随机过程习题和答案doc.docx
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随机过程习题和答案doc
一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:
试求:
在时,求。
解:
当时,=
=
设离散型随机变量X服从几何分布:
试求的特征函数,并以此求其期望与方差。
解:
所以:
袋中有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球后放回,对每
一个确定的t
对应随机变量
X(t)
t
3
t
e
如果对
如果对
t时取得红球
t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族
.
设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分
布,服从瑞利分布,其概率密度为
试证明为宽平稳过程。
解:
(1)
与无关
(2)
,
所以
(3)
只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)Ucos2tUE(U)5,D(U)5.求:
,其中是随机变量,且
(
1)均值函数;
(2)协方差函数;(3)方差函数.
设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量,且D(U)5.
,其中是
试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3BtT(,)的均值
是两个随机变量试求随机过程,
函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)
若相互独立且ANBU则mXt及RXt1t
2
为多少?
一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的
指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多
少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的
概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)
解:
令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数,则N(t)为参数为30的
poisson过程。
以小时为单位。
则E(N
(1))30。
40k
(30)
P(N
(1)40)e
k!
k0
30
。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强
度分别为1,2,当1路公共汽车有
N人乘坐后出发;2路公共汽车
1
在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客
到来,求
(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;
(2)
当N1=
N,1=
2
2时,计算上述概率。
解:
法一:
(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为
1、2的
poisson过程,令它们为
T表示N1(t)=
N1(t)、N2(t)。
N
1
N的发生时
1
刻,
T表示N2(t)=
N
2
N的发生时刻。
2
N
1
1N1
fttt
()1exp()T1111
NN
(1)!
1
1
N
2
N12
fttt
()2exp()T2222
N2
(N1)!
2
NN
12
N1N112
f(t,t)f(t|t)f(t)texp(t)texp(t)
12
T,T12T|T12T2111222
NNNNN(N1)!
(N1)!
12122
12
NN
t
122
1N12N1
P(TT)dttexp(t)texp(t)dt
12
NN21112221
12(N1)!
(N1)!
00
12
(2)当
N=
1
N、1=
2
2时,
P(TT)P(TT)
NNNN
1212
1
2
法二:
(1)乘车到来的人数可以看作参数为
1+
2的泊松过程。
令Z1、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时
间间隔。
则Z1、Z2分别服从参数为1、2的指数分布,现在来求
当一个乘客乘坐1路汽车后,下一位乘客还是乘坐1路汽车的概
率。
z
2
pP(ZZ)dzexp(z)exp(z)dz
1221112221
00
1。
12
故当一个乘客乘坐1路汽车后,下一位乘客乘坐2路汽车的概
率为1-p
2
12
上面的概率可以理解为:
在乘客到来的人数为强度1+
2的泊松
过程时,乘客分别以1的概
概率乘坐公共汽车1,以
2
1212
率乘坐公共汽车2。
将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功,那么有:
NN1
12
N11N2kN
(1=1()1()1
k1
kN
1
1212
(2)当
N=
1
N、1=
2
2时
2N12N1
1111N1kN1k1
P路汽车比2路汽车先出发)CC
(1=()()
k1k1
2222kNkN
设{N(t),t0},(i1,2,L,n)是n个相互独立的Poisson过程,参数分别为
i
i(i1,2,L,n)。
记T为全部n个过程中,第一个事件发生的时刻。
(1)求T的分布;
(2)证明
n
{()(),0}
NtNtt是Poisson过程,参数为
i
i1
n
i
1
i
;
(3)求当n个过程中,只有一个事件发生时,它是属于
{N(t),t0}的概率。
1
解:
(1)记第i个过程中第一次事件发生的时刻为
t,i1,2,...,n。
i1
则Tmin{ti1,i1,2,...,n}。
由ti1服从指数分布,有
P{Tt}1P{Tt}1P{min{t,i1,2,...,n}t}
i1
n
1P{tt,i1,2,...,n}1P{tt}
i1i1
i1
nnt
1{1
(1)}1exp{}
eit
ii1i1
(2)方法一:
由{N(t),i1,2,...,n}为相互独立的poisson过程,对
i
于s,t0。
n
P{N(ts)N(t)n}P{[N(ts)N(t)]n}
iii1
P{N(ts)N(t)n,nn,i1,2...,n}
iiiinin
nin
n
nn
i
ni
(sexp(()s))
i
n!
i1i1i
nn
(s)
ini1
exp(()s)
i
n!
i1
这里利用了公式
nn
i
ni
(...)n!
1n
n!
nin
i1i
所以
n
{()(),0}
NtNtt是参数为
i
n
i
的poisson过程。
i1i1
方法二:
○1当h0时,
n
P{N(th)N(t)1}P{[N(ts)N(t)]1}
iii1
nn
{(ho(h))(1ho(h))}
ij
i1j1ji
nn
[ho(h)]ho(h)
ii
i1i1
○2当h0时,
n
P{N(th)N(t)2}P{[N(ts)N(t)]2}
ii
i1
n
1P{[N(ts)N(t)]2}
iii1
nn
1(1ho(h))ho(h)
ji
j1i1
nn
1(1ho(h))ho(h)
ii
i1i1
o(h)
得证。
(3)
P{N(t)1|N(t)1}P{N(t)1,Ni(t)0,i2,...,n}/P{N(t)1}
11
n
ntn
i
1t1
t
teeieit
/1
1i
...
i2i11n
证明poisson过程分解定理:
对于参数为的poisson过程
r
{N(t),t0},0p1,
i
i1
p
i
1
,i1,2,L,r,可分解为r个相
互独立的poisson过程,参数分别为
p,
i
i1,2,L,r。
解:
对过程{N(t),t0},设每次事件发生时,有r个人对此以概率
r
p1,p2,...,pr进行记录,且
p,同时事件的发生与被记录之
1
i
i1
间相互独立,r个人的行为也相互独立,以Ni(t)表示为到t
时刻第i个人所记录的数目。
现在来证明{(),0}
Ntt是参数为
i
p的poisson过程。
i
P{N(t)m}P{N(t)m|N(t)mn}P{N(t)mn}
ii
n0
n0
mn
(t)
mmnt
Cp(1p)e
mnii
(mn)!
e
m
(pt)
pti
i
m!
独立性证明:
考虑两种情况的情形,即只存在两个人记录,
一个以概率p,一个以概率1p记录,则
{N(t),t0}是参数为
1
p的poisson过程,
{N(t),t0}是参数为(1p)的poisson
2
过程。
P{N(t)k,N(t)k}P{N(t)k,N(t)kk}
11221112
P{N(t)kk}P{N(t)k|N(t)kk}
121112
kk
(t)
12
(kk)!
12
tkkk
eC1p1p2
(1)
kk
12
kk
()12
t(kk)!
tkk
12
ep1p2
(1)(kk)!
k!
k!
1212
(t)
k!
k!
12
kk
12
tkk
ep(1p)
12
(
kk
pttptpt
)1(
(1))2
(1)
ee
k!
k!
12
P{N(t)k}P{N(t)k}
1122
得证。
设{N(t),t0}是参数为3的poisson过程,试求
(1)P{N
(1)3};
(2)P{N
(1)1,N(3)2};
(3)P{N
(1)2|N
(1)1}
解:
(1)
3k
33
3
P{N
(1)3}e13e
k0
k!
(2)P{N
(1)1,N(3)2}P{N
(1)1,N(3)N
(1)1}
369
P{N
(1)1}P{N(3)N
(1)1}3e6e18e
3
P{N
(1)2}14e
(3)
P{N
(1)2|N
(1)1}
3
P{N
(1)1}1e
对于poisson过程{N(t),t0},证明st时,
nss
nkk
P{N(s)k|N(t)n}
(1)()ktt
解:
P{N(s)k|N(t)n}
P{N(s)k,N(t)n}
P{N(t)n}
P{N(s)k,N(t)N(s)nk}
P{N(t)n}
P{N(t)N(s)nk}P{N(s)k}
P{N(t)n}
nkk
((ts))(s)(ts)s
ee(nk)!
k!
e
t
n
(t)
n!
nkk
(ts)sn!
n
(nk)!
k!
t
ntss
nkk
()
k
nkk
tt
nss
nkk
(1)()ktt
设
{N(t),t0}和{N2(t),t0}分别是参数为
1
1,2的Poisson过程,另
X(t)N(t)N(t),问{X(t)}是否为Poisson过程,为什么
12
解:
不是
XtNtNt,X(t)的一维特征函数为:
()()()
12
iuX(t)iu(N(t)N(t))iuN(t)iuN(t)
f(u)E(e)E(e)E(ee)
1212
X(t)
kk
(t)(t)
iuk1tiuk2t
eeee
12
k!
k!
k0k0
iukiuk
(et)(et)tt
ee
12
12
k!
k!
k0k0
iuiu
tettet
eeee
1122
iuiu
exp{etet()t}
1212
参数为的Poisson过程的特征函数的形式为exp{1}
et,所以
iu
Xt不是poisson过程。
()
计算
T,T2,T3的联合分布
1
解:
3
f,,(x1,x2,x3)f(x1)f(x2)f(x3)e
XXXXXX
123123
(xxx)
123
110
J(t,t,t)0111
123
001
f(t,t,t)f(t,tt,tt)J(t,t,t)T,T,T123X,X,X12132123123123
3t
e0ttt
3
123
0
其他
对s0,计算E[N(t)gN(ts)]。
解:
2
E[N(t)N(ts)]E[N(t)(N(ts)N(t))]E[N(t)]
2
E[N(t)]E[(N(ts)N(t))]E[N(t)]
2222
tst(t)tstt
设某医院专家门诊,从早上8:
00开始就已经有无数患者等候,而每
个专家只能为一名患者服务,服务的平均时间为20分钟,且每
名患者的服务时间是相互独立的指数分布。
则8:
00到12:
00门
诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。
解:
从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程(以小时
为单位)。
则在[0,t]小时内接受治疗的患者平均停留时间为:
N(t)N(t)
TT
ii
i1i1
E[]E[E[]|N(t)n]
N(t)N(t)
nt
tt2
E[]E[]n22
当t=4时,平均等待停留时间为2h。
3.11{N(t),t0}是强度函数为(t)的非齐次Poisson过程,
X1,X2,L是
事件发生之间的间隔时间,问:
(1)诸
X是否独立
i
(2)诸Xi是否同分布
解:
(1)
t
(s)ds
m(t)
P{Xt}P{N(t)0}ee。
0
1
P{Xt|Xs}P{N(ts)N(s)0|Xs}
211
ts
[m(ts)m(s)]
P{N(ts)N(s)0}ee
s
()d
从上面看出X1、X2不独立。
以此类推,Xi不独立。
(2)
t
(s)ds
F(t)1e;
0
X
1
F(t)1P(Xt)1P{Xt|Xs}dF(s)
XX
220211
[m(ts)m(s)]m(s)m(ts)
1ee(s)ds1e(s)ds
00
分布不同。
设每天过某路口的车辆数为:
早上7:
00:
8:
00,11:
00:
12:
00为平
均每分钟2辆,其他时间平均每分钟1辆。
则早上7:
30:
11:
20平均
有多少辆车经过此路口,这段时间经过路口的车辆数超过500辆的概
率是多少
解:
(1)记时刻7:
00为时刻0,以小时为单位。
经过路口的车辆数
为一个非齐次poisson过程,其强度函数如下:
(s)
1200s1,4s5
601s4
则在7:
30~11:
20时间内,即
13
t[0.5,]时,
3
13
N()N(0.5)
3
代表这段时间内通过的车辆数,它服从均值为如下的
poisson分布。
131314
m(t)(s)ds120ds60ds120ds6018040280
33
0.50.514
即:
13
E[N()N(0.5)]280,在给定的时间内平均通过的车
3
辆数为280。
(2)
n
13(280)
P[N()N(0.5)500]e
3n!
n501
280
。
[0,t]时间内某系统受到冲击的次数N(t),形成参数为的poisson
过程。
每次冲击造成的损害
Y,i1,2,L,n独立同指数分布,均值为。
i
设损害会积累,当损害超过一定极限A时,系统将终止运行。
以T记系统运行的时
间(寿命),试求系统的平均寿命ET。
解:
在[0,t]内某系统受到的总损害
N(t)
XtY为一个复合poisson过
()
i
i1
程,其中
1
Ye。
~()
i
t
ETtdF(t)dxdF(t)dF(t)dx(1F(x))dxP(Tx)dx
TTTT
0000x00
N(t)
P(Tt)P{YA}
ii0
N(t)
P{YA|N(t)n}P{N(t)n}
i
n0i0
nt
eP{YA}P{N(t)n}
in1i1
1
nxn
()()
tA
tn1t
e{xedx}e
0(n1)!
n!
n1
1nxn
()()
A
ttn1t
P(Tt)dt{e[xedx]e]dt
000(n1)!
n!
n1
1nxn
A
()()
t
tn1t
edt[xedxedt]
000n1
(n1)!
n!
1nxnn1
1(t)1(t)
Antt
()
1
[xedx(eedt)]
0nn0n
(1)!
!
(1)!
0n1
11
n1
A
0
1
nx
()
n1
xedx
(n1)!
111
A
0
n1
1n1x
()
n1
xedx
(n1)!
1A
1A
系统的平均寿命为
某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人数。
假设14
男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。
(1)试求到某时刻时到达商场的总人数的分布;
(2)在已知时刻以有50人到达的条件下,试求其中恰有30位妇女的概率,平
均有多少个女性顾客
解:
设分别为(0,t)时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。
(1)由已知,为强度的泊松过程,为强度的泊松过程;
故,为强度的泊松过程;于是,
(5分)
(2)
(5分)
一般地,
故平均有女性顾客人(4分)
(1)对
(2)错当N(t)n时,
T有可能小于t(3)错,
n
Tt
n
时,N(t)可能等于n。
更新过程的来到间隔服从参数为(n,)的分布。
(1)试求N(t)的分布;
(2)试证
lim
t
N(t)
tn。
解:
(1)P{N(t)k}P{N(t)k}P{N(t)k1}
P{Tt}P{Tt}
kk1
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