输入信号功率谱密度')
2.滤波器的设计
设计思路是:
用巴特沃斯模拟滤波器生成数字滤波器,并画出滤波器的频谱。
程序如下:
fp=1000;fs=2000;
rp=1;rs=35;
Fs1=40000;
wp=2*pi*fp/Fs1;
ws=2*pi*fs/Fs1;
wap=tan(wp/2);
was=tan(ws/2);
Fs1=Fs1/Fs1;
[N,Wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');
[z,p,k]=buttap(N);
[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);%得到传输函数
[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);%低通到低通,频谱变换
[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs1/2);%将模拟滤波器传递函数转为数字滤波器传递函数
[H,w]=freqz(bz,az,256,Fs1*10000);%特性分析
figure(6)
plot(w,abs(H));%画出数字滤波器的波形图
title('低通滤波器的频谱');
xlabel('f/hz');
gridon;
3.x(t)通过滤波器的信号y
(1)输出y的波形及均值,均方值,方差
y=filter(bz,az,x)
均值:
0.0416
均方值:
0.7248
方差:
0.7265
(2)输出y的相关函数
程序类似求x(t)的相关函数,其波形如下:
(3)y的概率密度
程序类似求x(t)的概率密度,其波形如下:
(4)y的频谱
程序类似求x(t)的频谱,其波形如下:
(5)y的功率谱密度
4.对y信号进行抽样采样频率8000Hz
若8000hz采样,波形输出程序为:
sample1=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)));
i=1;
fork=1:
length(t)
ifmod(k,(Fs/fs1))==1
sample1(i)=y(k);
i=i+1;
end
end
figure(12);
stem(t2,sample1);%除去相邻采样点间零点的采样信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('采样信号');
则波形为:
(1)每间隔4个点抽样一次
4采样波形及均值,均方值,方差
程序代码如下:
sample2=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)));
fork=1:
length(t2)
ifmod(k,5)==1
sample2(k)=sample(k);
else
sample2(k)=0;
end
end
sample3=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)/5));
i=1;
fork=1:
5:
length(t2)
sample3(i)=sample1(k);
i=i+1;
end
figure(13);
stem((1:
length(t2)/5)/300,sample3);%除去相邻采样点间零点的采样信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('4采样信号');
sample_junzhi4=mean(sample2)%均值
sample_fangcha4=std(sample2)%方差
sample_junfangzhi4=sample_fangcha4+sample_junzhi4.^2%均方值
4采样信号为:
均值:
-0.0125
方差:
0.3212
均方值:
0.3213
4采样信号的相关函数代码函数如上
4采样信号的概率密度
4采样信号的频谱
4采样信号的功率谱密度
(2)每间隔8个点抽样一次程序和4采样类似,只是间隔8个点
采样信号
均值:
-7.0098e-004
均方值:
0.1099
方差:
0.1099
8采样信号的相关函数
8采样信号的概率密度
8采样信号的频谱
8采样信号的功率谱密度
4.对信号进行插值采样频率为8000Hz
插值思路:
用三次多项式插值法
(1)每一个间隔插入4个值
每间隔插入4个值波形及均值,均方值,方差
程序如下:
t4=zeros(1,(length(t2)-1)*4+length(t2));%插值信号横坐标
fork=1:
length(t4)
ifmod(k,5)==1
t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5);
end
ifmod(k,5)==2
t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5)+(1/fs1)/5;
end
ifmod(k,5)==3
t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5)+(2/fs1)/5;
end
ifmod(k,5)==4
t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5)+(3/fs1)/5;
end
ifmod(k,5)==0
t4(k)=(1/fs1)*(k/5-1)+(4/fs1)/5;
end
end
inter4=interp1(t2,sample1,t4,'cubic');
figure(23)
stem(t4,inter4);%插值信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('4插值信号');
figure(80)
plot(t4,inter4);%插值信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('4插值信号');
disp('4插值信号均值:
');
inter4_mean=mean(inter4);%均值
disp('4插值信号方差:
');
inter4_var=var(inter4);%方差
disp('4插值信号均方值:
');
inter4_rms=inter4_var+inter4_mean.^2;%均方值
均值:
-0.0067
均方值:
0.5573
方差:
0.5573
插值信号为:
每间隔插入4个值波形的相关函数
每间隔插入4个值波形的概率密度
每间隔插入4个值波形的频谱
f1=5*fs1*(0:
length(t4)-1)/length(t4);%频域横坐标
inter4_spectra=fft(inter4);
figure(26);
plot(f1(1:
300),abs(inter4_spectra(1:
300)));%频谱
xlabel('f'),ylabel('Y');
title('4插值信号频谱');
频谱波形为:
每间隔插入4个值波形的功率谱密度
P5=inter4_spectra.*conj(inter4_spectra)/length(t4);
figure(27);
plot(f1(1:
300),P5(1:
300));%功率谱密度
xlabel('f'),ylabel('S');
title('4插值信号功率谱密度');
(2)每一个间隔插入8个值
每间隔插入8个值波形及均值,均方值,方差
均值:
-0.0067
均方值:
0.5572
方差:
0.5573
每间隔插入8个值波形的相关函数
每间隔插入8个值波形的概率密度
每间隔插入8个值波形的频谱
每间隔插入8个值波形的功率谱密度
五:
实验结果分析
(1)针对问题(6),对采样前后、插值前插值后信号进行比较。
观察在采样频率不变的情况下,信号频谱的变化和频谱的周期延拓性。
问题分析
由随机信号和DSP相关知识知道,对于时间连续但幅度不连续的信号,其DTFT是以采样频率为周期延拓的连续信号,幅度衰减为被采样信号的1/T。
插值时则相反。
因此对采样前后的信号,根据上述结论可得,在采样后信号的频谱是以采样角频率为周期延拓的。
由于信号最初经过40000hz的采样处理,经过滤波器后对输入信号进行了8000HZ的采样,在8000HZ的基础上在进行4间隔采样,8间隔采样。
此处8000HZ处理信号为采样前信号,因此4间隔采样后的信号频谱减小为采样前信号的频谱周期的1/5,其幅度也减小为采样前信号的1/5。
同理对8间隔采样后的信号频谱减小为采样前信号的频谱周期的1/9,其幅度也减小为采样前信号的1/9,对插4点后的信号频谱增为插值前信号的频谱周期的5倍,其幅度也增大为插值前信号的5倍。
对插8点后的信号频谱增为插值前信号的频谱周期的9倍,其幅度也增大为插值前信号的9倍。
实际图像分析:
由图像分析可见其完全符合理论分析。
⑺讨论X(n)的自相关函数、功率谱密度与X(t)的自相关函数、功率谱密度之间的关系。
问题分析
由DSP相关知识知道,对于时间连续但幅度不连续的信号,其DTFT是以采样频率为周期延拓的连续信号,幅度衰减为被采样信号的1/T。
插值时则相反。
并且自相关函数和功率谱密度互为一对傅里叶变换对。
因此对采样前后的信号,根据上述结论可得,4间隔采样后的信号频谱减小为采样前信号的频谱的1/5,由于功率谱密度是频谱平方的时间平均,其幅度减小为采样前信号的1/25。
同理对8间隔采样后的信号频谱减小为采样前信号的1/9,其功率谱密度减小为采样前信号的频谱周期的1/81,对插4点后的信号频谱增为插值前信号的频谱的5倍,其幅度也增大为插值前信号的25倍。
对插8点后的信号频谱增为插值前信号的频谱的9倍,其幅度也增大为插值前信号的81倍。
对于自相关函数,由于其是频谱的傅里叶反变换,对于4采样信号的自相关函数其幅度是采样前的1/5,,对于8采样信号的自相关函数其幅度是采样前的1/9。
同样对于4和8插值信号,其自相关函数幅度分别为采样前的5倍和9倍
实际图像分析:
由图像分析可见其完全符合理论分析。
六.源程序
%%生成输入信号
Fs=40000;Ns=4096;n=0:
Ns-1;t=n/Fs;%用离散序列模拟的正弦信号两点间距取1/40000,共取N=5000个采样点,n为长度为N的序列,t为采样时间,作为信号图像横坐标
sine=sin(2*pi*100*t);%要求的正弦信号
noise=randn(1,length(t));%高斯白噪声
x=sine+noise;%合成输入信号
figure
(1);
plot(t,x);%输入信号图形
xlabel('t'),ylabel('x');
title('输入信号');
%%
disp('输入信号均值:
');
x_mean=mean(x)%均值
disp('输入信号方差:
');
x_var=var(x)%方差
disp('输入信号均方值:
')
input_fangcha=x_var+x_mean.^2%均方值
%%
%求相关函数和概率密度以及频谱
x_xcorr=xcorr(x);
t1=(-Ns+1:
Ns-1)/Fs;%相关函数图像横坐标
figure
(2);
plot(t1,x_xcorr);%相关函数
xlabel('t'),ylabel('R');
title('输入信号相关函数');
[F1,y1]=ksdensity(x);%y1为输入信号所有取值,F1为每个值相应概率
figure(3);
plot(y1,F1);%概率密度
xlabel('y'),ylabel('F');
title('输入信号概率密度');
x_spectra=fft(x);
f=Fs*n/Ns;%频域横坐标
figure(4);
plot(f(1:
300),abs(x_spectra(1:
300)));%频谱
xlabel('f'),ylabel('Y');
title('输入信号频谱');
P1=x_spectra.*conj(x_spectra)/Ns;%频谱函数的平方求时间平均
figure(5);
plot(f(1:
300),abs(P1(1:
300)));%功率谱密度
xlabel('f'),ylabel('S');
title('输入信号功率谱密度');
%hh
%%
%生成数字滤波器
%巴特沃斯模拟滤波器生成数字滤波器
fp=1000;fs=2000;
rp=1;rs=35;
Fs1=40000;
wp=2*pi*fp/Fs1;
ws=2*pi*fs/Fs1;
wap=tan(wp/2);
was=tan(ws/2);
Fs1=Fs1/Fs1;
[N,Wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');
[z,p,k]=buttap(N);
[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);%得到传输函数
[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);%低通到低通,频谱变换
[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs1/2);%将模拟滤波器传递函数转换为数字滤波器传递函数
[H,w]=freqz(bz,az,256,Fs1*10000);%特性分析
figure(6)
plot(w,abs(H));%画出数字滤波器的波形图
title('低通滤波器的频谱');
xlabel('f/hz');
gridon;
%%
%信号通过低通滤波器
y=filter(bz,az,x);
y_junzhi=mean(y);%均值
y_fangcha=std(y);%方差
y_junfangzhi=y_fangcha+y_junzhi.^2;%均方值
figure(7)
plot(t,y);
title('通过低通滤波器的波形');
%%
%求相关函数
y_xcorr=xcorr(y);
t1=(-Ns+1:
Ns-1)/40000;%相关函数图像横坐标
figure(8);
plot(t1,y_xcorr);%相关函数
xlabel('t'),ylabel('R');
title('输出信号相关函数');
%%
%求概率密度
[F2,y2]=ksdensity(y);%y1为输入信号所有取值,F1为每个值相应概率
figure(9);
plot(y2,F2);%概率密度
xlabel('y'),ylabel('F');
title('输出信号概率密度');
%%
%求频谱
y_spectra=fft(y);
f=40000*n/Ns;%频域横坐标
figure(10);
plot(f(1:
300),abs(y_spectra(1:
300)));%频谱
%plot(abs(y_spectra));
xlabel('f'),ylabel('Y');
title('输出信号频谱');
%%
%求功率谱密度
P2=y_spectra.*conj(y_spectra)/Ns;%频谱函数的平方求时间平均
figure(11);
plot(f(1:
300),abs(P2(1:
300)));%功率谱密度
xlabel('f'),ylabel('S');
title('输出信号功率谱密度');
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fs1=8000;%采样周期取8000Hz
t2=(0:
Fs/fs1:
Ns-1)/Fs;%采样信号横坐标
sample=zeros(1,length(t));
fork=1:
length(t)
ifmod(k,(Fs/fs1))==1
sample(k)=y(k);
else
sample(k)=0;
end
end%未除去相邻采样点间零点的采样信号,为计算频谱和功率谱准备
%%
sample1=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)));
i=1;
fork=1:
length(t)
ifmod(k,(Fs/fs1))==1
sample1(i)=y(k);
i=i+1;
end
end
figure(12);
stem(t2,sample1);%除去相邻采样点间零点的采样信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('采样信号');%%%%%%
%%
k_spectra=fft(sample);
f=Fs*n/Ns;%频域横坐标
figure(1221);
plot(f(1:
800),abs(k_spectra(1:
800)));%频谱
xlabel('f'),ylabel('Y');
title('8000信号频谱');
%%
k_xcorr=xcorr(sample);
t1=(-Ns+1:
Ns-1)/Fs;%相关函数图像横坐标
figure(11111);
plot(t1,k_xcorr);%相关函数
xlabel('t'),ylabel('R');
title('8000信号相关函数');
%%
q1=k_spectra.*conj(k_spectra)/Ns;%频谱函数的平方求时间平均
figure(22222);
plot(f(1:
1000),abs(q1(1:
1000)));%功率谱密度
xlabel('f'),ylabel('S');
title('8000信号功率谱密度');
%%
%间隔四点抽样
sample2=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)));
fork=1:
length(t2)
ifmod(k,5)==1
sample2(k)=sample(k);
else
sample2(k)=0;
end
end
sample3=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)/5));
i=1;
fork=1:
5:
length(t2)
sample3(i)=sample1(k);
i=i+1;
end
figure(13);
stem((1:
length(t2)/5)/300,sample3);%除去相邻采样点间零点的采样信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('4采样信号');%%%%%%
%%
sample_junzhi4=mean(sample2)%均值
sample_fangcha4=std(sample2)%方差
sample_junfangzhi4=sample_fangcha4+sample_junzhi4.^2%均方值
%%
sample_xcorr4=x
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