有理数的知识归纳点有理数知识点总结.docx
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有理数的知识归纳点有理数知识点总结
有理数的知识归纳点有理数知识点总结
七年级代数知识点(上册)
第一章有理数
1.1正数和负数
一、概念
1、正数:
大于零的数,有时根据需要在正数前面加“+”(正号)
2、负数:
在正数前面加上“—”(负号)的数
说明:
一个数前面的“+”“—”叫做它的号,其中“+”有时可以省略,但仍然表示正数,有时“+”是为了强调它是正数,但“—”号是绝对不能省略的。
3、0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界。
说明:
关于0的——实数,自然数,有理数,整数,非正数,非负数,偶数,相反数是本身,没有倒数,绝对值是本身,正负数分界
二、实际应用
在解决一些实际问题时,可以认为规定具有相反意义的量的正负。
例如:
收入为正,支出为负,收支平衡为0
零上为正,零下为负,分界为0
向北(东)走为正,向南(西)走为负,原地不动为0
加分为正,扣分为负,不加不扣为0
逆时针为正,顺时针为负
超标为正,低标为负,标准为0
地上为正,地下为负,地面基准为0
盈余为正,亏空为负,收支平衡为0
水位上升为正,水位下降为负,水平面为0
高于平均分为正,低于平均分为负
增加为正,减少为负,不增不减为0
海平面以上为正,以下为负,海平面记为0
三、易错易误点
1、-a一定是负数么?
答案:
不一定,需要分类分析
解析:
当a大于0时,-a就是负数;当a等于0时,-a为0;当a小于0时,-a是正数因此,a不一定是正数也不一定是负数,判断字母的正负时,需要分类讨论,也不能忽略0的存在。
2、海拔0米并不表示没有海拔,而是说海拔中海平面的平均高度为0米。
3、非正数:
0和负数
非负数:
0和正数
1.2有理数
一、概念
1、有理数:
正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数(含有限小数和无限循环小数)的形式,这样的数称为有理数。
2、无理数:
既不是正数也不是分数,就一定不是有理数。
如无限不循环小数π=3.1415926…
它不能化成分数形式。
二、分类
1、按定义分:
有理数:
正数——正整数,0,负整数
分数——正分数、负分数
2、按性质符号分:
有理数:
正有理数——正整数、正分数
负有理数——负整数、负分数
综上,有理数共分为5类:
正整数、正分数、0、负整数、负分数。
*易错易混点(选择题常考):
非负整数(自然数):
正整数、0
非正正数:
负整数、0
非负有理数:
正整数、0、正分数
非正有理数:
负整数、0、负分数
关于文字概念的判断题(难点,重点)
一个有理数不是整数就是分数——对!
(从有理数概念可知)
正整数和负整数统称为整数——错!
(还有0)
0不是有理数——错!
(从性质符号分,有理数包括整数和分数,而0是整数)
正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数——错!
(忽略了0)
三、数轴
1、定义:
数轴是一条可以向两端无限延伸的直线
规定三要素——原点,正方向,长度
注意“规定”二字,是说三要素是根据实际需要认为规定的。
2、画法:
(必须用直尺!
)
(1)先画一条直线
(2)在直线上任取一点,作为原点,记为0
(3)选取适当的长度作为单位长度,从原点向右(向左)每隔一个单位长度取一点。
3、与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示,通常“正右负左,原点中间”;
但数轴上的点不都来表示有理数。
四、相反数(重点)
1、概念
(1)几何定义:
在数轴上分别位于原点两旁,到原点的距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。
(2)代数定义:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如,2和-2;0的相反数是0。
2、表示以及多重符号的简化
(1)a的相反数是-a,这里a是任意有理数(即正数、负数、0)
当a大于0时,-a小于0(正数的相反数是负数)
当a小于0时,-a大于0(负数的相反数是正数)
当a等于0时,-a等于0(0的相反数是0)
(2)多重符号化简方法:
正数前有偶数个“—”,可以把“—”一起去掉
正数前有奇数个“—”,最后只留一个“—”
0前无论有多少个“—”,化简后仍是0
五、绝对值
1、概念
(1)几何定义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,记作|a|,读作a的绝对值,绝对值不能是负数。
(2)代数定义:
正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数。
2、做题时需要慎重考虑0的情况。
六、有理数大小比较
1、具体方法:
将各数在同一条数轴上表示出来,那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序,即为——负数<0<正数。
2、两个负数,绝对值大的反而小。
3两数大小:
同号——同正,绝对值大的数大
同负,绝对值大的反而小
异号——正数大于负数
一数为零——正数>0,负数<0
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
一、法则
1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2、绝对值不相等的异号两数相加,去绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
3、互为相反数的两个数相加得0;
4、一个数同0相加,仍得这个数。
二、运算律
1、加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
a+b=b+a
2、加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
(a+b)+c=(a+c)+b
1.3.2有理数的减法
法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
注意两变:
减法变加法,减数变为它的相反数
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
一、法则
1、两数相乘,同号得正,异号的负,并把绝对值相乘。
2、任何数同0相乘,都得0。
二、推广
1、几个不是0的数相乘,负因数的个数的偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。
2、几个数相乘,有一个因数为0,则乘积为0。
三、运算律
1、乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
ab=ba
2、乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
(ab)c=(ac)b
3、乘法分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
四、倒数
1、乘积是1的两个数互为倒数。
当a≠0时,与1/a互为倒数;当m≠0,n≠0时n/m与m/n互为倒数
2、注意:
0没有倒数,做题时应当注意分母不为0
3、-1的倒数是-1;0~-1之间的数的倒数比本身小;小于-1的数的倒数比本身大。
1.4.2有理数的除法
一、法则
1、除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
2、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0,0不能做除数。
二、化简
1、分数可以理解为分子除以分母,分数线就是除号。
2、0除以任何一个不等于0的数,都得0。
三、混合运算
1、乘除混合运算
(1)如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分,则将这个带分数写成证书部分与分数部分的和,再利用分配律运算
(2)运算时应该从左至右,并将除法化成乘法再进行运算。
(3)除法化乘法,算式化连乘,小数化分数,带分数化假分数,负因数的个数确定符号的
正负。
2、加减、乘除混合运算
遵循原则:
先乘除,后加减;按小括号、中括号、大括号依次计算;灵活运用分配律。
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
一、乘方的意义
1、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,
乘方的结果叫做幂。
在中,a叫做底数,n叫做指数。
2、一个数可以看做是这个数本身的一次方,指数1通常省略不写。
3、因为就是n个a相乘,所以可以利用乘法运算计算乘方运算。
二、乘方运算的性质
1、负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数,
2、正数的任何次幂都是正数,
3、0的任何正整数次幂都是0。
三、做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
1.5.2科学记数法。
一、概念
把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数,即1≤|a|<10,n是正整数),这种计数方法叫做科学记数法。
1.5.3近似数
一、概念
四舍五入的近似数,从左边第一个非0的数字起,到精确到的数位止,所有的数都叫做这个数的有效数字。
二、说明
一个数只是接近实际数,但与实际数还有差别,它是一个近似数。
近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示。
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