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完整版全称量词和特称量词
3.1全称量词与全称命题
3.2存在量词与特称命题
明目标、知重点1.经过详尽实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特
称命题的真假.
1.全称量词与全称命题
在命题的条件中,“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“所有”都是在指定范围内,表示整体或所有的含义,这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题,叫作全称命题.
2.存在量词与特称命题
在命题中,“有些”“最少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词.
含有存在量词的命题,叫作特称命题.
研究点一全称量词与全称命题
思虑1以下语句是命题吗?
(1)与(3),
(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
答语句
(1)
(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以不是
命题.语句(3)在
(1)的基础上,用短语“对所有的”对变量x进行限制;语句(4)在
(2)的基础
上,用短语“对任意一个”对变量x进行限制,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,所以语句(3)(4)是命题.
小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“所有”都是在指定范围内,表示整
体或所有的含义,这样的词叫作全称量词.像这样含有全称量词的命题,叫作全称命题.
思虑2怎样判断一个全称命题的真假?
答
要判断一个全称命题是真命题,必定对限制会集
M中的每个元素x考据p(x)成立;但
要判断全称命题是假命题,只要能举出会集
M中的一个x0,使得p(x0)不成马上可(即举反例).
例1判断以下全称命题的真假:
(1)
所有的素数是奇数;
(2)
任意x∈R,x2+1≥1;
(3)
对每一个无理数x,x2也是无理数.
解
(1)2是素数,但2不是奇数.
所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2)任意x∈R,总有x2≥0,所以x2+1≥1.
所以,全称命题“任意x∈R,x2+1≥1”是真命题.
(3)2是无理数,但
(2)2=2是有理数.
所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
反思与感悟判断全称命题的真假,要看命题可否对给定会集中的所有元素成立.
追踪训练1试判断以下全称命题的真假:
(1)任意x∈R,x2+2>0;
(2)任意x∈N,x4≥1.
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
解
(1)由于任意x∈R,都有x2≥0,所以有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命题“任意x∈R,
x2+2>0”是真命题.
(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“任意x∈N,x4≥1”是假命题.
(3)由于任意α∈R,sin2α+cos2α=1成立.所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”
是真命题.
研究点二存在量词与特称命题
思虑1以下语句是命题吗?
(1)与(3),
(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3;
(4)最少有一个x0∈Z,使x0能被2和3整除.
答
(1)
(2)不是命题,的取值进行限制;语句
(3)(4)是命题.语句(3)在
(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量
(4)在
(2)的基础上,用“最少有一个”对变量x的取值进行限制,从
x
而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句,所以语句
(3)(4)是命题.
小结
“有些”“最少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,
这样的
词叫作存在量词.像这样含有存在量词的命题,叫作特称命题.
思虑2怎样判断一个特称命题的真假?
答要判断一个特称命题是真命题,只要在限制会集M中,最少能找到一个
x=x0,使p(x0)
成马上可,否则,这一特称命题是假命题.
例2判断以下特称命题的真假:
2
(1)有一个实数x0,使x0+2x0+3=0;
(2)存在两个订交平面垂直于同一条直线;
(3)有些整数只有两个正因数.
解
(1)由于任意x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以使x2+2x+3=0的实数x不存在.所
以,特称命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题.
000
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,所以不存在两个订交的平面垂直于同
一条直线.所以,特称命题“存在两个订交平面垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真
命题.
反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题,判断一个特称命题为真,只要在指定会集中
找到一个元素满足命题结论即可.
追踪训练2判断以下命题的真假:
(1)存在x0∈Z,x30<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)有一个实数α,tanα没心义;
π
(4)存在x0∈R,cosx0=2.
解
(1)∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
∴“存在x∈Z,x3<1”是真命题.
00
(2)真命题,如梯形.
π
(3)真命题,当α=2时,tanα没心义.
(4)∵当x∈R时,cosx∈[-1,1],
π
而2>1,∴不存在x0∈R,
π
使cosx0=2,
∴原命题是假命题.
研究点三
全称命题、特称命题的应用
思虑
不等式有解和不等式恒成立有何差异?
答
不等式有解是存在一个元素,使不等式成立,相当于一个特称命题;不等式恒成立则是
给定会集中的所有元素都能使不等式成立,相当于一个全称命题.
例3
(1)已知关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求实数
a的取值范围;
(2)令p(x):
ax2+2x+1>0,若对任意x∈R,p(x)是真命题,求实数
a的取值范围.
解
(1)关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,
77
解得a≥4,∴实数a的取值范围为4,+∞.
(2)∵对任意x∈R,p(x)是真命题.∴对任意x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,当a=0时,不等式为2x+1>0不恒成立,
a>0,
当a≠0时,若不等式恒成立,则
=4-4a<0,
∴a>1.
反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用,注意二者的差异.
追踪训练3
(1)关于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立,求实数m的取值范围;
(2)存在实数x,不等式sinx+cosx>m有解,求实数m的取值范围.解
(1)令y=sinx+cosx,x∈R,
π
∵y=sinx+cosx=2sinx+4≥-2,
又∵任意x∈R,sinx+cosx>m恒成立,
∴只要m<-2即可.
∴所求m的取值范围是(-∞,-2).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R,
π
∵y=sinx+cosx=2sinx+4∈[-2,2].
又∵存在x∈R,sinx+cosx>m有解,
∴只要m<2即可,
∴所求m的取值范围是(-∞,2).
1.以下命题中特称命题的个数是
(
)
①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④关于任意x∈R,
总有|sinx|≤1.
A.0B.1C.2D.3
答案
B
剖析
命题①含有存在量词;命题②可以表达为“所有的正方形都是菱形”,故为全称命题;
命题③可以表达为“所有能被6整除的数都能被3整除”,是全称命题;而命题④是全称命
题.故有一个特称命题.
2.以下命题中,不是全称命题的是
(
)
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.必然存在没有最大值的二次函数
答案
D
剖析
D选项是特称命题.
3.以下命题中的假命题是(
)
A.存在x∈R,lgx=0
B.存在x∈R,tanx=1
C.任意x∈R,x3>0
D.任意x∈R,2x>0
答案
C
剖析
关于A,当x=1时,lgx=0,正确;关于B,当x=π
C,
4时,tanx=1,正确;关于
当x<0时,x3<0,错误;关于D,任意x∈R,2x>0,正确.
4.用量词符号“任意”“存在”表述以下命题:
(1)凸n边形的外角和等于2π.
(2)有一个有理数x
2
满足x=3.
0
0
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
解
(1)任意x∈{x|x是凸n边形},x的外角和是2π.
2
(2)存在x0∈Q,x0=3.
(3)任意α∈R,sin2α+cos2α=1.
[呈重点、现规律]
1.判断命题是全称命题还是特称命题,主若是看命题中可否含有全称量词和存在量词,有
些全称命题诚然不含全称量词,可以依照命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例
说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成马上可;若经过逻辑推理得
到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
一、基础过关
1.以下命题:
①中国公民都有受教育的权益;
②每一其中学生都要接受爱国主义教育;
③有人既能写小说,也能搞发明创立;
④任何一个数除0,都等于0.
其中全称命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
答案C
剖析命题①②④都是全称命题.
2.以下特称命题是假命题的是()
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
答案
B
剖析
关于任意的
1
3
>0恒成立.
x∈R,x2+x+1=(x+)
2+
2
4
3.给出四个命题:
①末位数是偶数的整数能被
2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数
x,x>0;④关于任意实数x,2x+1是奇数.以下说法正确的选项是()
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称命题
C.②③是特称命题
D.四个命题中有两个假命题
答案C
剖析①④为全称命题;②③为特称命题;①②③为真命题;④为假命题.
4.以下全称命题中真命题的个数为()
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④任意x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
A.1B.2C.3D.4
答案C
剖析①②③为真命题.
5.以下全称命题为真命题的是()
A.所有的素数是奇数
B.任意x∈R,x2+3≥3
C.任意x∈R,2x-1=0
D.所有的平行向量都相等
答案B
6.以下命题中,真命题是________.
π
①存在x0∈0,2,sinx0+cosx0≥2;
②任意x∈(3,+∞),x2>2x+1;
③存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数;
π
④任意x∈2,π,tanx>sinx.
答案②③
剖析
关于①,
π
π
2,
任意x∈0,2,sinx+cosx=
2sinx+4
≤
∴此命题为假命题;
关于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,
∴此命题为真命题;
关于③,当m=0时,f(x)=x2为偶函数,
∴此命题为真命题;
π
关于④,当x∈2,π时,tanx<0 ∴此命题为假命题. 7.判断以下命题可否为全称命题或特称命题,并判断其真假. (1)存在一条直线,其斜率不存在; (2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解; 1 (3)存在实数x0,使得2=2. x0-x0+1 解 (1)是特称命题,是真命题. (2)是全称命题,是假命题. (3)是特称命题,是假命题. 二、能力提升 8.对任意 x>3,x>a恒成立,则实数 a的取值范围是 ________. 答案 (-∞, 3] 剖析 对任意 x>3,x>a恒成立,即大于 3的数恒大于 a,∴a≤3. 9.给出以下四个命题: ①a⊥b? a·b=0;②矩形都不是梯形;③存在x,y∈R,x2+y2≤1; ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1. 其中全称命题是________. 答案①②④ 剖析①②省略了量词“所有的”,④含有量词“任意”. 10.四个命题: ①任意 x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②存在 x∈Q,x2=2;③存在 x∈R, x2+1=0;④任意x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________. 答案0 剖析x2-3x+2>0,=(-3)2-4×2>0, ∵当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立, ∴①为假命题. 当且仅当x=±2时,x2=2, ∴不存在x∈Q,使得x2=2, ∴②为假命题, 对任意x∈R,x2+1≠0, ∴③为假命题, 4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立, ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 11.判断以下命题的真假: (1)对任意x∈R,|x|>0; (2)对任意a∈R,函数y=logax是单调函数; (3)对任意x∈R,x2>-1; (4)存在a∈{向量},使a·b=0. 解 (1)由于0∈R,当x=0时,|x|>0不成立,所以命题“对任意x∈R,|x|>0”是假命题. (2)由于1∈R,当a=1时,y=logax没心义,所以命题“对任意a∈R,函数y=logax是单调函数”是假命题. (3)由于对任意x∈R,都有x2≥0,所以有x2>-1. 所以命题“对任意x∈R,x2>-1”是真命题. (4)由于0∈{向量},当a=0时,能使a·b=0,所以命题“存在a∈{向量},使a·b=0”是 真命题. 12.已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)可否存在实数m,使不等式m+f(x)>0关于任意x∈R恒成立? 并说明原由; (2)若存在实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 解 (1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x- 1)2-4关于任意 x∈R 恒成立,只要 m>-4即可.故存在实数 m使不等式 m+f(x)>0 关于任 意x∈R 恒成立,此时 m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x). 若存在实数x使不等式m>f(x)成立, 只要m>f(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4, 所以f(x)min=4,所以m>4. 故所求实数m的取值范围是(4,+∞). 三、研究与拓展 13.若任意x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图像和x轴恒有公共点,求实数 a的取值范 围. 解①当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒订交,所以 a∈R; ②当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是 =1 +4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立. 又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是=(4a)2-16≤0, 解得-1≤a≤1. 综上所述,当m=0时,a∈R; 当m≠0时,a∈[-1,1].
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