1819 第3章 32 323 直线与平面的夹角精品教育doc.docx
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3.2.3 直线与平面的夹角
学习目标:
1.理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角.(重点、难点)
[自主预习·探新知]
1.直线和平面所成的角
思考:
直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗?
[提示] 不是.直线和平面的夹角为.
2.最小角定理
[基础自测]
1.思考辨析
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角.( )
(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角.( )
(3)直线与平面的夹角的范围是[0°,90°].( )
[提示]
(1)× 角的度数还可以是零度.
(2)√ (3)√
2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量,若cos〈m,n〉=-,则直线l与平面α所成的角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
A [由cos〈m,n〉=-,得〈m,n〉=120°
∴直线l与平面α所成的角为|90°-120°|=30°.]
3.如图3219所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
【导学号:
33242296】
图3219
A.B.C.D.
B [以D为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),E,
所以=(1,1,0),=,
易得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),
∴cos〈n,〉==,
∴〈n,〉=.
∴直线A1B与平面BDE所成角为=.]
[合作探究·攻重难]
用向量求直线与平面所成的角
已知三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别是PB,BC的中点.
图3220
(1)证明:
CM⊥SN;
(2)求SN与平面CMN所成的角的大小.
[思路探究] 建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标,向量的坐标,计算,的数量积,证明
(1);求出平面CMN的法向量,求线面角的余弦,求得线面角.
[解] 如图,设PA=1,以A为原点,直线AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M,N,S.
(1)证明:
=,
=,
因为·=-++0=0,
所以CM⊥SN.
(2)=,
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量.
由a·=0,a·=0,得
令x=2,得a=(2,1,-2),
∵|cos〈a,〉|==,
∴SN与平面CMN所成角为45°.
[规律方法] 用向量法求线面角的步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量;
(3)求平面的法向量n;
(4)计算:
设线面角为θ,则sinθ=.
[跟踪训练]
1.如图3221所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m,试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
图3221
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),
所以=(-1,-1,0),
=(0,0,1),
=(-1,1,m),=(-1,1,0),
又由·=0,·=0,
知为平面BB1D1D的一个法向量,
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ.
则sinθ===.
cosθ==,
依题意=3,解得m=,
故当m=时,直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
用定义法解决直线与平面的夹角问题
[探究问题]
1.用定义法求直线与平面夹角的关键是什么?
[提示] 寻找直线与平面的夹角,即准确确定直线在平面内的投影.
2.定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么?
[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面的夹角为0;
②若直线与平面垂直,则直线与平面的夹角为;
③若直线与平面相交但不垂直,设直线与平面的交点为O,在直线上任取异于O点的另一点P,过P作平面的垂线PA,A为垂足,则OA即为直线在平面内的投影,∠AOP即为直线与平面的夹角,然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小.
如图3222所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°.
图3222
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)若D为PB的中点,试求AD与平面PAC夹角的正弦值.
【导学号:
33242297】
[思路探究]
(1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直.
(2)作出AD在平面PAC内的射影后,构造三角形求解.
[解]
(1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以PA⊥BC.
又∠BCA=90°,所以AC⊥BC,又AC⊂平面PAC,
PA⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.
(2)取PC的中点E,连接DE.
因D为PB的中点,所以DE∥BC,所以DE⊥平面PAC.
连接AE,AD,则AE是AD在平面PAC内的投影,所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角.设PA=AB=a,在直角三角形ABC中.
因为∠ABC=60°,∠BCA=90°,
所以BC=,DE=,
在直角三角形ABP中,AD=a,
所以sin∠DAE===.
母题探究:
1.(改变问法)若典例条件不变,问题
(2)改为:
D为PB上的一点,且BD=PB,试求AD与平面PAC夹角的正弦值.
[解] 由已知BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,
所以BC⊥平面PAC,BC⊥PC,过PB的三等分点D作DE∥BC,则DE⊥平面PAC,连接AE,AD,
则∠DAE为AD与平面PAC的夹角,不妨设PA=AB=1,
因为∠ABC=60°,
所以BC=,DE=×=,PB=,BD=.
在△ABD中AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos45°=,AD=,所以sin∠DAE===.
即AD与平面PAC夹角的正弦值为.
2.(改变问法)若典例的题
(2)条件不变,求AD与平面PBC的夹角的正弦值,结果如何?
[解] 由
(1)知BC⊥平面PAC,
所以平面PAC⊥平面PBC.
过A作AE⊥PC.
所以AE⊥平面PBC.
连接ED,则∠ADE为AD与平面PBC的夹角.设PA=2a,AB=2a,所以PB=2a.故AD=a.
在△APC中AP=2a,
AC=AB·sin60°=2a×=a,
所以PC==a,设∠ACP=θ,
则AE=AC·sinθ=AC×
=a×=a=a,
所以sin∠ADE===.
即AD与平面PBC夹角的正弦值为.
[规律方法] 作直线与平面夹角的一般方法:
在直线上找一点,通过这个点作平面的垂线,从而确定射影,找到要求的角.其中关键是作平面的垂线,此方法简称为“一作,二证,三计算”.
运用公式cosθ=cosθ1·cosθ2求直线与平面所成的角
∠BOC在平面α内,OA是平面α的一条斜线,若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=a,求OA与平面α所成的角.
【导学号:
33242298】
[思路探究] 根据定义或cosθ=cosθ1·cosθ2求解.
[解] 法一:
∵OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,
∴AB=AC=a.
又∵BC=a,
∴AB2+AC2=BC2.
∴△ABC为等腰直角三角形.
同理△BOC也为等腰直角三角形.
取BC中点为H,连接AH,OH,
∴AH=a,OH=a,AO=a,
AH2+OH2=AO2.
∴△AHO为等腰直角三角形.∴AH⊥OH.
又∵AH⊥BC,OH∩BC=H,∴AH⊥平面α.
∴OH为AO在α平面内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角.
在Rt△AOH中,∴sin∠AOH==.
∴∠AOH=45°.
∴OA与平面α所成的角为45°.
法二:
∵∠AOB=∠AOC=60°,
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线,
作∠BOC的平分线OH交BC于H.
又OB=OC=a,BC=a,
∴∠BOC=90°.
故∠BOH=45°,由公式cosθ=cosθ1·cosθ2,
得cos∠AOH==,
∴OA与平面α所成的角为45°.
[规律方法] 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置,只有确定了射影,才能将空间角转化为平面角.在本例中,也可以直接作AH⊥BC于H,进而证明AH⊥平面α,从而证明H是点A在平面α内的射影.解法二则灵活应用公式cosθ=cosθ1·cosθ2求线面角,也是常用的方法.
[跟踪训练]
2.如图3223所示,四棱锥PABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.若∠PBC=60°,求直线PB与平面ABCD所成的角θ.
图3223
[解] 由题意得∠CBD=45°,
∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.
∵cos∠PBC=cosθ·cos∠CBD,∠PBC=60°.
即cos60°=cosθ·cos45°,∴cosθ=,θ=45°.
[当堂达标·固双基]
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
【导学号:
33242299】
A.120° B.60°
C.30°D.以上均错
C [设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos120°|=,又∵0<θ≤90°,∴θ=30°.]
2.若直线l与平面α所成角为,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A. B.C.D.
D [由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为,又l、a为异面直线,则所成角的最大值为.]
3.正方体ABCDA1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
C [取BC中点M,连接AM,OM,易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角,可求得sin∠OAM=.]
4.若平面α的一个法向量n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为________.
【导学号:
33242300】
[cos〈a,n〉====,所以l与平面α所成角的正弦值为.]
5.如图3224所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值.
图3224
[解] 取BC中点O,B1C1中点O1,连接AO,OO1,则AO⊥OC,OO1⊥平面ABC,以O为坐标原点,OC,OA,OO1所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A,C1,
∴=.
取AB中点M,连接CM,则CM⊥AB.
∵平面ABB1A1⊥平面ABC,∴CM⊥平面ABB1A1,
∴为平面ABB1A1的一个法向量.
∵B,∴M.
又∵C,∴=.
∴cos〈,〉===-.
∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
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