抽象函数奇偶性的判定doc.docx
- 文档编号:506024
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:25.71KB
抽象函数奇偶性的判定doc.docx
《抽象函数奇偶性的判定doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《抽象函数奇偶性的判定doc.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
抽象函数奇偶性的判定doc
专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一:
抽象函数的单调性和奇偶性问题
抽象函数的具体模型
/(x+y)=+f(y)/(切=fM+/(y)
f(x+y)=/(%)/(y)=/(x)/(y)
类型一:
抽象函数证明函数的奇偶性问题
①xg/?
/(兀)满足f(x+y)=/(%)+/(刃,如何证明/(兀)为奇函数?
®xeRf/(兀)满足/(xy)=/(x)+/(y),如何证明/O)为偶函数?
类型二:
抽象函数证明函数的单调性问题
①若xwR,且/仏+刃=/(Q+/(y)、f(xy)=f(x)+f(y)证明其单调性
②若xg/?
f(x+y)=f(x)f(y)>f(xy)=f(x)f(y)证明其单调性
探究二:
函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题
一、判断单调性和奇偶性
1.判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。
例1.如果奇函数/(兀)在区间[3,7]上是增函数且有最小值为5,那么
/(力在区间[—7,-3]上是
A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5
C.减函数且最小值为一5D.减函数且最大值为一5
分析:
画出满足题意的示意图,易知选B。
例2.偶函数/(兀)在(0,+00)上是减函数,问/(兀)在(-00,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论。
分析:
如图所示,易知/(兀)在(-8,0)上是增函数,证明如下:
任取X]
J
因为/(X)在(0,+00)上是减函数,所以/(-%!
)(-^)o>
OX
又/(X)是偶函数,所以/(—州)=/(坷),/(—勺)=/(花),
从而/(xI)(x2),故/(兀)在(-00,0)上是增函数。
2.判断奇偶性
根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求/(兀)与/(-x)的关系。
例3.若函数y=/(x)(/(x)0)与y=-/(x)的图象关于原点对称,判断:
函数
y=/(x)是什么函数。
解:
设y=fW图象上任意一点为P(兀(),旳)•/y=f(x)与y=—/(x)的图象关于原点对
称,/.P(x0,A。
)关于原点的对称点(一兀0,-歹0)在『=-f(x)的图象上,
-刃)=_/(_xo)
•••凡=/(_兀。
)
又y0=于(兀°)•••于(-兀°)=/(兀。
)
即对于函数定义域上的任意X都有/(-X)=/(X),所以y=/(X)是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性
例4・已知/(切对一切x,y,满足/(0)工0,/(x+y)=/(x)・/(y),且当兀<0吋,
/(x)>1,求证:
(1)无>0时,0(兀)<1;
(2)/(兀)在R上为减函数。
证明:
•・•对一切x,ywR有f(x+y)=f(x)•f(y)。
且/(0)工0,令x=y=0f得/(0)=1,
现设兀>0,则一兀<0,f(-x)>1,而/(0)=/(x)-f(-x)=1
•••心)=爲>1
/.0 设兀],丘尺且码V x2,则0vf(x2-xj<1, /(^2)=/[(兀2一兀])+西]=f匕2一XJ•/(E)(E) ・•・/(兀J>/(兀2), 2.证明奇偶性 即/(-V)为减函数。 例5.已知于⑴的定义域为R,且对任意实数X,y满足f(xy)=f(x)+f(y),求证: /(兀)是偶函数。 分析: 在/(与)=/(“)+/(y)中’令x=y=\f W/(l)=/(l)+/(l)=>/(l)=0 令x=y=-\,得/(I)=/(-I)+/(-I)=>/(-I)=0 于是/(一兀)=/(-I•Q=/(一1)+/U)=/(x)故/(x)是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增 减性,去掉符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例6.已知/(兀)是定义在(一1,1)上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足f(a-2)-/(4-6/2)<0,试确定。 的取值范围。 解: •・•/*&)是偶函数,且在(0,1)±是增函数,/./(x)在(―1,0)上是减函数, 1V。 —2vlI—/— 由{? 得V3<« [j<4-/vi (1)当a=2吋,/@一2)=/(4-/)=/(0),不等式不成立。 2)当y[3 /(g-2)v/(4-/) -\ =f(a2-4)o<_[v/_4v0 a-2>a2-4 解之得,V3<6r<2 (3)当2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 抽象 函数 奇偶性 判定 doc