有理数的加法法则教师版.docx
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有理数的加法法则教师版
有理数的运算法则
1.理解并掌握重要的有理数的运算法则。
2.认识和掌握列有理数加法法则的几个注意事项。
1、代数式:
用运算符号“+-× ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。
注意:
用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式。
2、列代数式的几个注意事项:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·”乘,或省略不写。
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“·”乘,也不能省略乘号。
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a。
(4)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成
的形式;
(5)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a.
3、几个重要的代数式:
(1)a与b的平方差是:
a2-b2;a与b差的平方是:
(a-b)2。
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是:
10a+b;则三位整数是:
100a+10b+c。
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:
5m+n;偶数是:
2n,奇数是:
2n+1;三个连续整数是:
n-1、n、n+1。
(4)若b>0,则正数是:
a2+b,负数是:
-a2-b,非负数是:
b2,非正数是:
-b2。
有理数
1、有理数:
(1)凡能写成
(a、b都是整数且a≠0)形式的数,都是有理数。
正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
(注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p不是有理数)
(2)有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性。
(3)自然数是指0和正整数;a>0,则a是正数;a<0,则a是负数;a≥0,则a是正数或0(即a是非负数);a≤0,则a是负数或0(即a是非正数)。
2、数轴:
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3、相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0。
(2)注意:
a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)相反数的和为0时,则a+b=0;即a、b互为相反数。
4、绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数。
(注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离)。
(2)绝对值可表示为|a|。
(3)|a|是重要的非负数,即|a|≥0。
(注意:
|a|·|b|=|a·b|)。
5、有理数比大小:
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;
(2)正数永远比0大,负数永远比0小;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;
(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数>0,小数-大数<0.
6、互为倒数:
乘积为1的两个数互为倒数。
(注意:
0没有倒数;若a、b≠0,那么
的倒数是
;倒数是本身的数是±1;若ab=1,则a、b互为倒数;若ab=-1,则a、b互为负倒数。
7、有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(3)一个数与0相加,仍得这个数。
8、有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a。
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
9、有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b)。
10、有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘。
(2)任何数同零相乘都得零。
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定。
11、有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba。
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc)。
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac。
12、有理数除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(注意:
零不能做除数)
13、有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数。
注意:
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:
(-a)n=an 或(a-b)n=(b-a)n。
14、乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方。
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂。
(3)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0,则a=0,b=0。
(4)底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位。
15、科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法。
16、近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位。
17、有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字。
18、混合运算法则:
先乘方,后乘除,最后加减。
注意:
怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则。
19、特殊值法:
是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。
整式的加减
1、单项式:
在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。
2、单项式的系数与次数:
单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数。
3、多项式:
几个单项式的和叫多项式。
4、多项式的项数与次数:
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;注意:
(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式。
5、整式:
凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。
6、同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
7、合并同类项法则:
系数相加,字母与字母的指数不变。
8、去(添)括号法则:
去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号。
9、整式的加减:
整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并。
10、多项式的升幂和降幂排列:
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:
多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列。
一元一次方程
1、等式与等量:
用“=”号连接而成的式子叫等式。
注意:
“等量就能代入”。
2、等式的性质:
等式性质1:
等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
等式性质2:
等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式。
3、方程:
含未知数的等式,叫方程。
4、方程的解:
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:
“方程的解就能代入”。
5、移项:
改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。
6、一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
7、一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。
8、一元一次方程的最简形式:
ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。
9、一元一次方程解法的一般步骤:
整理方程—去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1—(检验方程的解)。
10.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:
多用于“和,差,倍,分问题”。
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套等”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程。
(2)画图分析法:
多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础。
11、列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:
距离=速度·时间
(2)工程问题:
工作量=工效·工时
(3)比率问题:
部分=全体·比率
(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:
售价=定价·折;利润=售价-成本,;
(6)周长、面积、体积问题:
C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=πR2h。
1.﹣3的相反数是( )
A.
3
B.
﹣3
C.
D.
2.下面几种图形:
①三角形;②长方形;③正方体;④圆;⑤圆锥;⑥圆柱.其中属于立体图形的是( )
A.
③⑤⑥
B.
①②③
C.
③⑥
D.
④⑤
3.“互联网+”已全面进入人们的日常生活,据有关部门统计,目前全国4G用户数达到462000000户,其中462000000用科学记数法表示为( )
A.
4.62×104
B.
4.62×106
C.
4.62×108
D.
0.462×108
4.下列等式中,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.买一个足球需要m元,买一个篮球需要n元,则买4个足球、7个篮球共需要( )
A.
28mn元
B.
(4m+7n)元
C.
(7m+4n)元
D.
11mn元
6.木匠师傅锯木料时,一般先在木板上画出两个点,然后过这两点弹出一条墨线,这是因为( )
A.
两点之间,线段最短
B.
两点确定一条直线
C.
过一点,有无数条直线
D.
两点之间线段的长度叫做两点之间的距离
7.要调查你校学生学业负担是否过重,选用下列哪种方法最恰当( )
A.
查阅文献资料
B.
对学生问卷调查
C.
上网查询
D.
对校领导问卷调查
8.每学期开学初,南海购书中心都会进行优惠活动.某本新书按标价的8折出售,仍获利20%,若该书进价为20元,则标价为( )
A.
24元
B.
26元
C.
28元
D.
30元
9.下列运算正确的是( )
A.
﹣2(3x+1)=﹣6x+1
B.
﹣2(3x
1)=﹣6x+1
C.
﹣2(3x+1)=﹣6x+2
D.
﹣2(3x
1)=﹣6x+2
10.已知点C在直线AB上,线段AB=6,点D是AC中点,BC=4,那么A、D之间的距离是( )
A.
5
B.
2.5
C.
5或1
D.
5或2.5
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.分别从正面、左面、上面看几何体,得到的形状图都一样的几何体可能是 (写出一个).
12.若x=3是关于x的方程3x+2m﹣1=0的解,则m的值等于 .
13.按规律填空:
2,5,8,11, 14
,17,….
14.期末考试后,小宇将本班40名学生的数学成绩进行分类统计,得到如图所示的扇形统计图,则该班有 名学生数学成绩为优.
15.如图,点A、O、B在一条直线上,且∠BOC=120°,OD平分∠AOC,则图中∠AOD= .
(第14题图)(第15题图)(第16题图)
16.一个幻方中,每一行,每一列,及每一对角线上的三个数之和都相等,如图所示,已知一个幻方中的三个数,那么x的值是 .
三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.计算:
18.解方程:
19.下面都是由五个相同的小正方形组成的图形,请你在各图中不同位置分别添加一个同样大小的小正方形,使它们能折叠成小正方体.
四、解答题
(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.七名学生的体重,以48.0㎏为标准,把超过标准体重的千克记为正数,不足的千克记为负数,将其体重记录如下表:
学生
A
B
C
D
E
F
G
与标准体重之差
﹣3.0
+1.5
+0.8
﹣0.5
+0.2
+1.2
+0.5
(1)最接近标准体重的学生体重是多少?
(2)求七名学生的平均体重;
(3)请把学生按他们的体重从小到大排列,然后写出恰好居中的那个学生.
21.已知在同一平面内,∠AOB=90°,∠BOC=30°,求∠AOC的度数.
注:
要求画出图形,再求解.
22.将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理,得到其频数分布表(未完成):
数据段
30~40
40~50
50~60
60~70
70~80
总计
频数
10
40
20
百分比
5%
40%
10%
注:
30~40表示时速大于30千米而小于等于40千米,其他类同.
(1)请你把表中空白处的数据填写完整;
(2)补全频数直方图;
(3)如果此路段汽车的时速超过60千米即为违章,则违章车辆共有多少辆?
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,形式如下:
﹣(4x2+5x+6)=﹣3x2﹣x﹣2
(1)求所捂的多项式;
(2)若x是2x=﹣x+9的解,求所捂多项式的值;
(3)若x为正整数,任取x几个值并求出所捂多项式的值,你能发现什么规律?
24.牛奶加工厂现有鲜奶8吨,若在市场上直接销售鲜奶(每天可销售8吨),每吨可获利润600元;制成酸奶销售,每加工1吨鲜奶可获利润1200元;制成奶片销售,每加工1吨鲜奶可获利润2000元.该厂的生产能力是:
若制酸奶,每天可加工3吨鲜奶;若制奶片,每天可加工1吨鲜奶;受人员和设备限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.
(1)某数学小组设计了三种加工、销售方案:
方案一:
不加工直接在市场上销售;
方案二:
全部制成酸奶销售;
方案三:
尽可能多的制成奶片销售,来不及制成奶片的鲜奶直接在市场上销售.
通过计算说明哪种方案获利最多?
(2)是否还有更好的一种加工、销售方案,使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕,又能获得你认为最多的利润.
25.已知A、B两地相距54米,小乌龟从A地出发前往B地,第一次它前进1米,第二次它后退2米,第三次再前进3米,第四次又向后退4米…,按此规律行进,如果A地在数轴上表示的数为﹣17.
(1)求出B地在数轴上表示的数;
(2)若B地在原点的右侧,经过第九次行进后小乌龟到达点M,第十次行进后到达点N,点M到A地的距离与点N到A地的距离相等吗?
说明理由.
(3)若B地在原点的右侧,那么经过50次行进后,小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少?
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