等差等比数列复习题+答案.docx
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等差等比数列复习题+答案
等差数列、等比数列
1.(2014·山东青岛二模)数列{an}为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a5=1,则a10=________
2.(2014·河北邯郸二模)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是________
3.(2014·河北唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=
,a2+a4=
,则
=________
4.(2014·福建福州一模)记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn,若a4·a5=2,则Ⅱ8=________
5.(2014·辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2
}为递减数列,则________
A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0
6.(2014·四川七中二模)正项等比数列{an}满足:
a3=a2+2a1,若存在am,an,使得aman=16a
,则
+
的最小值为________
7.(2014·安徽卷)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
8.(2014·河北衡水中学二模)在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=
,a8·a9=-
,则
+
+
+
=________.
9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则Sn=a1+a2+…+an的取值范围是________.
10.(2014·课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:
an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?
并说明理由.
11.(2014·山东菏泽一模)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N*),若对于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和.
1.(2014·九江市七校联考)已知数阵
中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若a22=2,则这9个数的和为________
2.(2014·江苏南京一模)已知等比数列{an}的首项为
,公比为-
,其前n项和为Sn,若A≤Sn-
≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为________.
3.(2014·山东淄博一模)若数列{An}满足An+1=A
,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明数列{an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(an+1)}为等比数列;
(2)设
(1)中“平方递推数列”的前n项积为Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求lgTn;
(3)在
(2)的条件下,记bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn,并求使Sn>4026的n的最小值.
高考专题训练(九) 等差数列、等比数列
A级——基础巩固组
一、选择题
1.(2014·山东青岛二模)数列{an}为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a5=1,则a10=( )
A.5B.-1
C.0D.1
解析 设公差为d,由已知得
解得
所以a10=a1+9d=1,故选D
答案 D
2.(2014·河北邯郸二模)在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是( )
A.13B.26
C.52D.156
解析 ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10,
∴6a4+6a10=24,即a4+a10=4,
∴S13=
=
=26.
答案 B
3.(2014·河北唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=
,a2+a4=
,则
=( )
A.4n-1B.4n-1
C.2n-1D.2n-1
解析 ∵
∴
由①除以②可得
=2,解得q=
,
代入①得a1=2,
∴an=2×
n-1=
,
∴Sn=
=4
,
∴
=
=2n-1,选D.
答案 D
4.(2014·福建福州一模)记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn,若a4·a5=2,则Ⅱ8=( )
A.256B.81
C.16D.1
解析 由题意可知a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2,
则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)4=24=16.
答案 C
5.(2014·辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2
}为递减数列,则( )
A.d<0B.d>0
C.a1d<0D.a1d>0
解析 依题意得2a1an>2a1an+1,即(2a1)an+1-an<1,从而2a1d<1,所以a1d<0,故选C.
答案 C
6.(2014·四川七中二模)正项等比数列{an}满足:
a3=a2+2a1,若存在am,an,使得aman=16a
,则
+
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由a3=a2+2a1,
得q2=q+2,∴q=2(q=-1舍去),
由aman=16a
得2m-12n-1=16,
∵m+n-2=4,m+n=6,
所以
+
=
=
≥
=
.
答案 D
二、填空题
7.(2014·安徽卷)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
解析 设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,
∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1.
∴q=
=
=1.
答案 1
8.(2014·河北衡水中学二模)在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=
,a8·a9=-
,则
+
+
+
=________.
解析 ∵
+
=
,
+
=
,
而a8a9=a7a10,
∴
+
+
+
=
=
=-
.
答案 -
9.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则Sn=a1+a2+…+an的取值范围是________.
解析 因为{an}是等比数列,
所以可设an=a1qn-1.
因为a2=2,a5=
,
所以
解得
所以Sn=a1+a2+…+an=
=8-8×
n.
因为0<
n≤
,所以4≤Sn<8.
答案 [4,8)
三、解答题
10.(2014·课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:
an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?
并说明理由.
解
(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.
两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由
(1)知,a3=λ+1.
△investigationn.调查令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得
{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
11.(2014·山东菏泽一模)已知数列{an},a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N*),若对于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和.
解
(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列,
∴A(n)+C(n)=2B(n),
整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3.
∴数列{an}是首项为-5,公差为3的等差数列,
∴an=-5+3(n-1)=3n-8.
(2)|an|=
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n≤2时,Sn=
=-
+
n;
当n≥3时,Sn=7+
=
-
n+14;
综上,Sn=
B级——能力提高组
1.(2014·九江市七校联考)已知数阵
中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若a22=2,则这9个数的和为( )
A.16B.18
C.9D.8
解析 已知数阵
中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若a22=2,由等差数列的性质得:
a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=9a22=18.
答案 B
2.(2014·江苏南京一模)已知等比数列{an}的首项为
,公比为-
,其前n项和为Sn,若A≤Sn-
≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为________.
解析 易得Sn=1-
n∈
∪
,而y=Sn-
在
上单调递增,所以y∈
⊆[A,B],因此B-A的最小值为
-
=
.
答案
3.(2014·山东淄博一模)若数列{An}满足An+1=A
,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明数列{an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(an+1)}为等比数列;
(2)设
(1)中“平方递推数列”的前n项积为Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求lgTn;
(3)在
(2)的条件下,记bn=
,求数列{bn}的前n项和Sn,并求使Sn>4026的n的最小值.
解
(1)由题意得:
an+1=a
+2an,
即an+1+1=(an+1)2,
则{an+1}是“平方递推数列”.
对an+1+1=(an+1)2两边取对数得lg(an+1+1)=2lg(an+1),w
所以数列{lg(an+1)}是以lg(a1+1)为首项,2为公比的等比数列.
(2)由
(1)知lg(an+1)=lg(a1+1)·2n-1=2n-1
lgTn=lg(a1+1)(a2+1)…(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)=
=2n-1
(3)bn=
=
=2-
n-1
Sn=2n-
=2n-2+
又Sn>4026,即2n-2+
>4026,n+
>2014
又0<
<1,所以nmin=2014.
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