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勾股定理例题含答案
勾股定理例题含答案
ModifiedbyJEEPonDecember26th,2020.
勾股定理经典例题含答案11页
勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形两直角边为a和b.斜边为c,那么a2+b2=c2,若a、b、c都是正整数.(a,b,c)叫做勾股数组°
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是的纽带之一。
^勾三,股四,弦五"是勾股定理的一个最着名的。
远在公元前约三千年的人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组。
古埃及人也应用过勾股定理。
在中国,西周的提出了杠勾三股四弦五"的勾股定理的特例。
在西方,最早提岀并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
类型一勾股定理的宣接用法
1、在RtAABC中,ZLC=9O°
(1)已知c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨:
写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:
(1)在厶ABC中,Z.C=90°,a=6,c=10,b二一圧=区
⑵在厶ABC中,ZC=90°ta=40,b=9,c=
⑶在厶ABC中,ZC=90°fc=25,b=15,a=
举一反三
【变式】:
如图乙B二ZACD=90°,AD=13,CD二12,BC=3,则AB的长是多少
【答案】ZACD=90°
AD=13,CD=12
AC2=AD2-CD2
=132-122
=25
.'.AC=5
又•••ZABC=90°且BC=3
二由勾股定理可得
ab2=ac2-bc2
=52-32
=16
:
.AB=4
AB的长是4.
类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在山配中,=60°f血“0,恥=30•求:
bc的长
A
思路点拨:
由条件,想到构造含?
0°角的直角三角形,为此作丄PC于D则有
丿仆“BD=-AB=-\5
ZBAD=30\2,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求
出BC的长.
解析:
作血?
丄恥于D贝|咽Z—60。
,
.•.Z^D=^°-60o=30°(^2A的两个锐角互余)
BD=-AB=^―尺
•••2(在丘△中,如果一个锐角等于?
°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)•
根据勾股定理,在总山加中,
AD=J脑—肋2=7302-152=15^/3根据勾股定理,在应山仞中,
CD==7702-152x3=65
•5C=Br)+Z?
C=65+15=80
•••
举一反三【变式1】如图,已知:
"二90\AM^CMyMP丄曲于p.求证:
防2二罟2十毀严.
解析:
连结BM,根据勾股定理,在总△及奶中,
bp2=bm2-pm2
而在应山施D中,则根据勾股定理有
MP2=AM2一AP2
■
■胡2=B胪_(AM2_AP^二翊2_/胚2+
••
又^M=CM(已知),
・酬2=瞰2_他2+撐
•••
在总中,根据勾股定理有
BM2-CM2=BC^
f
・BP2=BC2^AP2
•••
【变式2】已知:
如图,ZB=ZD=90°.ZA=60°tAB=4.CD=2O求:
四边形ABCD的面积。
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长
B
AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种.进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析:
延长AD、BC交于E。
vZA=Z60°,Z.B=90°t/.ZE=30°o••.AE=2AB=8,CE=2CD=4,
(-)用勾股定理求两点之间的距离问题
BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE二阿=纸疗。
•••DE2=CE2-CD2=42-22=12,/.DE=屁=2岔。
11
类型三:
勾股定理的实际应用
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东
向走了5弘血到达B点,然后再沿北偏西30。
方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
解析:
⑴过B点作BE5OOm500^mAC2=BC2+AB
AC=VBC2+AB^>^(500W=1000(m)500ml000m2.5米,米
0.8米
米0.8米心2_0£)2712-0.S20.6米+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门•
(-)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有
四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,
他们设计了四种架设方案,如图实线部分•请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
思路点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行
比较,得出结论.
解析:
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD二3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在RtAABC中
AC=ylAB2BC2=>/2
同理也=徙
••・图(3)中的路线长为2^«2.828
图⑷中,延长EF交BC于H,则FH丄BC,BH二CH
由乙FBH二2及勾股定理得:
遇,盟二更
EA二ED二FB二FC二36
.•.EF二1-2FH二1-3
•••此图中总线路的长为4EA+EF=1+73«2.732
3>>
•••图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径•一只蚂蚁从点A
出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C试求出爬行的最短路程.
解:
根据勾股定理得
(提问:
勾股定理)
...AC二丿血+胡二M+1L二2妬~1077(cm)(勾股定理).
答:
最短路程约为10.77cm.
类型四:
利用勾股定理作长为丿7的线段
5、作长为旋、右、的的线段。
思路点拨:
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于旋,直角边为旋和1的直角三角形斜边长就是內,类似地可作的。
作法:
如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角AACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角込肚。
斜边为热上;
⑶顺次这样做下去,最后做到直角三角形血迟,这样斜边曲1、鸥、曲了的长度就是罷羽爲品
\\so
举一反三【变式】在数轴上表示航的点。
解析:
可以把航看作是直角三角形的斜边,(両)2=1°,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为航。
类型五:
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1•原命题:
猫有四只脚•(正确)
2・原命题:
对顶角相等(正确)
3.原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等・(正确)
4.原命题:
角平分线上的点,到这个角的两边距离相等•(正确)
思路点拨:
掌握原命题与逆命题的关系。
解析:
1•逆命题:
有四只脚的是猫(不正确)
2.逆命题:
相等的角是对顶角(不正确)
3•逆命题:
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.・(正确)
4.逆命题:
到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)
总结升华:
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c!
判断4ABC的形状。
思路点拨:
要判断AABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件
a2+b2+c2+50=6a+8b+10c(故只有从该条件入手,解决问题。
解析:
由a2+b2+c2+50=6a+8b+1Oc,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0o
•・•(23)2^0,(b・4)2M0.(c・5)220。
a=3,b=4,c=5o
V32+42=52,
a2+b2=c2o
由勾股定理的逆定理,得AABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的•在证明中也常要用到。
AB=3,BC=4,CD=12,AD=13t求四边形ABCD
A
举一反三【变式1】四边形ABCD中,ZB=90°f的面积。
【答案】:
连结AC
ZB=90°,AB=3,BC=4
/.AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
.■-AC=5
•.AC2+CD2=169?
AD2=169
・•・AC2+CD2=AD2
・・・/ACD=90。
(勾股定理逆定理)
浊心=g込+九3=^^^AC.CD=36
【变式2]已知:
ZkABC的三边分别为-n\2ninjn2+n2(nui为正整数,且m>n),判断Z\ABC是否为直
角三角形.
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:
a2+b2=c2即可
证明:
(m2-«2)2+(2mnf=亦一2曲*+«4+4«?
2«2
所以AABC是直角三角形.
2
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB±一点,且BF=4ABo
请问FE与DE是否垂直请说明。
【答案】答:
DE丄EF。
证明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
/.EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2o
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2o
df2=ef2+de2,
・・FE丄DEO
经典例题精析
类型一:
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
思路点拨:
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
解析:
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)2=202
化简得X,二16;
•••直角三角形的面积二2x3xx4x=6x2=96
总结升华:
直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【答案】如图,等边ZXABC,作AD丄BC于D
2
则:
BD二空BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
•••AB二AC二BC二2(等边三角形各边都相等)
/.BD二1
在直角三角形AB
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