求通项公式的常用方法.docx
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求通项公式的常用方法
求通项公式的常用方法
一、定义法:
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
例1.等差数列
是递增数列,前n项和为
,且
成等比数列,
.求数列
的通项公式.
二、公式法:
递推公式为
与
的关系式。
(或
)
解法:
利用
与
消去
或与
消去
进行求解。
例题:
已知无穷数列
的前
项和为
,并且
,求
的通项公式?
跟踪训练1、已知数列
的前
项和
,满足关系
.试证数列
是等比数列.
三、待定系数法:
(换元法)
类型一:
(其中p,q均为常数,
)。
解法(待定系数法):
把原递推公式转化为:
,其中
,再利用换元法转化为等比数列{a
-t}的形式求解求解。
例题:
1、已知数列
中,
,
,求数列
的通项公式.
2、数列{a
}满足a
=1,a
=
a
+1(n≥2),求数列{a
}的通项公式
3、数列{a
}满足a
=1,
求数列{a
}的通项公式。
4、已知数列
满足
,且
,求
.
5、已知数列
满足:
求
类型二、
(其中p,q均为常数,
)。
(或
其中p,q,r均为常数)。
解法:
一般地,要先在原递推公式两边同除以
,得:
引入辅助数列
(其中
),得:
再待定系数法解决。
例题:
已知数列
中,
,求
。
跟踪训练:
1、设数列
的前
项的和
,
求首项
与通项
;
2、已知数列
满足
,
,求
类型三、递推公式为
(其中p,q均为常数)。
递推公式为
(其中p,q均为常数)。
解法:
先把原递推公式转化为
其中s,t满足
,再应用再利用等比数列
求解。
例题:
已知数列
中,
,求
。
跟踪训练:
1、已知数列
中,
,求
。
2、数列
:
,
求
3、已知数列
满足
(I)证明:
数列
是等比数列;(II)求数列
的通项公式;
4、数列
满足
=0,求数列{a
}的通项公式
类型四递推公式为
与
的关系式。
(或
)与其它类型综合
解法:
利用
与
消去
或与
消去
进行求解。
例题:
数列
前n项和
.
(1)求
与
的关系;
(2)求通项公式
.
跟踪训练:
1、已知数列
的前
项和
满足
.求数列
的通项公式。
2、数列
中前n项的和
,求数列的通项公式
.
四、累加法:
利用
求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如
的递推数列通项公式的基本方法(
可求前
项和).
例题:
已知无穷数
满足
,
,求数列
的通项公式.
跟踪训练:
1、已知数列
满足
,
,求
。
2、已知数列
中,
其中
……,求数列
的通项公式。
五、累乘法:
利用恒等式
求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:
的递推数列通项公式的基本方法(数列
可求前
项积).
例题:
已知
求数列
通项公式.
跟踪训练:
1、已知数列
满足
,
,求
。
2、已知
,
,求
3、已知数列{an},满足a1=1,
(n≥2),则{an}的通项
六:
双数列型
解法:
根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例题:
已知数列
中,
;数列
中,
。
当
时,
,求
.
跟踪训练:
1、设各项均为正数的数列
的前n项和为
,对于任意正整数n,都有等式:
成立,求
的通项an.
2、设
是首项为1的正项数列,且
,(n∈N*),
求数列的通项公式an.
3、数列
中,
,前n项的和
,求
.
4、设正项数列
满足
,
(n≥2).求数列
的通项公式.
数列的前n项求和
一、公式法
直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法.常用的数列求和公式有:
(1)等差数列求和公式:
(2)等比数列求和公式:
例1、求和。
(1)
(2)
二、拆项(分组求和法)
若数列
的通项公式为
,其中
、
中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般利用分组求和法
例1,求
的值.
例2.求和:
例3.已知数列9,99,999,……,求数列前n项和Sn.
跟踪训练:
求和。
(1)
(2)
三、裂项(裂项相消法)
例题:
求
的值.
跟踪训练:
1、求
的值.
2、求和
四、错位相减法
若数列
的通项公式
,其中
、
中一个是等差数列,一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和。
这种方法叫错位相减法。
-
得:
=……
例1.求和
例2.求数列
跟踪训练:
求和。
(1)
(2)
五、特殊法
例1,
的值.
六、应用
已知数列
的前n项和
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