}∪{a|a=3}
3.在研究两个集合的关系时,“集合相等”至关重要
例5集合P,Q,M满足P∩Q=P,Q∩M=Q,则集合P,M的关系为().
A.P
M B.P
M C.P
M D.P
M
解:
(1)当集合P,Q,M不相等时,
如图
(1)所示:
有P
M.
(2)当集合P=Q=M时,如图
(2)所示:
所以得到P=M.
综上所述,∴P
M.应当选C.
例6已知集合M,N及全集U,则M
N是M∩CUN=Φ的().
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
解:
如图
可知M
N是M∩CUN=Φ的充分条件.
M∩CUN=Φ时则有M
N或M=N两种可能.
∴M
N是M∩CUN=Φ的充分非必要条件. ∴应选A.
4.弄懂集合语言的含义。
是避免产生常见错误的关键
集合问题中的数学语言,其常见形式主要有三种:
一是文字语言,二是符号语言,三是图形语言.三种语言虽然形式不同,但它们对于同一个数学对象本质属性的描述是一致的,因此它们之间可以互相转换.
下面主要介绍用已知集合的交、并、补集,表示文氏图中的指定集合.
例7设U为全集,P,Q是U的子集,试用P,Q的交、并、补集符号表示图(4)和图(5)中阴影部分.
解:
(1)在图(4)中,由给定的图形符号知,阴影部分在集合P外,则应与P补有关;它又在集合Q内,则应与集合Q有关.
∴阴影部分应该用CUP与Q表示,
用符号语言应表示为(CUP)∩Q
(2)在图(5)中,由给定的图形符号知:
右边部分可表示为(CUP)∩Q左边部分可表示为P∩CUQ.
∴阴影部分应该用并集表示成
(CUP)∩Q∪(P∩CUQ).
例8设I是全集,P,M,N是它的子集,试用P,M,N的交、并、补集符号表示图(6)和图(7)中的阴影部分的集合.
解:
(1)在图(6)中,阴影部分在集合P,N之外,且在集合M之内,所以可用集合CI(P∪N)与集合M表示成:
M∩CI(P∪N)
(2)在图(7)中,阴影部分在P∩M之内,且在N之外,所以可用P∩M与CIN表示成:
(P∩M)∩CIN
5.注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念
例9分别写出下列简单命题┐p的复合命题:
(1)命题p:
方程2x-1=3-2x的解是x=2
(2)命题p:
不等式x-2(3)命题p:
是无理数
(4)命题p:
三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角
(5)命题p:
菱形的对角线相等
解:
(1)┐p:
方程2x-1=3-2x的解不是x=1;
(2)┐p:
不等式的x-2(3)┐p:
不是无理数;
(4)┐p:
三角形的外角不大于(小于等于)与它不相邻的任何—个内角;
(5)┐p:
菱形的对角线不一定相等.
例10写出下列命题的否定及否命题:
(1)原命题:
面积相等的三角形是全等三角形;
(2)原命题:
方程2x2-3x+1=0的根是x=1或x=
.
解:
(1)命题的否定:
面积相等的三角形不一定是全等三角形;
否命题:
面积不相等的三角形不是全等三角形.
(2)命题的否定:
方程2x2-3x+1=0的根,不是x=1,且不是x=
;
否命题:
若方程不是2x2-3x+l=0,则它的根不是x=1,且不是x=
.
评注:
为求解方便应将原命题写成“若p则q”的形式
设:
p表示原命题,则┐p就叫做命题的否定;如果原命题是“若p则q”,则命题的否定为:
(1)p:
集合中某些元素是s,则┐p:
集合中某些元素不是s;
(2)p:
集合中所有元素是s,则┐p:
集合中所有元素不一定是s.
如果原命题是“若p则q”,则“若┐p则┐q”就叫做原命题的否命题.
6.真正认清命题中的条件与结论的逻辑关系
例11分别指出下列各组命题中,p是q的什么条件:
(1)p:
a>0,b>O;q:
a2+b2>O;
(2)p:
a>b;q:
|a|>b;
(3)p:
O|x-2|<2;
(4)p:
c=O;q:
抛物线ax2+bx+c过原点;
(5)p:
两三角形相似;q:
两三角形全等.
解:
(1)p:
a>0,b>0
q:
a2+b2>O,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)p:
a>b
q:
|a|>b,
∴p既不是q的充分条件,也不是必要条件.
(3)p:
0q:
|x-2|<2,
∴p是q的充要条件.
(4)p:
c=0
q:
抛物线y=ax2+bx+c过原点,
∴p是q的充要条件.
(5)p:
两三角形相似
q:
两三角形全等,
∴p是q的必要不充分条件.
例12已知p,q是两个命题,且p是q的充分条件,则
(1)q是p的_____条件
(2)┐q是┐p的_____条件
(3)┐p是┐q的_____条件
解:
(1)必要条件;
(2)充分条件;
(3)必要条件.
例13设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,则().
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件.
C.丙是甲的充要条件.
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件.
解:
由已知条件可得:
甲
乙
丙
∴丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
∴应选A.
第二讲具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段
1.以指数函数为背景
我们把学习过的函数,如指数函数y=ax(a>0,且a≠1),对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0),用抽象的函数符号和语言进行表述,并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究,是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法.
1.以指数函数为背景
例1设函数y=f(x)定义在实数集R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)·f(n).
(1)证明f(x)在R上,恒有f(x)>0.
(2)证明f(x)在R上是增函数.
证明
(1)f(x)在R上,恒有f(x)>0.
设n>0,m=0,则f(x)>1,
∴f(0+n)=f(0)·f(n),
即f(n)=f(0)·f(n).
又f(n)>1,
∵f(0)=1,设x<0,
则-x>0,从而f(-x)>0.
∵f(0)=f(x-x)
=f(x)·f(-x)
=1,
∴f(x)=1f(-x)>0.
∴不论x为任意实数,都有f(x)>0.
证明
(2)f(x)在R上是增函数
设x10).
由t>0,有f(t)>1,
∴f(x2)=f(x1+t)
=f(x1)·f(t)>f(x1);
∴f(x)在R上是增函数.
例2
(1)下列函数中,具有性质f(x+y)=f(x)·f(y)(x,y∈R)的是().
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=2x D.f(x)=-x+1
(2)设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于().
A.直线y=0对称 B.直线x=0对称
C.直线y=1对称 D.直线x=1对称
解
(1):
由f(x+y)=f(x)·f(y)(x,y∈R)知,取f(x)=2x满足题设要求.
而f(x)=x2,f(x)=2x,f(x)=-x+1不符合要求.
∴应选B.
解
(2):
可选取f(x)=2x(x∈R),符合题设要求.
∵y=f(x-1)=2x-1,y=f(1-x)=21-x=(
)x-1,
而曲线y=2x-1是由曲线y=2x向右平移1个单位得到的,曲线y=(
)x-1是由曲线y=(
)x向右平移1个单位得到的.
∴它们应关于直线x=1对称,
∴应选D.