全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案.docx
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全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案
2020年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案
、选择题〔每题
6分,共36分〕
1.二次函数fx
x2
3x
2,
那么方程ffx
0不同实数根的数目为〔
〕。
A1
B2
D4
3x
3x2
432
2x6x10x3x,
此有
2
x23x
0,x1
0,x23,x3,4
35
因此原方程有4个不同实根。
也能够讨论
0根的分布情形。
因为当
32时,函数fx
单调下降,当
32时,
x单
升,
为1,2,因此
32时,
函数
1,2
,因此ffx0有两个不同实根;
当x
3时,
2
函数
实根。
2.抛物线
定在〔
ax
A抛物线
抛物线y
2x,y
1,2,因此ffx0也有两个不同实根。
综上所述,原方程有4个不同
bx
上。
2
ax
b2
4a
842xb2x
bx
23
1的参数a,b满足8a24abb3,那么当
a,b变动时,抛物线的顶点一
B双曲线
C圆或椭圆
D直线
1的顶点的坐标为
bx
。
因为a0,
2
b,4ab2,设x
2a4a
因此a,b满足的条件等价于
4x2y2,即xy1。
b
2a,y
4ab,那么有
4a
b2
bb,因此有a
3.ABC的三边BC,CA,AB的中点分不为L,M,N,D,E分不是BC,AB上的点,并满足
AD,CE均平分ABC的周长,P,Q分不是
a
标。
因为y与yloga2x互为反函数,因此此它们的图像关于yx对称,因此所有根的
4.假设方程ax2x40a0,a1的所有根为u1,u2,,uk,其中k为正整数,方程loga2xx20a0,a1的所有根为v1,v2,,vl,其中l为正整数,那么
1
1
A
B
C1
D2
4
2
答选C。
方程ax2x
40等价于
xa2
2x,其根即为y
x
a与y2
2
x的交点的横坐标。
loga2xx2
0等价于loga
2x
2x,其根即为y
loga2x与
y2x的交点的横坐
u1u2ukklv1v2vl的值为〔
x
算术平均确实是yx与y2x交点的横坐标1。
5.考虑集合S1,2,,10的所有非空子集,假设一个非空子集中的偶数的数目许多于奇数
的数目,称那个子集是〝好子集〞,那么〝好子集〞的数目有〔
答选D。
2
6.设不定方程x2
22yz
xyz
100的正整数解x,y,z中满足x,y,z均大于2008的不
同解的数目为k,那么
k满足〔
〕。
Ak0B1
k2008
C
k2008,然而k有限的数
D
k是无穷大
答选D。
x0,y0,z03,4,5是原不定方程的一个特解。
关于原不定方程的任意一个正整数解
x1,y,z,假设x1yz,且x1z。
设关于x的二次方程x2yzxy2z2100的两个
222
根为x1,x2,由韦达定理,x1x2yz,x1x2y2z210z2,因此x2是正整数,且大于z,因此x2,y,z也是原不定方程的一个解,并由小到大重新排列为y,z,x2。
如此反复利用上面的结
论,能够由一个特解得到无穷多个解,因此满足x,y,z均大于2008的解有无穷多个。
值为f
2230,其积为。
33
注
单调性也能够直截了当由定义证明。
1。
方程的根,因此可得所有模为1的根的和为1。
那么通过至少3个格点的不同直线的数目
9.考虑44的正方形方格表中的25个格点,为。
答32。
水平和竖直的直线共有10条,与两条对角线平行的直线共有10条,其它满足条件的直线还有12条,因此共有32条。
20082008k
10.设x表示不超过x的最大整数,那么k122000089k的值是
答2015028。
关于k1,2,,2008,因为2008k不是整数,因此
2009
11.长方体ABCDA1B1C1D1满足AA12,AD3,AB251,平面A1BD分不与CC1,C1B1,C1D1
因为BD//MN,A1D//LM,A1B//LN,因此A1,B,D分不是MN,LM,LN的中点,因此有
1C1LC1MC1N2008。
2008条平行于l的弦AiBii1,2,,2008,且这2008条弦与CD的交点均分CD,那么
其中假设当
因为Mi在CH上,设OMixi,
Mi在OD上时xi取正数,当Mi在OC上时xi取负数,
那么AiBi2
4MiN2AiBi2
4HN2MiH2
4R2
2
xi2
2
b2
2
2
xi
b24R24d2
8dxi。
2008
因为xi0,因此
i12008i1
2008
122
PAi2PBi2
QAi2
QBi2
22
2a22b2
4d2
4R2。
2
4MiN2为欧拉定理。
注PAi2PBi2QAi2QBi2PQ2AiBi2
三、解答题〔每题20分,共60分〕
13.锐角ABC的三边BC,CA,AB的中点分不为D,E,F,在EF,FD,DE的延长线上分不取点
P,Q,R,假设APBQCR,证明PQR的外心为ABC的垂心。
证明设ABC的三条高线分不为AL,BM,CN,垂心为H,EF与AL交于点K,那么
222
AP2PK2AK2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
PH2KH2AK2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
PH2AKKHAKKH
PH2AHHL。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
同理可得,BQ2QH2BHHM,CR2RH2CHHN。
因为APBQCR,且有AHHLBHHMCHHN,因此PHQHRH,因此H为PQR的外心。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20分
注不管H在KL上依旧在AK上,均有AKKHAKKHAHHL。
14.数列a1,a2,,an,满足:
a1
1,a2
1,an1
n2a25
n2an5n2,求an的通项公式。
n21an1
解由n21an1an1n2an2
5,n
22
an2ann1an15,两式相减得
1an1an1nn2an
22
2annan
n1
2
an1,
5分
即n
1an1
n1an1n
1an1nan
nan
n2an2。
设bn
nann
1,那么有bn1
bn1bn1
bnbn
bn2,
即bn1
bn1
bn
bnbn2
。
bn1
10分
bnbn设cn
bn1
3,
由a11,a21,a33,可得b11,b22,b39,
因此有cncn1
c3
b3b1
b2
5。
15分
因为bn5bn
bn2
0,
2
特点方程为x25x
10,特点根为x1,2
521
,从而可设
bn1
521
2
521
2
。
由b11,b2
2及bn5bn1bn2
0,定义
b03,
因此有3
b0
2,1b1
521
2
521,
2
从而可得
63
42
1321
631321
42
,因此有
bn
1321521
422
631321
42
521n,
2
631321521
631321521
20分
42
42
15.有10个选手A1,A2,,A10,他们的积分分不为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,名次分不为第
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
现进行单循环竞赛,即任意两个选手之间都恰进行一场竞赛,且每场竞赛
都要分出胜负。
假设名次靠前的选手胜了名次靠后的选手,那么胜者得1分,负者得0分;假设名
次靠后的选手胜了名次靠前的选手,那么胜者得2分,负者得0分,全部竞赛终止后运算每个选手的累计积分〔即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和〕,并依照累计积分进行重新排名,求新的冠军累计积分的最小值〔名次并列是承诺的〕。
解12。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
假设新的冠军的得分不超过11分,那么A1最多胜2场;A2最多胜3场;A3最多胜4场;A4最多胜5场;A5最多增加6分,然而开始时积分比他少的选手只有5人,因此假设增加6分,他与名
次比他靠前的选手的竞赛至少胜1场,如此他与名次靠后的选手的竞赛最多胜4,从而他最多胜5
场;A6最多增加7分,然而开始时积分比他少的选手只有4人,因此假设增加7分,他与名次比他靠前的选手的竞赛至少胜2场,如此他与名次靠后的选手的竞赛最多胜3场,从而他最多胜5场;A7最多增加8分,然而开始时积分比他少的选手只有3人,因此假设增加8分,他与名次比他靠前
的选手的竞赛至少胜3场,如此他与名次靠后的选手的竞赛最多胜2场,从而他最多胜5场;A8最
多增加9分,然而开始时积分比他少的选手只有2人,因此假设增加9分,他与名次比他靠前的选
手的竞赛至少胜4场,如此他与名次靠后的选手的竞赛最多胜1场,从而他最多胜5场;A9最多增
加10分,然而开始时积分比他少的选手只有1人,因此假设增加10分,他与名次比他靠前的选手
的竞赛至少胜5场,从而他最多胜5场;A10最多增加11分,他与名次比他靠前的选手的竞赛最多胜5场,从而他最多胜5场。
综上所述,所有选手胜的场数最多为2345744,然而每两名选手进行的一场竞赛都会胜一场,共胜C12045场,矛盾。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
下面的例子讲明新的冠军累计积分能够是12分。
A1胜A2,A3,A4,负A5,A6,A7,A8,A9,A10,累计得分为9312;
A2胜A3,A4,A5,A6,负A7,A8,A9,A10,累计得分为8412;
A3胜A4,A5,A6,A7,负A8,A9,A10,累计得分为7411;
A4胜A5,A6,A7,A8,负A9,A10,累计得分为6410;
A5胜A6,A7,A8,A9,负A10,累计得分为52411;
A6胜A7,A8,A9,A10,累计得分为42410;
A7胜A8,A9,A10,累计得分为322310;
A8胜A9,A10,累计得分为223210;
A9胜A10,累计得分为124110;
A10累计得分为02510。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20分
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