线性代数齐次方程组解法.docx
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线性代数齐次方程组解法
D=
按第一列展开,
=@—
a2a1
a3
a1
ak
a1
a2@2
ai)a
3(a3
aj
ak(ak
aj
a;2(a2
将各列的公因
aja3
D子提出来
2(a3
aj
a:
2(ak
aj
1'J1—IZJHJZA
a?
a〔
(a2aj
a3
a3(a3
a1
aj
aka1
ak(aka1)
2@aj
a3(a3
aj
ak(aka1)
1
1
1
a1)(a3—a1)
…(ak—a1)
a2
a3
ak
k2
a2
k2
a3
k2
ak
k
a2
a2
得到的k—1阶范德蒙德行列式,由归纳假设知其值为
佝aj)
2jik
是D=(a2—a"(a3—a1)…(ak—a1)(aiaj)=
2jik
j
因此,对于任意正整数n>2,范德蒙德行列式的展开式都成立。
(aiaj)
k
证毕
例1.14计算n阶三对角行列式
210
121
012
Dn=
00
00
00
21
12
解由行列式的性质1.4,将Dn的第一列的每个元看成两个元之和,得
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
0
0
1
2
1
0
0
0
1
2
0
0
+
0
1
2
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
Dn=
第二个行列式从第一行开始依次加到下一行,
得
第一个行列式按第一列展开;
Dn=Dn-1+
0
得到
=Dn-什1
反复利用上面的递推公式,
Dn=Dn-1+1=Dn-2+2==D1+n—仁2+n—仁n+1
例1.15计算n阶行列式
a1
b
Dn=
a2
(ai丰b,i=1,2,…,n)
an
解对于这个行列式,
采用一种“加边”的技巧。
Dn=
a1
b
a2
an
Dn=
a1b
0
a2b
anb
1
第二列乘以一—
a1b
加到第一列上去,第二列乘以
a2
加到第一列上去,依次
类推,最后一列乘以
an
1加到第一列上去,
b
得到
Dn=
ai
a1b
b
i1ai
(ai
1in
a2b
b)
anb
1.4
行列式的应用
1.4.1克拉默法则
本小节以行列式为工具,研究解线性方程组的问题。
设n个未知量n个方
程的线性方程组为
它的系数构成的行列式
称为方程组(1.18)的系数行列式。
则该方程组有唯一
(1.21)
定理1.7如果方程组(1.19)的系数行列式不为零,
解:
X1=D1,x2=2...,xn=H
DDD
这里Dj(j=1,2,…,n)是把方程组的常数项b1,b2,…,bn依次替换系数行列式中的第j
列元所得到的n阶行列式。
通常称这个定理为克拉默(G.Cramer)法则。
证明取正整数1,2,…,n中任意一个为j,以如屈,…,Anj分别乘以方程组中第一,第二,…,第n个方程,然后相加,得
nnnn
(ak1Akj)X1+(ak2Akj)X2+…+(akjAkj)Xj+…+(aknAkj)Xn
k1k1k1k1
n
(1.22)
bk1Akj
k1
由性质1.13可知,方程左边Xj的系数为D,而其它的Xi的系数为零;方程右边恰好是用b1,b2,…,bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj,因此有
Dxj=Dj
令j=i,2,…,n,就得到方程组
Dxi=Dl,DX2=D2,…,Dxn=Dn(1.23)
显然方程组(1.18)的解是(1.23)的解,而当D丰0时,方程组(1.23)有惟一解:
D1D2Dn…八
X1=,X2=,…,Xn=(1.24)
D
D
D
因此,方程组(1.18)最多有
一组解。
将(1.24)代入(1.18)
的第i
个方程,得
nDj1n
n
1
n
aij^=^aij(
bkAkj)=—
bk
aijAq=bi(i=1,2,…,n)
j1DDj1k
1
D
k1
j
1
则(1.24)的解是(1.18)的解。
而且是唯一解。
证毕
例1.16解线性方程组
X1
3x2
7X32
2x-|
4x2
3x31
3x-|
7x2
2x33
解系数行列式
1
3
7
D=
2
4
3
=196
3
7
2
由于系数行列式不为零,所以可以使用克拉默法则,方程组有唯一解。
此时
2
3
7
1
2
7
D1=
1
4
3
=—54D2=
2
1
3
=38
3
7
2
3
3
2
1
3
2
D3=
2
4
1
=80
3
7
3
则有
D15427
D2
3819D3
8020
x1
X2
X3
D19698
D
19698D
19649
用克拉默法则解一个有
n个未知量、
n个方程的线性方程组,
需要计算n+1
个n阶行列式,这样的计算量通常是相当大的,但克拉默法则在理论上具有重要意乂。
1.4.2拉普拉斯定理
行列式按任意一行(列)展开的方法可以推广到按若干行(列)展开。
行列式按若干行(列)的展开式称为拉普拉斯展开式。
在n阶行列式D中任选k行和k列,位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M,称为行列式D的k阶子式;而划去这k行k列后,剩余的元按原来的顺序排列成的n—k阶行列式N,称为M的余子式;如果k
阶子式在D中所在的行、列的序号依次为,
i1,i2
,…,ik,j1,j2,…,jk,则把
(1)i1
i2
ikj1
j2j
kN
称为M的代数余子式。
例如
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
D=
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
从中取第二、三行,第一、三列,交叉处元组成一个二阶子式,记为M;M的
余子式记为N,具体写出来就是:
a21
a23
a12
a14
M=
N=
a31
a33
a42
a44
M的代数余子式为(一1)2+3+1+3N=—N
定理1.8在n阶行列式中任取k行(列),则由这k行(列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和,等于行列式的值。
通常把这个定理称为拉普拉斯(Laplace)定理,证明从略。
例1.17利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开
1100
1210
D=
0131
0014
解D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个
11
1
0
1
0
M1=
=3,M2=
12
1
1
=1,M3=
1
0
=0
10
10
00
=1,M5=
=0,M6=
21
20
10
M4=
=0
其中M1,M2,M4的代数余子式为
由拉普拉斯定理知
D=M1A1+M2A2+M3A3+M4A4+M5A5+M6A6=3X13+1X4=43
a0
0a
D=
拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。
例1.18计算n阶行列式
0b
00
a0
0a
—2次相邻列的互换,使最后一列换到第二列的位置上
a
0
0
b
a
b
0
0
b
0
0
a
b
a
0
0
D=(—1)n—2
0
a
0
0
=
0
0
a
0
0
0
a
0
0
0
0
a
用拉普拉斯定理,可得
0
=an_2(a2—b2)
143方阵与行列式
行列式作为方阵的一个数字特征,具有如下性质(其中A,B为n阶方阵,
为数)
性质
1.14
detAT=detA
性质
1.15
det(A)=ndet(A)
证明
设
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
A=
an1
an2
ann
则
a11
a12
a〔n
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
a21
a22
a2n
A=
及det(
A)=
an1
an2
ann
an1
an2
ann
依据行列式的性质,将
det(A)中每一行中的公因子提出,得到
a11
a12
a1n
det(A)=n
a21
a22
a2n
=ndet(A)
an1
an2
ann
证毕
性质1.16设A、B为n阶方阵,则有
det(AB)=(detA)•(detB)(此性质称为行列式的乘法定理)(1.25)
证明设C=AB,并设A=(aij)n>n,B=(bij)nXn,C=(Cij)n> 构造2n阶行列式如下: an a21 a12 a22 D= an1 an2 1 0 0 1 0 0 根据拉普拉斯定理, 把 D按照前 a1n 0 0 0 a2n 0 0 0 ann 0 0 0 0 b11 b12 bm 0 b21 b22 b2n 1 bn1 bn2 bnn n行展开,有D=(detA)(detB) 另一方面,对D中的后n列实施行列式的性质 1.11,将第k列(1 乘以bkj加入到第n+j列中去,使得原来矩阵 B位置上的每个元都变为零, 得到 an a12 a1n C11 C12 a21 a22 a2n C21 C22 an1an2 D= 10 annCn1Cn2 000 000 c1n C2n Cnn 0 0 0 其中Gj=a,kbkj,即C=(Gj)=AB i1 冉用拉晋拉斯疋理 ,把 D按照最后 n行展开,有 1 0 0 0 1 0 D=(-1)s (detC)=(—1)s(-1)n(detC) 0 0 1 其中s=[(n+1)+(n+2)+…+2n]+(1+2+…+n)=n(2n+1),s+n=n(2n+2)为偶数。 所以D=detC=det(AB)故det(AB)=(detA)(detB)证毕 显然,行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形,即 det(A1A2…Ak)=(detA1)(detA2)…(detAk) 144行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系 前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法,禾U用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件,并给出逆阵的一个公式。 为此,需要引入n阶矩阵A的转置伴随阵的定义。 为A的转置伴随阵(adjugatematrix)或伴随矩阵,用记号A*表示。 定理1.8设A是n阶矩阵,adjA为其转置伴随矩阵,则有 (1.26) A(adjA)=(adjA)A=(detA)E 证明因为
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