第五章一元一次方程.docx

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第五章一元一次方程

第五章一元一次方程

3.应用一元一次方程——水箱变高了

太原市第十二中学常青

一、学生起点分析

本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于基本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习.

二、教学任务分析

本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系.特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有基础分组独立完成，然后请各小组汇报:

四个小问题的解答情况，最后组织学生展开讨论：

解这道题的关键是什么？

从解这道题中你有哪些收获和体验？

因此，本节教材的处理策略是：

展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.

三、教学目标

1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.

2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.

3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.

四、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：

创设情境，引入新课；第二环节：

运用情境，解决问题；第三环节：

操作实践，发现规律；第四环节：

体验数学模型第五环节：

课堂小结；第六环节：

布置作业.

环节一：

创设情境，引入新课

活动内容：

情境1：

成语“朝三暮四”的故事

（附内容：

从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）

问题1：

猴子为什么高兴了？

这其中有什么数学奥秘吗？

情境2：

教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水（容量一样，A短而宽，B长而窄）.

问题2：

请问大家哪瓶矿泉水多？

为什么？

教师拿出两个相同的量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果全体同学都说一样多，没有说对的同学，不好意思的笑了.

教师：

不要紧张，现在还有一个机会证明自己.

情境3：

先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：

●在你操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？

圆柱的高呢？

●在这个变化过程中，是否有不变的量？

是什么没变？

活动目的：

让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.

活动的实际效果：

学生能够感受到：

两瓶形状不一样的矿泉水体积是一样的，手里的橡皮泥在手压前和手压后发生了变化，变胖了，变矮了.即高度和底面半径发生了改变，但手压前后体积不变，重量不变.

环节二：

运用情景，解决问题

活动内容：

张师傅将一个底面直径为20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？

（在这个环节中可安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系.）

活动目的：

将上述环节中体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节的解方程方法解决实际问题.

活动的实际效果：

学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面的表格来帮助分析.

锻压前

锻压后

底面半径

cm

cm

高

9cm

xcm

体积

π×

×9

π×

×x

由实验操作环节知“锻压前的体积＝锻压后的体积”，从而得出方程.

解：

设锻压后的圆柱的高为xcm，由题意的

π×

×9＝π×

×x,

解之，得x=36.

黑板上两组学生中有一组学生将π的值取3.14，带入方程，教师应在此给予指导，不要早说，现在恰到好处！

（1）此类题目中的π值由等式的基本性质就可以约去，无须带具体值；

（2）若题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定π值取到什么精确程度.

环节三：

操作实践，发现规律

活动内容：

学生用预先准备好的40厘米长的铁丝，以小组作出不同形状的长方形，通过测量边长，近似求出长方形的面积，比较小组内四个同学的计算结果，你发现了什么？

活动目的：

我们知道:

学生自己亲手经历操作后的感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手、眼、脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察、分析、归纳、总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂的问题中的道理就在我们玩的过程中，就在我们的生活中.

活动的实际效果：

长（cm）

宽（cm）

面积（cm²）

长方形1

15

5

75

长方形2

13.5

6.4

86.4

长方形3

12.8

7.3

93.44

长方形4

11.6

8.4

97.44

长方形5

11

9

99

长方形6

10

10

100

由学生的实际操作得到的近似值已反映出来一个很好的规律.

学生：

由操作过程，同学们作出的长方形形状有“胖”有“瘦”，反映到表中数据为：

当长方形的周长一定，它的长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大.当长与宽一样长时面积最大.

过程感悟：

不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就剩下规范解题过程了，学生的理解远比直接先讲教材的例题效果要好的多.（此处教师可用几何画板来完成）

环节四：

练一练，体验数学模型

活动内容：

课本例题

例1：

一根长为10米的铁丝围成一个长方形.

1.若该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？

2.若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米?

它围成的长方形的面积与

（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？

3.若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少?

它围成的长方形的面积与

（2）中相比，又有什么变化？

4.如果把这根长为10米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？

面积是多少？

请思考：

解此例题的关键是什么？

通过此题你有哪些收获和体验？

你能试着设计表格解决这个问题吗？

活动的实际效果：

因为有了环节三的铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好.完整的解题过程留成课后作业.

环节五：

课堂小结

1.通过对“我变高了”的了解，我们知道“锻压前体积＝锻压后体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键，其中也蕴涵了许多变与不变的辩证的思想.

2.遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.

3.学习中要善于将复杂问题简单化、生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题.

环节六：

布置作业

1.

P184随堂练习习题5.7

2.思考：

地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形.如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，则所钉长方形的长，宽各是多少？

面积是多少？

五、教学反思

1.创造性地使用教材.

本节课的引入新颖自然，通过两个实验（情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化），使学生对课题有了初步的认识，并通过学生对实验的观察，发现了在物体形状变化时的不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中的表格发给每个小组，为增强小组讨论结果的展示起到了较好的作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论的得出起到辅助作用.

2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

本节课的设计中，通过学生多次的动手操作活动，引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识的基础上探求新内容，探索的过程是没有难度的任何学生都会动手操作，每个学生都有体会的过程，都有感悟的可能，这种形式让学生切身去体验问题的情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题，再把实际问题抽象成数学问题.

3.注意改进的方面

本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生的求知欲望，课堂气氛活跃，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己的想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改进.

数学日记

月日星期天气

学习课题：

知识归纳与整理：

我的收获与困惑

自我评价

老师我想对你说

§5.3应用一元一次方程——水箱变高了

备注

学习目标：

1．通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。

进一步体会运用方程解决问题的关键是建立等量关系，认识方程模型的重要性．

教学重点：

找等量关系列出方程；准确地解方程．

学习难点：

找等量关系列出方程．

【创设情境】

1．将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱，锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？

分析：

在锻压过程中，圆柱的形状变了，但保持不变。

那么这个问题中的等量关系就是：

=（圆柱的体积=）．

解：

设锻压后圆柱的高为xcm，根据题意可列出方程：

【探究成因】

2．用一根长为16米的铁丝围成一个长方形．

（1）如果围成的长方形的长比宽多1．4米，此时长方形的长、宽各是多少米？

（2）如果围成的长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各是多少米？

它所围成的长方形与

（1）中所围成的长方形相比，面积有什么变化？

（3）如果围成的长方形长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？

它所围成的面积与

（2）中相比又有什么变化？

【共享成功】

3．课本186页问题解决，直接在书上完成。

4．有一块棱长为0.6米的正方体钢坯，想将它锻压成横截面是0.008米

的长方体钢材，锻成的钢材有多高？

【达标测评】

5．第一块试验田的面积比第二块试验田的3倍还多100米

，这两块试验田共3000米

，两块试验田的面积分别是多少平方米？

6．如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积是多少？

【教与学后记】

5.3应用一元一次方程——水箱变高了

学、讲、练1:

1:

1导学案

随笔

学习目标

1.能根据图形变化前后的特点，找到题中的不变量；

2.能根据不变量找出等量关系，用方程解决有关图形变化问题.

重点

根据题意找出问题中的等量关系，列出方程.

学习流程

一、课前预习

1.填空：

长方形的周长=，面积=.

长方体的体积=，正方体的体积=.

圆的周长==，面积=.

圆柱的体积=.

2.阅读课本182页的导例，理解分析过程，并完成书中的填空.

3.自学书中183页的例1，填空：

（1）题中的不变量是___________________；

（2）本题的等量关系是_____________________________.

二、反馈交流

1.小组交流课前预习题；

2.由一学生交流182页引例的分析思路，并完成课本中的填空（可由其他同学补充）；

3.补充：

（4）使得长方形的长比宽多0.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？

面积呢？

（5）若用10米长的铁丝围成一个圆，此时半径约为多少米？

它所围成的面积与（3）中相比又会有怎样的变化呢？

（1）让5个小组各派一名代表上黑板板演，其余自练（在练习本上）.

（2）观察并思考：

同样长的铁丝，围成不同的长方形时，面积是如何变化的？

由此你能得出什么结论？

（3）你还有哪些收获或体会？

三、达标训练

1.课本184页的随堂练习（指名5人板演，其余完成在书上）；

2.课本185页的数学理解（由小组讨论后，派代表发言）.

四、总结提升

列方程解答应用题的关键是什么？

寻找本节应用题的等量关系时应抓住什么？

当堂检测

1.用直径为40mm、长为1m的圆钢，能拉成直径为4mm、长为_______m的钢丝.

2.用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形.若将它围成一个正方形，则这个正方形的面积是（）

A．81㎝²B．18㎝²C．324㎝²D．326㎝²

3.把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？

（不外溢）

作

业

必做题

习题5.7“问题解决”1、2题

选做题

1．在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒内装满水，再将筒内的水倒入底面直径为7cm，高为9cm的烧杯内，能否完全装下？

若装不下，筒内水还剩多高？

若能装下，求杯内水面的高度。

2．在上题中，若将烧杯中装满水倒入量筒中，能否装下？

若装不下，杯内还剩水多高？

反

思

收获

困惑

改进