上海数学高一知识点总结.docx
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上海数学高一知识点总结
集合与函数概念
(1)集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法
ZRQNNN?
表示实数集.表示有理数集,表示正整数集,表示整数集,或表示自然数集,?
(3)集合与元素间的关系
a?
Ma?
MaM,两者必居其一.的关系是对象与集合,或者(4)集合的表示法
①自然语言法:
用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
xxx为集合的代表元素.,其中|具有的性质}③描述法:
{④图示法:
用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合?
).(叫做空集(6)子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
(或B?
A)
中的任一元素都属A于B
?
A
(1)AA?
?
(2)A?
BB?
CA?
C(3)若且,则A?
BB?
AA?
B且(4)若,则
或
真子集
?
AB?
?
B(或A)?
BA?
中至少B且,有一元素不属于A
A?
?
)(1(A为非空子集)?
ABB?
CA?
C?
若
(2)且,则?
?
?
.
集合相等
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素A都属于
?
B
(1)A?
(2)BA
212A1)?
n(nnnn?
2?
1个子集,它有(7)已知集合个元素,则它有有个非空子集,个真子集,它有22n?
它有非空真子集.
(8)交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质假真真真真
示意图
交集
{x|x?
A且x?
B}
AIA?
A)(1AI?
?
?
)(2AB?
AI(3)假真假假真
真真假真假
假
并集
A|x?
{x或x?
B}
AUA?
A
(1)AU?
?
A
(2)AB?
AU(3)假假假真
补集
()21?
eAUAUA)(e?
?
IAUU
简单逻辑用语
1、命题:
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:
判断为真的语句.假命题:
判断为假的语句.
pqpq称为命题的结论.”形式的命题中的称为命题的条件2、“若,,则pqqp”“若,则,则”逆命题:
原命题:
3、“若?
p?
q?
q?
p”逆否命题:
“若否命题:
“若,则,则”4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
pqqpq?
p.必要条件的是,充分条件的是,则、若5.
pqq?
p的充要条件若(充分必要条件)是.,则
A?
B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;利用集合间的包含关系:
例如:
若
若A=B,则A是B的充要条件;
p?
qp?
qorand;:
命题形式;⑵或((6、逻辑联结词:
⑴且):
命题形式)?
pnot.:
命题形式⑶非()
?
”表示;“任意一个”等,用“7、⑴全称量词——“所有的”、?
?
x?
M,?
p(x)p?
x?
M,(x)ppp。
全称命题:
:
;全称命题的否定?
”表示;“至少有一个”等,用“⑵存在量词——“存在一个”、?
x?
M,p(x)?
x?
M,?
p(x)?
ppp;:
;特称命题:
特称命题的否定【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
x|x?
?
ax?
a}或.
ax?
b|x|?
a,,一个整把体化成看成|x|?
a(a?
0)型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法
判别式函数的
定义性质在这个区间上是减函数....象下降为减)
(4)利用复合函数
图象
判定方法
二次函数2?
bx?
cax(a?
0)y?
的图象如果对于属于定义域区间上的任意两个自变量的x,当值x、21),那么就说f(x) 内某个I时,都有 ((单调性 )利用定义1)利用已知函数的2 一元二次方程20)? 0(aax? ? bx? c的根21...........在这个区间上是 2? 4acb? ? bx? 1,22a? xx)(其中21增函数.... (某个区间图 无实根3)利用函数图象(在象上升为增) 2? bx? c? 0(axa? 0)的解集函数的单调性 {x|x? xx? x}或21 ((( 4)利用复合函数1)利用定义2)利用已知函数的 2? bx? c? 0(a? 0)ax的解集如果对于属于定义域区间上的任意两个自变量的x,当、值x21有f(x)>f(x1......... 内某个I时,都 单调性(某个区间图 3)利用函数图象(在 〖〗函数及其表示 (1)函数的概念 xBBAAf在集合中任何一个数、,是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合①设ABABf(x)f和它对应,)中都有唯一确定的数,以及的对应法则那么这样的对应(包括集合到ABf: A? B.到叫做集合的一个函数,记作②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. )区间的概念及表示法2(. a? x? bba? x[a,b]ba,;满足是两个实数,且的实数的集合叫做闭区间,记做,满足①设a? x? ba? x? ba? x? bxx)b(a,的,或的实数;满足的集合叫做开区间,记做的实数xb? x,x? b? ax? a,x],b)(a,[ab的集,集合叫做半开半闭区间,分别记做的实数;满足)b],(? ? b),([a,? ? ),(a,? ? ? ? 合分别记做.ba}ba? x? {x|)b(a,,而后者必须与区间可以大于或等于,前者注意: 对于集合 a? b. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: f(x)是整式时,定义域是全体实数.①f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.②f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.③④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ? xtany? ()? Z? k? x? k中,⑤. 2⑥零(负)指数幂的底数不能为零. f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数⑦若的定义域的交集. f[g(x)]]axf()[,b其复合函数若已知一般步骤是: ,的定义域为⑧对于求复合函数定义域问题,g(x)a? ? b解出.的定义域应由不等式⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个 最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法: 对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法: 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. xy)(xy? f的二次方程可以化成一个系数含有③判别式法: 若函数的关于2? b(y)x? cya()x(y)? 0a(y)? 0x,y为实数,故必须有,则在时,由于2(y)? 4a(y)? c(y)? ? b? 0,从而确定函数的值域或最值. ④不等式法: 利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法: 通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法: 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法: 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法: 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法: 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法: 就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ABABf中都是两个集合,如果按照某种对应法则中任何一个元素,在集合①设,对于集合、ABABAf的对应法则,以及那么这样的对应(包括集合到有唯一的元素和它对应,)叫做集合Bf: A? B.到的映射,记作 baBAB? ba? A,对应,那么我们把元素和元素②给定一个集合到集合的映射,且.如果元素aabb的原象.叫做元素的象,元素叫做元素. 〖〗函数的基本性质 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. y? f[g(x)]u? g(x)u? g(x))y? f(u为增,则,若为增,,令③对于复合函数yy? f(u)u? g(xy? f[g(x)])为减为,减,为增;若则y? f(u)u? g(x)y? gy? f[(x)]f[g(x)]为减;为增,为增;若为减,则u? g(x)y? f[g(x)])(? yfu为减.若为减,为增,则ox a()(0)? ? xa? xf)打“√”函数(2的图象与性质 x a,? ? ? 0))? ? ? [a][a,()xf((0,a]上为减函数.上为增函数,分别在、、分别在(3)最大(小)值定义 x? IMI)(xy? f,都有满足: (的定义域为1①一般地,设函数,如果存在实数)对于任意的f(x)? M; x? If(x)? Mf(x)M)存在(2,使得是函数.那么,我们称的最大值,记作00f(x)? M.maxx? ImI)y? f(x,都有)对于任意的,如果存在实数1满足: ②一般地,设函数(的定义域为mI? xm? x)f(f(x)f(x)? m;是函数,使得)存在(2.那么,我们称的最小值,记作00f(x)? m.max(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 定义判定方法图象质性)利用定义(要先(1如果对于函数f(x)定义域内判断定义域是否关于-f(-x)=x任意一个,都有.......原点对称)奇函f(x),那么函数叫做f(x)......数.)利用图象(图象2(. 函数的奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内f(都x任意一个,有-... 关于原点对称))利用定义(要先1(判断定义域是否关于 偶那么函数f(x)x)=,f(x)叫做.........函数.. 原点对称))利用图象(图象(2轴对称)y关于 x? 0f(0)? 0)(xf.处有定义,则为奇函数,且在②若函数yy轴两侧相对称的区间增减性相反.③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖补充知识〗函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域;②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性);④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种
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