高考学年数学高考二轮复习专题三第2讲数列的求和及综合应用案文科.docx
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高考学年数学高考二轮复习专题三第2讲数列的求和及综合应用案文科
第2讲 数列的求和及综合应用
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透.
真题感悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
的前n项和.
解
(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,①
故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),②
①-②得(2n-1)an=2,所以an=
,
又n=1时,a1=2适合上式,
从而{an}的通项公式为an=
.
(2)记
的前n项和为Sn,
由
(1)知
=
=
-
,
则Sn=
+
+…+
=1-
=
.
2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列
的前n项和Tn.
解
(1)设{an}的公比为q,
由题意知a1(1+q)=6,a
q=a1q2,
又an>0,
解得a1=2,q=2,所以an=2n.
(2)由题意知:
S2n+1=
=(2n+1)bn+1,
又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,
所以bn=2n+1.
令cn=
,则cn=
,
因此Tn=c1+c2+…+cn
=
+
+
+…+
+
,
又
Tn=
+
+
+…+
+
,
两式相减得
Tn=
+
-
,
所以Tn=5-
.
考点整合
1.数列求和
(1)分组转化求和:
一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.
(2)错位相减法:
主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法:
即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如
(其中{an}是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.
温馨提醒
(1)裂项求和时,易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.
(2)an=
忽略n≥2的限定,忘记第一项单独求解与检验.
2.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题、不等关系或恒成立问题.
热点一 数列的求和问题
命题角度1 分组转化求和
【例1-1】(2017·郑州质检)已知数列{an}的前n项和Sn=
,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
解
(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
-
=n.
而a1也满足an=n,故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由
(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n,
则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,
则A=
=22n+1-2,
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
探究提高 1.在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.
2.分组求和的策略:
(1)根据等差、等比数列分组;
(2)根据正号、负号分组.
命题角度2 裂项相消法求和
【例1-2】(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a
+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和.
解
(1)由a
+2an=4Sn+3,可知
a
+2an+1=4Sn+1+3.
两式相减可得a
-a
+2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)=a
-a
=(an+1+an)(an+1-an).
由于an>0,可得an+1-an=2.
又a
+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn=
=
=
.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=
=
.
探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.
2.消项规律:
消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
【训练1】(2017·昆明诊断)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=5,4a
=a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=2,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;
(3)设cn=
,求数列{cn}的前n项和为Tn.
解
(1)设等比数列{an}的公比为q,由4a
=a2a6得4a
=a
所以q2=4,由条件可知q>0,故q=2,
由a1+2a2=5得a1+2a1q=5,所以a1=1,
故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由bn+1=bn+an得bn+1-bn=2n-1,
故b2-b1=20,b3-b2=21,…,bn-bn-1=2n-2,
以上n-1个等式相加得bn-b1=1+21+…+2n-2
=
=2n-1-1,
由b1=2,所以bn=2n-1+1.
(3)cn=
=
=
-
,
所以Tn=c1+c2+…+cn=
+
+…+
=
-
=
-
.
命题角度3 错位相减求和
【例1-3】(2017·天津卷)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,
而b1=2,所以q2+q-6=0,
又因为q>0,解得q=2,所以bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,①
由S11=11b4,可得a1+5d=16,②
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,bn=2n,有
Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,
2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,
上述两式相减,得
-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1,
=
-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.所以Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.
探究提高 1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.
【训练2】(2017·衡阳模拟)已知等差数列{an}满足:
an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,且an+2log2bn=-1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解
(1)设d为等差数列{an}的公差,且d>0,
由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3成等比数列,
得(2+d)2=2(4+2d),
因为d>0,所以d=2,所以an=1+(n-1)×2=2n-1,
又因为an=-1-2log2bn,
所以log2bn=-n即bn=
.
(2)Tn=
+
+
+…+
,①
Tn=
+
+
+…+
,②
①-②,得
Tn=
+2×
-
=
+2×
-
=
+1-
-
=
-
.
所以Tn=3-
.
热点二 an与Sn的关系问题
【例2】(2017·济南模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,bn=-1-log2|an|,数列{bn}的前n项和为Tn,cn=
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{cn}的前n项和An,并求出An的最值.
解
(1)因为an=5Sn+1,n∈N*,
所以an+1=5Sn+1+1,
两式相减,得an+1=-
an,
又当n=1时,a1=5a1+1,知a1=-
,
所以数列{an}是公比、首项均为-
的等比数列.
所以数列{an}的通项公式an=
.
(2)bn=-1-log2|an|=2n-1,
数列{bn}的前n项和Tn=n2,
cn=
=
=
-
,
所以An=1-
.
因此{An}是单调递增数列,
∴当n=1时,An有最小值A1=1-
=
;An没有最大值.
探究提高 1.给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:
一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
2.形如an+1=pan+q(p≠1,q≠0),可构造一个新的等比数列.
【训练3】(2017·梅州质检)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-
,{bn}为等差数列,且a1=b1,a2(b2-b1)=a1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
解
(1)当n=1时,a1=S1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
-
=
,
此式对n=1也成立,∴an=
(n∈N*),
从而b1=a1=1,b2-b1=
=2.
又因为{bn}为等差数列,∴公差d=2,
∴bn=1+(n-1)·2=2n-1.
(2)由
(1)可知cn=
=(2n-1)·2n-1,
所以Tn=1×1+3×2+5×22+…+(2n-1)·2n-1,①
2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,②
①-②得:
-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n
=1+
-(2n-1)·2n
=1+2n+1-4-(2n-1)·2n=-3-(2n-3)·2n
∴Tn=3+(2n-3)·2n.
热点三 数列与函数、不等式的
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- 高考 学年 数学 二轮 复习 专题 数列 求和 综合 应用 文科