电动力学习题解答.docx
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电动力学习题解答
第二章静电场
1.一个半径为R的电介质球,极化强度为PKr/r2,电容率为。
(1)计算约束电荷的体密度和面密度:
(2)计算自由电荷体密度;
(3)计算球外和球内的电势;
(4)求该带电介质球产生的静电场总能量。
解:
(1)p
P
K
(r/r2)
K[(1/r2)
rr
(1/r2)]
K/r2
p
n(P2
P1)
er
PrR
K/R
(2)D内
0EPP
/(
0)
f
D内
P/(
0)
K/(
0)r2
(3)E内
D内/
P/(
0)
E外
D外
fdV
KR
er
40r
2er
0(
2
0
0)r
外
E外
dr
KR
0(
0)r
r
R
E外
dr
K
(ln
R
)
内
E内dr
r
r
R
0
0
(4)W
1
1
K2
R4r2dr1
2K2R2
4r2dr
DEdV
2
0
2
2
R
4
2
2(
0)
r
2
0(
0)
r
2R(1
)(
K
)2
10
2.在平均外电场中置入半径为R0的导体球,试用分别变量法求以下两种状况的电势:
(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差
0;
(2)导体球上带总电荷Q
解:
(1)该问题拥有轴对称性,对称轴为经过球心沿外电场E0方向的轴线,取该轴线为
极轴,球心为原点成立球坐标系。
当RR0时,电势知足拉普拉斯方程,通解为
(anR
n
bn
1)Pn(cos
)
n
R
n
因为无量远处
E
E0,
0
E0Rcos
0
E0RP1(cos)
所以
a0
0,a1
E0,an
0,(n2)
当
R
R0
时,
0
所以
0
E0R0P1(cos
)
bn
Pn(cos
)
0
n1
n
R0
即:
0
b0/R0
0,
b1/R02
E0R0
所以
b0
R0(
0
0),
b1
E0R03
bn
0,(n
2)
0
E0Rcos
R0(
0
0)/R
E0R03cos
/R2
(R
R0)
0
(R
R0)
(2)设球体待定电势为
0,同理可得
0
E0Rcos
R0(
0
0)/R
E0R03cos
/R2
(R
R0)
0
(R
R0)
当
R
R0
时,由题意,金属球带电量
Q
nRRdS
0
0
2
Q
0
0
(E0cos
R0
2E
0cos
)R0sindd
0
4
0R0(0
0)
所以(
0
0)Q/4
0R0
0
E0Rcos
Q/4
0R
(E0R03/R2)cos
(R
R0)
0
Q/4
0R
(RR0)
3.平均介质球的中心置一点电荷
Qf
,球的电容率为
,球外为真空,试用分别变量法求
空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较。
提示:
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电
势的迭加,后者知足拉普拉斯方程。
解:
(一)分别变量法
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电势
的迭加。
设极化电荷产生的电势为,它知足拉普拉斯方程。
在球坐标系中解的形
式为:
内
(
anR
n
bn
)(
cos
)
n
R
n
1
Pn
(
cnR
n
dn
)(
cos
)
外
n
Rn
1Pn
当R
时,
外
0,
cn
0。
当R
0时,
内为有限,
bn
0。
所以
内
anR
n(
cos
)
,
外
dn
P(ncos
)
n
Pn
n
R
n1
因为球对称性,电势只与
R相关,所以
an
0,
(n
1)
dn
0,
(n
1)
内
a0,
外
d0/R
所以空间各点电势可写成
内
a0
Qf
4
R
外
d0
R
Qf
4
R
当R
R0时,由
内
外
得:
a0
d0/R0
由
内
外
得:
Qf
0Qf
0d0
Qf
11
n
0
n
4R02
4R02
R02,d0
4
(
)
0
a0
Qf
1
1
)
则
(
4R0
0
所以
Qf
Qf
(
1
1
)
内
4
R
4R0
0
Qf
Qf
(
1
1
Qf
外
4
R
)
4
0R
4R
0
(二)应用高斯定理
在球外,R>R,由高斯定理得:
0
E外
ds
Q总
Qf
Qp
Qf,(整个导体球
0
的约束电荷Qp
0),所以
E外
Qf
er
,积分后得:
4
0R
2
RE外dR
Qf
dR
Qf
外
R4
0R2
4
0R
Qf,所以
在球内,R E内ds 0 E内 Qf er,积分后得: 4R 2 R0 Qf Qf Qf E内 dR E外 dR 结果同样。 内 4R4R0 40R R R0 4.平均介质球(电容率为 1)的中心置一自由电偶极子 pf,球外充满了另一种介质 (电 容率为2),求空间各点的电势和极化电荷散布。 解: 以球心为原点,pf的方向为极轴方向成立球坐标系。 空间各点的电势可分为三种电 荷的贡献,即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的 贡献,此中电偶极子产生的总电势为 pf R/4 1R3。 所以球内电势可写成: i ' i p f R/4 1 R3 ;球外电势可写成: o 'p f R/4 1 R3 o 此中'i和'o为球面的极化面电荷激发的电势,知足拉普拉斯方程。 因为对称性, 'i和'o均与没关。 考虑到R0时'i为有限值;R时'o0,故拉普拉 斯方程的解为: i n( cos ) (R R0) anRPn n o bn ( cos ) (R R0) n R n1 Pn 由此 i p f R/4 1R 3 n(cos) ( RR0 ) (1) anRPn n pf R/4 1R 3 bnR (n1) ( cos ) (R R0) (2) o n Pn 界限条件为: iR R o RR (3) 0 0 1 i 2 o (4) RRR RRR 0 0 将 (1) (2)代入( 3)和(4),而后比较 (cos) 的系数,可得: Pn an 0, bn 0 (n1) a1 (1 2)pf/2 1(1 22)R03 b1 a1R03 (1 2)pf/2 1(1 22) 于是获得所求的解为: pf R (1 2)pfRcos i 1R3 2 1(1 22)R03 4 pf R ( 1 2) pf R (R R0) 4 1R 3 2 1(1 3 22)R0 pf R (1 2)pf cos pf R (1 2) pfR o 1R3 21(1 22)R2 41R3 2 1(1 22)R3 4 3pf R (R R0) 4 ( 12 2)R3 在平均介质内部,只在自由电荷不为零的地方,极化电荷才不为零,所以在球体内部, 只有球心处存在极化电荷。 p P [(10)E] [1 0D](0 1)D 1 1 ( 0 / 1 1)f 所以pp ( 0 /1 1)pf 在两介质交界面上,极化电荷面密度为 p er (p1 p2)(1 0)er Ei(2 0)er Eo (1 0) i (20) o RR0 RR0 因为 1 i 2 o ,所以 RR RR 0 0 p 0( i o) 30( 1 2)pf 3 cos R R 21( R 1 22)R0 0 5.空心导体球壳的内外半径为 R1和R2,球中心置一偶极子 p球壳上带电Q,求空间各 点的电势和电荷散布。 解: 以球心为原点,以 p的方向为极轴方向成立球坐标系。 在 RR1及R R2两平均 地区,电势知足拉普拉斯方程。 通解形式均为 ( anR n bn )(cos) n R n1 Pn 当R 时,电势趋于零,所以 R R2 时,电势可写为 o bn (cos) (1) n R n 1Pn 当R 0时,电势应趋于偶极子 p激发的电势: pf R/4 0R3 pcos /4 0R2 所以R R1时,电势可写为 pcos n( ) (2) i 4 0R2 anRPncos n 设球壳的电势为s,则 oR2 bn (cos) s n 1Pn nR2 (3) iR1p cos/4 2 n (cos ) s 0R1 anR1 Pn n (4) 由(3) 得: b0 sR2 ;bn 0 (n 0) 由(4) 得: a0 s;a1 p/4 0R13 ;an 0 (n 0,1) 所 以 osR2/R (5) i pcos /4 0 R2 s pRcos /4 0 R 3 1 (6) 再由 0 odS 0 sR224R2 Q得: S R R sQ/40R2 (7) 将(7)代入(5)(6)得: o Q/4 0R (RR2) pcos Q pRcos 1 pR Q pR i 40R2 40R2 4 0R13 4 0(R3 R2 R13 ) 在R R2处,电荷散布为: Dn 0 o Q RR2 4R22 在R R1处,电荷散布为: ' Dn 0 i 3pcos RR 4R13 1 6.在平均外电场E0 中置入一带平均自由电荷 f的绝缘介质球(电容率为 ),求空间 各点的电势。 解: 以球心为原点,以E0的方向为极轴方向成立球坐标系。 将空间各点的电势看作由两 部分迭加而成,一部分 1为绝缘介质球内的平均自由电荷产生, 另一部分 2为外电 场E0及E0感觉的极化电荷产生。 前者可用高斯定理求得,后者知足拉普拉斯方程。 因为对称性,2的形式为 (anRn bnR(n 1))Pn(cos ) n 关于 1,当R R0时,由高斯定理得: D1 fR03/3R2,E1 fR03/30R2 当R R0时,由高斯定理得: D2 fR/3 ,E2 fR/3 R0 fR03 /30R2)dR 0 fR/3)dR 1的球外面分: o1 ( ( R R0 fR03/30R fR02/30 fR02/6 (1) 0 0 fR/3 fR2/6 1的球内部分: i1 E2 dR ( )dR (2) R R 关于2,当R时,2E0Rcos,所以 o2 E0Rcos bn ( cos ) (R R0) n R n1Pn 当R 0 时, 2为有限,所以 i2 n( ) (R R0) anRPncos n 界限条件为: RR0时, i2, o2 i2 。 即: o2 0 RR0 RR0 E0R0cos bnR0 (n1)Pn(cos ) anR0nPn(cos)
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