中考数学复习《中考压轴题轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习二.docx
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中考数学复习《中考压轴题轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习二
2021年中考数学复习《中考压轴题:
轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习
(二)
1.在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AC的中点,P为AD上一动点,若AD=12,试求PC+PE的最小值.
2.如图,在平面直角坐标系中,A(﹣3,3),B(﹣1,﹣1)在y轴上画出一个点P,使PA+PB最小,并写出点P的坐标.
3.如图,在直角坐标系中,先描点A(1,1),点B(4,3).
(1)点C是x轴上的一个动点,当AC+BC最小时,画出点C的位置;
(2)在本题中你认为有用到如下那些数学道理,请把它挑选出来并填在横线上 .
A:
两点之间线段最短;
B:
线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等;
C:
角平分线上的点到角两边的距离相等;
D:
三角形两边之和大于第三边.
4.先阅读下列文字,再回答问题:
已知在平面内有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间的距离公式为:
P1P2=
.
(1)已知点P(2,4),Q(﹣3,﹣8),试求P,Q两点间的距离.
(2)已知A(0,6),B(﹣3,2),C(3,2),判断线段AB,BC,AC大小关系.
(3)已知点M(m,5),N(0,2)且MN=5,求m的值.
(4)求代数式
的最小值.
5.尺规作图:
用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.如图,已知点A,点B和直线l,
(1)在直线上求作一点P,使PA+PB最短;
(2)请在直线l上任取一点Q(点Q与点P不重合),连接QA和QB,试说明PA+PB≤QA+QB.
6.在一平直的河岸l同侧有A、B两村.A村位于河流l正南4km,B村位于A村东8km南7km处.现要在河岸边建一水厂C为两村供水,要求管道长度最少,请你确定选址方案,并求出所需最短管道长度.
7.尺规作图
用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
如图,已知点A,点B和直线l.
(1)在直线l上求作一点P,使PA+PB最短;
(2)请在直线l上任取一点Q(点Q与点P不重合),连接QA和QB,试说明PA+PB<QA+QB.
8.如图1和图2,P是直线m上一动点,A、B两点在直线m的同侧,且点A、B所在直线与m不平行.
(1)当P点运动到P1位置时,距离A点最近,在图1中的直线m上画出点P1的位置;
(2)当P点运动到P2位置时,与A点的距离和与B点距两相等,请在图2中作出P2位置;
(3)在直线m上是否存在这样一点P3,使得到A点的距离与到B点的距离之和最小?
若存在请在图3中作出这点,若不存在清说明理由.(要求:
不写作法,请保留作图痕迹)
9.如图1:
P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,M和N分别是射线OA和射线OB上的动点.
(1)请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置,使得△PMN的周长最小(保留作图痕迹);
(2)在图2中若△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是多少?
10.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P为CD上的动点,则|PA﹣PB|的最大值为 .
参考答案
1.解:
如图,连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴PC=PB,
∴PE+PC=PB+PE=BE,
即BE就是PE+PC的最小值,
∵AD=12,点E是边AC的中点,
∴AD=BE=12,
∴PE+PC的最小值是12.
2.解:
∵A(﹣3,3),
∴点A关于y轴对称的点C(3,3),
连接BC交y轴于P,则PA+PB最小,
设直线BC的解析式为:
y=kx+b,
∴
,
解得:
,
∴直线BC的解析式为:
y=x,
∴点P的坐标(0,0).
3.解:
(1)如图,A′(1,﹣1);
点C为所作;
(2)故选A,B,D.
4.解:
(1)根据两点的距离公式得,PQ=
;
(2)AB=
,
BC=
,
AC=
,
∴AB=AC<BC;
(3)根据题意得,
,
∴m2+9=25,
∴m=±4;
(4)∵
可以看成点(x,y)到两点(﹣3,1)和(0,﹣4)的距离之和,
∴
的最小值为点点(x,y)到两点(﹣3,1)和(0,﹣4)的距离之和的最小值,
∵当点(x,y)在以两点(﹣3,1)和(0,﹣4)为端点的线段上时,点(x,y)到两点(﹣3,1)和(0,﹣4)的距离之和的最小值,其最小值为以两点(﹣3,1)和(0,﹣4)为端点的线段长度,
∴
的最小值为
.
5.解:
(1)作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于P,
则点P即为所求;
(2)在直线l上任取另一点Q,连接PA、QA、QB.
∵点A与A′关于直线l成轴对称,点P、Q在直线l上
∴PA=PA′,QA=QA′.
∵QA′+QB≥A′B,
∴QA+QB≥A′B
即QA+QB≥A′P+BP,
∴PA+PB≤QA+QB.
6.解:
方案一:
如图1,连接AB,过A作AC1⊥l于C1则C1即为水厂地址,
过B作BD⊥AC1交C1A的延长线于D,
则AD=7km,BD=8km,AC1=4km,
∴AB=
=
km,
∴所需管道长度=AC1+AB=(4+
)km;
方案二:
作A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于C2,
则C2即为水厂地址,如图2,过B作BD⊥AA′交A′A的延长线于D,
则A′D=15km,BD=8km,
∴所需管道长度=A′B=
=17km,
综上所述:
所需最短管道长度=(4+
)km.
7.解:
(1)作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于P,
则点P即为所求;
(2)在直线l上任取另一点Q,连接PA、QA、QB.
∵点A与A′关于直线l成轴对称,点P、Q在直线l上
∴PA=PA′,QA=QA′.
∵QA′+QB>A′B,
∴QA+QB>A′B
即QA+QB>A′P+BP,
∴QA+QB>AP+BP.
∴PA+PB最小.
8.解:
(1)过点A作直线m的垂线,垂足为P1,
则P1即为所求;
(2)作线段AB的垂直平分线交直线m于P2,
则P2即为所求;
(3)作点A关于直线m对称点A′,连接BA′交直线m于P3,
则P3即为所求.
9.解:
(1)分别作点P关于OA、OB的对称点D,C,连接CD,
分别交OA、OB于点M、N,连接PM、PN、MN,则△PMN的周长最小;
(2)连接OC、OD,如图所示:
∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
∴OC=OP=OD,∠AOB=
∠COD,
∵PN+PM+MN的最小值是5cm,
∴PM+PN+MN=5,
∴DM+CN+MN=5,
即CD=5=OP,
∴OC=OD=CD,
即△OCD是等边三角形,
∴∠COD=60°,
∴∠AOB=30°.
10.解:
作A关于CD的对称点A′,连接A′B交CD于P,则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点,|PA﹣PB|=A′B,
连接A′C,
∵△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,
∴∠CAB=∠ABC=45°,∠ACB=90°,
∵∠BCD=15°,
∴∠ACD=75°,
∴∠CAA′=15°,
∵AC=A′C,
∴A′C=BC,∠CA′A=∠CAA′=15°,
∴∠ACA′=150°,
∵∠ACB=90°,
∴∠A′CB=60°,
∴△A′BC是等边三角形,
∴A′B=BC=4.
故答案为:
4.
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