二次函数知识点总结及经典习题.docx
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二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》知识点总结
一.二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.这里
需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
.二次函数的图像和性质
表达式
(a,0)
a值
图像
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
①y-ax2
a>0
J
向上
y轴
(0,0)
①当x>0时,y随x的增大而增大
②当x<0时,y随x的增大而减小
当x=0时,y
有最小值,即
y最小值=0
a<0
向下
y轴
(0,0)
①当x>0时,y随x的增大而减小
②当x<0时,y随x的增大而增大
当x=0时,y
有最大值,即
y最大值=0
②y=ax2+k
a>0
y
F
k>o/
//k/o
向上
y轴
(0,k)
①当x>0时,y随x的增大而增大
②当x<0时,y随x的增大而减小
当x=0时,y
有最小值,即
y最小值=k
a<0
y巾/
©
/
/
\k>o
*X
\k<□
向下
y轴
(0,k)
①当x>0时,y随x的增大而减小
②当x<0时,y随x的增大而增大
当x=0时,y
有最大值,即
y最大值=k
③
y=a(x-h)2
a>0
1
XL
.□工工
r
:
bx
ll
x-h
3
向上
直线x=h
(h,0)
①当x>h时,y随x的增大而增大
②当x<0时,y随x的增大而减小
当x=h时,y
有最小值,即
y最小值=0
a<0
x=h
h木
岛
向下
直线x=h
(h,0)
①当x>h时,y随x的增大而减小
②当x<0时,y随x的增大而增大
当x=h时,y
有最大值,即
y最大值=0
④
y=a(x-h)2+k
a>0
K-h
too
;
*=h
向上
直线x=h
(h,k)
①当x>h时,y随x的增大而增大
②当x 当x=h时,y 有最小值,即 y最小值=k a<0 7W? K h M口ho 向下 直线x=h (h,k) ①当x>h时,y随x的增大而减小 ②当x 当x=h时,y 有最大值,即 y最大值=k ⑤ y=ax2+bx+c 可化为: y=a(x+ 基)2+ 辛;千十4百. a>0 ix=h b z 1 向上 直线 b x=-西 /b (-五, 4acb2、 4a) ①当x>-白时,y随x的增大而增大②当x<-2时,y随x的增大而减小 当x=--2a时, y有最小值, y最小值= 4acb24a a<0 ? >< h iJ一 向下 直线 b x=-酉 (-~b, .2 4acb、 4a) ①当x>一在时,y随x的增大而减小②当x<-我时,y随x的增大而增大 当x=-3a时, y有最大值, 即 y最大值 4acb2 =4a J £=O C<0 ;八Kz । 1、11 CMQ 三.二次函数图象的平移 1.平移步骤: 2 ⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k; ⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减(自变量),上加下减(常数项) 温馨提示 二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函 数图像间的平移. 四.二次函数yaxh2k与yax2bxc的比较 22 从解析式上看,yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者, 222 b4acbb,4acb 即yax-,其中h一,k. 2a4a2a4a 五.二次函数解析式的三种表示方法 名称 解析式 使用范围 一般式 2 yaxbxc(a0) 已知任意三个点 顶点式 2 ya(xh)k(a0) 已知顶点(h,k)及另,点 交点式 ya(xx1)(xx2)(a0) 已知与x轴的两个交点及另一个点 温馨提示 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有 抛物线与x轴有交点,即b24ac。 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形 式可以互化,将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式,把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式. 六.二次函数的图象与各项系数之间的关系 抛物线的形状相同,即|a|相同. 2.一次项系数b1由a和对称轴共同决定】 对称轴在y轴的左侧,a,b同号;对称轴在y轴的右侧,a,b异号. (左同右异b为0时,对称轴为y轴) 3.常数项c ⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置. 七.二次函数图象(抛物线)与x轴交点情况的判断: y=ax2+bx+c(aw。 ,a、b、c都是常数) 1.占b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点 2.△=b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点 3.占b2-4ac<0抛物线与x轴没有交点 ①当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0; ②当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0. 八.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系: 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二 次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c=0的解(从图象上进行判断). 2.二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解; 在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解. 九.二次函数的应用 刹车距离 二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少 ☆☆二次函数抛物线简单的图形变换^翁 2 (1)顶点式【ya(xh)k(aw°)] 名称 a 顶点(h,k) 平移 a (h,k) JJ 左加右减上加下减 对 称 关于x轴对称 -a (h,-k) 关于y轴对称 a (-h,k) 关于原点对称 -a (-h,-k) 旋转(绕顶点旋转180°) -a (h,k) 2 (2)一般式【yaxbxc(aw°)] 2 ①平移: 如将二次函数yaxbxc向右平移m(m>0)个单位,再向下平移n(n>0)个单位,得到 222, ya(xm)b(xm)cnax(2amb)xambmcn ②对称 名称 a、b、c的变化 解析式变化 关于x轴对称 a-—a;b-—b;c一-c y=ax2+bx+cfy=-ax2-bx-c 关于y轴对称 a—不变;b-—b;c—不 变 y=ax2+bx+cfy=ax2-bx+c 关于原点对称 a-—a;b—M、变;c-—c y=ax2+bx+cfy=-ax2+bx-c 注: 无论是平移、轴对称还是旋转,最好先把二次函数化成顶点式,然后再根据需要进行求解 二次函数对应练习试题 .选择题 2 1 .二次函数yx4x7的顶点坐标是() 一..一2一一k.. 3.函数ykxk和y—(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x 2 2 .把抛物线y2x向上平移1个单位,得到的抛物线是() 22 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.方程2xx22的正根的个数为() x B.y2(x1)C.y2x1D.y 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为( 22 A.yxx2B.yxx2 2八_2c2_32c C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2 二.填空题 2 9.二次函数yxbx3的对称轴是x2,则b. 10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是. 11.一个函数具有下列性质: ①图象过点(一1,2),②当x<0时,函数值y随自变量x的增大而增大; 满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可). 一一__2 12.抛物线y2(x2)6的顶点为C,已知直线ykx3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的 三角形面积为. 22 13.二次函数y2x4x1的图象是由y2xbxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,贝Ub=,c=. 14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(兀取3.14). 三.解答题: 5 15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-). 2 (1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 口 第15题图 12,一 16.某种爆竹点燃后,其上升图度h(米)和时间t(秒)符合关系式hv0t-gt(0 2 力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以vo=20米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米? (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由^ 18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结 算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准 备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现: 当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综 合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该 经销店的月利润为y(元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗? 请说明理由. 19.某商场试销一种成本为60元/件的T恤,规定试销期间单价不低于成本单价,又获利不得高 于40%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y=kx+b,且x=70 时,y=50;x=80时,y=40; (1)求出一次函数y=kx+b的解析式 (2)若该商场获得利润为w元,试写出利润w与销售单价x之间的关系式,销售单价定为多少 时,商场可获得最大利润,最大利润是多少? 二次函数应用题训练 1.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分)之间满足函数关系: y =-0.1x2+2.6x+43(0 (1)当x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强? 当x在什么范围内时,学生的接受能力 逐步减弱? (2)第10分钟时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 2.如图,已知4ABC是一等腰三角形铁板余料淇中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在4ABC上截出一 矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少? 3.已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8 (1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K ①求生的值 AK ②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值 (2)若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写 出正方形PQMN的边长 4.如图,MBC中,/B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动; 点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P.Q同时出发,问经过几秒钟^PBQ的面积 最大? 最大面积是多少? 5.如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线 为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离 为6m. (1)求抛物线的解析式; (2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗? ⑶如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道 吗? 【举一反三】如图,隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶 端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7m. 求圆弧AED所在圆的半径 如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m,宽2.3m,问这辆货运卡车能否通过该隧道 6.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时, 达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式; (2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问: 球出手时,他跳离地面的高度 是多少. 50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡 7.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 场,设它的长度为xm. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m? (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m? 比较 (1) (2)的 结果,你能得到什么结论? 8.某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元) 满足关系: m=140-2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适? 最大销售利润为多少? y c的图象如图所示,则点(ac,bc)在 2. axbx A.第 A.第 bxc的图象如图所示 D.3 A.ac<0 B.a-b+c>0 C.b=-4aD.关于x的方程ax2+bx+c=0的根是xi=-1,x2=5 8.已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象如图所示,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0其中,正确结论的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4
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