初二数学体系讲义第4讲轴对称下.docx
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初二数学体系讲义第4讲轴对称下
第四讲轴对称
(二)
一、主要知识点回顾
1.等腰三角形的性质:
(如图1)
(1)等腰△ABC中,若AB=AC,则=(等边对);
(2)等腰△ABC中,若AB=AC,AD⊥BC,则=,∠=∠。
(等腰三角形三线合一)
2.等边三角形的定义:
如图2中,如果________=________=________,那么△ABC叫做等边三角形。
3.等边三角形的性质:
等边△ABC中,∠______=∠______=∠______=_______°
4.等边三角形的判定:
(1)若∠______=∠_______=∠_______,则△ABC中是等边三角形;
(2)等腰△ABC中,AB=AC,如果∠_______=60°或∠______=60°,则△ABC是等边三角形。
5.如图3,直角△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6,则BC=______。
二、感悟与实践
例题1:
如图4,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,
且AD=BD,AC=CD,求∠B。
变式练习1-1:
如图5,点D、E在△ABC的边上,且AB=AC,
BC=BD,AD=DE=BE。
则∠A=_________°
变式练习1-2:
如果等腰三角形的一个角为45°,那么另外两个
角的度数是()。
A.45°,90°B.67.5°,67.5°
C.45°,90°或67.5°,67.5°D.45°,67.5°
例题2:
如图6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线DE交AC于点E,交BC于点D。
求证:
BD=2CD。
变式练习2-1:
如图7,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D。
求证:
BC=3AD。
变式练习2-2:
已知:
如图8,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,求证:
BD=DE。
例题3:
如图9,△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD,BE相交于点P。
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BPD的度数;
(3)若BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1,求AD的长。
变式练习3-1:
如图10,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准确的判断是()。
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.不能确定形状
例题4:
如图11所示,CE是△ABC的角平分线,过点E画BC的平行线,交AC于点D,交外角∠ACG的平分线于点F,试证明DE=DF。
变式练习4-1:
如图12,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于
点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,
那么下列结论:
①△BDF和△CEF都是等腰三角形;
②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;
④BF=CF。
正确的有()。
A.①②③B.①②③④
C.①②D.①
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是()。
A.1,1,2B.2,2,5C.3,3,5D.3,4,5
2.若等腰三角形的周长为26cm,一边为11cm,则腰长为()。
A.11cmB.7.5cmC.11cm或7.5cmD.以上都不对
3.等腰三角形的对称轴是()。
A.顶角的平分线B.底边上的高
C.底边上的中线D.底边上的高所在的直线
4.等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是()。
A.42°B.60°C.36°D.46°
5.如图13已知AC∥BD,OA=OC,则下列结论不一定成立的是()。
A.∠B=∠DB.∠A=∠BC.OA=OBD.AD=BC
6.△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图14中,等腰三角形有()。
A.2个B.3个C.4个D.5个
7.如图15所示,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB的度数为()。
A.144°B.120°C.108°D.100°
8.如图16,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为____________。
9.如图17,△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,∠AFD=158°,则∠EDF等于______。
10.如图18,△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,
NG=NQ,若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ周长是______________。
(B)能力拓展
1.如图19,∠B=90°,AD=AB=BC,DE⊥AC。
求证:
BE=DC。
2.如图20,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
求∠A,∠ADB的度数。
3.如图21,A,B是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长都是1,请在图中清晰标出使以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置。
4.如图22,A,D,B三点在同一直线上,△ADC、△BDO为等腰直角三角形,连结AO,BC。
(1)如图22-1,AO,BC的大小位置关系如何?
并证明你的结论。
(2)当△ODB绕顶点D旋转任一角度得到图22-2,
(1)中的结论是否仍然成立?
请说明理由。
(C)趣味数学
火柴游戏
一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩,先置若干支火柴於桌上,两人轮流取,每次所取的数目可先作一些限制,规定取走最後一根火柴者获胜。
规则:
若限制每次所取的火柴数目最少一根,最多三根,则如何玩才可致胜?
例如:
桌面上有n=15根火柴,甲﹑乙两人轮流取,甲先取,则甲应如何取才能致胜?
四、考考你
1.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=()。
A.30°B.45°C.60°D.90°
2.(2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为()。
A.9cmB.12cm
C.15cmD.12cm或15cm
3.(2008年南京市)若等腰三角形的一个外角为70°,则它的底角为度。
4.(2010年无锡)如图23,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,
∠ACB=80°,则∠BCE=°。
5.(2010广州)如图24,BD是△ABC的角平分线,∠ABD=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角形有__________个。
五、课外练习
1.△ABC中,∠A=65°,∠B=50°,则AB︰BC=_________。
2.如图25,AD=AE,BD=CE,B、D、E、C在同一线上,试判断△ABC的形状,说明理由。
补充习题轴对称
(二)
【能力拓展】
1.如图1,四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC。
求证:
BC=CD
2.如图2,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证:
CD=AB+BD。
(提示:
从以下两种方式思考)
(1)如图2,若在CD上截取DE=DB,连结AE,如何证明。
(2)如图3,若延长CB到E,使BE=AB,连结AE,是否可以证出结论。
3.△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°。
点M在
AB边上,点N在AC边上,连结DM、DN,∠MDN=60°角,连结MN;
(1)如图4,当DM∥AC时,△AMN的周长是__________;
(2)如图5,当点M在AB边上运动时,△AMN的周长会随着变化吗?
请说明理由。
【课堂小测】共5小题,每1小题20分,共100分
1.下列性质中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是()。
A.两边之和大于第三边
B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C.有两个锐角的和等于90°
D.内角和等于180°
2.如图6,把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么,有下列说法:
①△EBD是等腰三角形,EB=ED;②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等;
③折叠后得到的图形是轴对称图形;④△EBA和△EDC一定是全等三角形;
其中正确的有()。
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.已知等腰三角形的底边长为xcm,腰长为ycm。
且x、y满足:
(1)x、y都是正整数;
(2)2x+3y=11。
则满足上述条件的不同的等腰三角形共有________个。
4.如图7,四边形ABCD中,AD=4cm,BC=1cm,∠A=30°,∠ADC=120°,AB⊥BC,则CD=_________cm。
5.已知:
如图8,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,
,垂足为E。
若BE∥AC,则∠C=________度。
初二数学讲义第四讲参考答案(56期)
一、主要知识点回顾
1.
(1)∠B=∠C,等角;
(2)BD=CD,∠BAD=∠CAD;
2.AB=BC=CA;3.A,B,C,60;
4.
(1)A,B,C;
(2)A,B或C;
5.3;
二、感悟与实践
例题1:
∵AB=AC,AD=BD,AC=CD,∴∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC,
设∠B=x,则∠ADC=∠B+∠BAD=2x,
∴∠DAC=∠ADC=2x,
在△ADC中,∵∠C+∠ADC+∠DAC=180°,
∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,
∴∠B=36°。
变式练习1-1:
45;变式练习1-2:
C;
例题2:
证明:
连结AD
∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,
∴∠C=∠CAD=30°,
又∵AB=AC,∴∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∴∠CAD=30°,∠BAD=90°,
∴BD=2AD,∴BD=2CD。
变式练习2-1:
∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∠BAC=90°,
∴在Rt△ADC中,CD=2AD,
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=120°-90°=30°,
∴∠B=∠BAD,∴AD=BD,∴BC=3AD。
变式练习2-2:
∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,
∵CE=CD,BD⊥AC,∴∠E=30°,∠DBC=30°,
∴∠E=∠DBC,∴DB=DE。
例题3:
(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC。
又AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,BE=AD。
∴∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,
(3)∵∠BPD=60°,BQ⊥PQ,∴∠PBQ=30°,
∴PB=2PQ=6,∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7。
变式练习3-1:
B;
例题4:
提示:
分别证明△CDE和△CDF为等腰三角形,则有CD=DE=DF。
变式练习4:
A
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.C;2.C;3.D;4.A;5.C;
6.D;7.C;8.19
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