数学思想.docx
- 文档编号:5955744
- 上传时间:2023-01-02
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:42.93KB
数学思想.docx
《数学思想.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学思想.docx(30页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学思想
数学思想与数学方法
国家教育部2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》指出:
要使学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。
教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》指出:
要“使学生理解数学概念、结论的逐步形成过程,体会隐涵在其中的数学思想方法。
”即将颁布的《义务教育数学课程标准(修改稿)》又进一步指出:
“要使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
”
人们做任何事情,都要在宏观上讲究策略,在微观上讲究方法。
策略与方法不当常事倍功半,策略与方法得当则事半功倍。
在数学研究与数学学习中,这种宏观上的策略称为数学思想,微观上的方法就是数学方法,二者合称数学思想方法。
在数学学习中,由于数学思想和方法是知识向能力转化的中介和桥梁,对于发展学生的能力特别是创造性思维能力具有十分重要的作用,因而数学思想方法成为数学教学的重要内容,成为近20几年来高考与中考数学命题的重点。
我们国家对数学思想与方法的深入研究开始于上个世纪80年代。
1986年在东北师范大学解恩泽教授的组织下,建立了“全国数学思想方法研究协会”,1988年在著名数学家徐立治先生的倡导下,建立了“全国数学方法论研究中心”。
我因为在这之前发表过几篇有关数学思想方法研究的论文,因而应邀成为这两个组织的发起人之一,参与了两个学派的学术研究,并主编出版了四部数学方法论的著作。
审视这两个学派的研究内容,他们的区别在于:
以解恩泽为首的“全国数学思想方法研究协会”主要从数学的外部和宏观的角度,研究数学思想和数学发现发明的规律,以及数学人才成长的规律,是宏观的数学方法论;以徐立治为首的“全国数学方法论研究中心”主要从数学内部和微观的角度,研究每种数学方法的产生与发展规律,以及数学方法的作用,是微观的数学方法论。
由于我同时参与了这两个学派的研究,因而今天我的报告将在两种数学方法论的结合上,即宏观与微观的结合上展开。
报告共分五部分——数学思想与数学方法,重要的数学思想,数学中的逻辑方法,数学问题解决方法,构建数学理论的方法。
我将尽量减少纯理论的阐(chan)述,而主要结合中学数学教学的实际说明问题。
限于时间,今天我仅对前三个问题——数学思想与数学方法、初中数学中的重要数学思想、数学中的逻辑方法作简单介绍。
一、数学思想与数学方法
从根本上说,数学科学的全部内容,是由数学问题、数学理论知识(简称数学知识)、数学方法与数学思想组成的系统。
在这个系统中,数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵,也有着不同的作用。
⒈数学问题
所谓“数学问题”,是指数学中需要明晰、需要研究、需要解决的疑难问题。
1900年,著名数学家希尔伯特(20世纪最伟大的数学家,1943年去世)在巴黎国际数学家代表大会上作了题为《数学问题》的演讲,对数学问题的作用和人类20世纪面临的数学问题进行了全面的论述。
此后,数学问题在数学研究和数学发展中的重要作用受到了人们的广泛重视。
希尔伯特在这次大会的演讲中指出:
“数学问题对于一般数学进展的深远意义以及对于研究者个人工作的重要作用是不可否认的。
能在一门科学分支中提出大量的问题,该门科学就充满生命力;而问题的缺乏则预示着这门科学发展的终止。
正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新的方法,产生新的观点,达到更为广阔自由的境界。
”
希尔伯特的精辟论述说明:
数学问题既是数学发现的起点,又是数学发展的路标;对数学发展既有探索和导向作用,又可以为数学理论的形成积累必要的资料;既能导致数学的发现和理论的创新,又可以激发人们的创造性和进取精神。
因此,数学问题被人们形象地称为数学的“心脏”。
⒉数学知识
一切数学的概念、原理、法则以及数学语言、数学符号,统称为数学理论知识,简称数学知识。
数学知识是人们在研究数学理论问题与实践问题的过程中,逐渐形成的关于客观事物的数量关系与空间形式的基本认识,是客观事物的内部规律在人们头脑中的反映。
在数学科学中,每个数学分支都把该研究领域中有关的数学知识用逻辑方法(主要是公理化方法)组织起来,构成相应的理论体系。
通常人们看到的,正是这种数学理论知识的体系。
因此,各个数学分支都是由不同的数学知识构建起来的。
形象地说,数学知识是数学的“躯体”。
3.数学方法
数学方法是人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的具体步骤、程序和格式,是达到数学研究和问题解决目的的途径和手段的总和。
从本质上说,数学方法是人们对客观事物的内在联系的能动的反映。
在西方语言中,“方法”一词源于希腊文,意指沿着某条道路行进,因而在“方法”的本意上,数学方法是解决数学问题的手段和操作的总和,具有“行为规则”的意义。
⒋ 数学思想
修改版的《数学课程标准》指出:
“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。
从认识论来看,数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识,是数学知识与数学方法经过高度抽象、概括、提炼上升而形成的数学观点,属于对数学规律的理性认识的范畴。
从科学方法论的角度看,数学本身就是认识世界和改造世界的一种方法,数学思想具有方法和工具的作用。
从哲学的高度看,数学思想本质上是辩证法的基本观点在数学科学中的体现,是思维方法与实践方法的概括,属于哲学思维方法的范畴。
例如,数学中的转化思想(即化归思想),是辩证法关于事物“互相联系”与“运动发展”的基本观点的反映,是“世界上一切事物都是互相联系、互相作用”与“事物不断发展变化”的基本观点在数学中的具体运用,是“在普遍联系和发展变化中把握事物”的哲学思维方法的具体化。
又如,数形结合思想实质上是辩证法中的矛盾分析法,反映了“数”与“形”这一对矛盾的对立统一,以及在一定条件下的互相转化。
⒌数学问题、数学知识、数学方法、数学思想的关系
数学问题、数学知识、数学方法、数学思想是相互影响、互相联系、协同发展的辩证统一体,它们的相互作用和相互结合不仅使数学成为一个有机的整体,而且推动着数学的不断发展。
纵观数学的发展历史可以看到,人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中,总结和创造了不同的数学方法。
在这些数学方法发生的同时,相应的数学知识也相伴形成。
在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上,数学思想便产生了。
例如,寻求“高次代数方程求根公式”的问题源于16世纪,在其后的300年中曾有不少著名数学家为之不懈地奋斗,但直到19世纪法国数学家伽罗华创立了“群论”的思想方法以后才使这一“向人类智慧挑战”的问题得到了彻底的解决。
其间,为了解决代数方程根的数目问题,他引入了复数法,不仅由此创立了代数基本定理,而且建立了“群论”的理论。
又如,著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中,不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的数学研究领域,而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型方法的光辉范例。
综上所述,数学问题是数学生命之源泉,数学思想与方法分别是问题解决的宏观策略与微观的技术手段,数学知识则是认识的结果。
就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言,一方面数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中,数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新;另一方面,数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系,是数学方法的进一步概括和升华。
因此,如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”,那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。
二、重要的数学思想
在即将颁布的修改版的《数学课程标准》中,涉及的数学思想有“归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等”。
对此学术界颇有争议,因为其中的归纳、演绎、抽象都是典型的逻辑方法,模型方法则属于数学研究方法。
当然,对于数学思想的内涵,需要进行更为深入的研究,老师们都可以参与探讨。
从数学方法论的角度考察,初中数学中的数学思想主要是符号思想(字母代数思想)、转化思想(化归思想)、特殊化与一般化思想、数形结合思想、分类思想、方程与函数思想等。
(一)符号思想(用字母代替数字的思想)
引入符号表示数字,也就是用字母代替数字,是代数学的基本思想。
从数学史进行考察,算术与代数本来是数学中最基础、最古老的两个分支学科。
就他们的关系来说,算术是代数的基础,代数则是由算术演进而来的,是算术的必然发展。
在数学发展的过程中,正是用字母代替数字这种符号思想的产生,促进了算术向代数的演进。
1.算术解题法的局限性
我们知道,算术的主要内容是自然数、分数、小数的性质与运算,但算术解题法有很大的局限性。
这种局限性主要表现在算术只限于对具体的、已知的数进行运算,不允许抽象的和未知的数参与运算。
许多古老的数学应用问题,如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等,都是借助于这种方法求解的。
算术解题法的关键是正确列出算式,即通过加、减、乘、除等运算符号把有关的已知数据连接成一个算式,建立起能够反映实际问题本质特征的数学模型。
应当说,对于那些只具有简单数量关系的实际问题,运用算术方法列出相应的算式并不难。
但是,对于大量的具有复杂数量关系的实际问题,要列出相应的算式就不容易了,因为往往需要很高的技巧。
对于那些含有几个或多个未知数的实际问题,要建立起只包含已知数的算式来求解,则常常是不可能的。
算术解题法的这种局限性,大大限制了数学的应用,也影响了数学自身的发展。
在这种情况下,一种新的数学思想——以字母代替数字的思想(即符号思想)诞生了,由此不仅把算术推进到了代数,促进了数学的发展,而且大大拓宽了数学应用的范围。
2.符号思想的优越性
传统初中代数的内容,是初等代数。
初等代数的基本方法,是用抽象的字母a,b,c…和x,y,z…分别表示抽象的数和未知的数,再依据问题的条件组成包含已知数(具体数字或字母)和未知数(字母)的代数式,并按题中的等量关系列出方程,然后通过解方程求出未知数的值。
因此,初等代数的中心内容是解方程。
由此可以看出,符号思想是初等代数的基本思想,是从算术过渡到代数的桥梁。
初等代数与算术的根本区别,在于代数允许未知数参与运算,算术则把未知数排斥在运算之外。
如果说在算术中有时也出现未知数的话,那么只能把这个未知数单独地放在等号的左边,所有的已知数则在右边进行运算,未知数并没有参加运算的权力。
而在代数中,方程作为由已知数和未知数构成的条件等式,本身就意味着未知数与已知数具有同等的地位,未知数不仅可以成为运算的对象,而且能够依照法则从等式的一边移到另一边。
解方程的过程,实质上是通过对已知数和未知数的重新组合,把未知数转化为已知数的过程,即把未知数置于等式的一边,把已知数置于另一边。
从这种意义上看,算术运算是代数运算的特殊情况,代数运算则是算术运算的发展与推广。
由于引入了符号思想,即用字母代替数字的思想,代数运算较之算术运算有了更大的普遍性和灵活性,极大地扩展了数学的应用范围。
许多用算术方法无法解决的问题,在代数中都能轻而易举地得到解决。
不仅如此,符号思想的出现对整个数学的发展也产生了巨大而深刻的影响,数学中许多的重大发现都与符号思想有关。
例如,利用数学符号解决一元二次方程的求根问题导致了虚数的发现,利用数学符号对五次以上方程求解的研究导致了群论的诞生等。
正因为如此,人们把符号思想的诞生看作是数学思想发生第一次重大转折的标志。
符号思想(用字母代替数字的思想)到底有哪些优越性呢?
最突出的是以下两点:
第一,用字母表示数字能够简明地反映事物的本质特征和规律。
例如:
长6米、宽3米的长方形地面的面积为6×3=18(平方米);长24厘米、宽17.5厘米的铁片的面积为24×17.5=420(平方厘米)。
上述两个问题的一般规律是:
“长方形的面积等于长与宽的积”。
利用符号思想,这个规律可以简明地表示为S=ab.
又如,由3+5=5+3,1.8+2.6=2.6+8等算式,可以概括出加法的交换律:
“两个数相加,交换加数的位置,其和不变”。
用a,b分别表示两个加数,则加法交换律可以简明地表示为a+b=b+a.
第二,用字母表示数具有辩证性。
这里有两层含义:
首先,用字母表示的数具有任意性,可以是任意的数;其次,用字母表示的数具有确定性,可以表示任意一个确定的、具体的数。
例如,在S=ab中,a与b可以是任意正数,S也表示任意正数;但对于一个具体的长方形来说,a与b的值又是确定的、具体的数,将a与b的值带入后就能计算出S的具体的值。
又如,代数式x+3表示比任意数x大3的数,而当x=5时,x+3仅仅表示8这一个数。
由于符号思想的这种优越性,使得许多复杂的算术问题有了简单的代数解法。
例1 计算:
(1)(+)·;
(2).
解
(1)设A=,B=, C=,
原式=(A+)·=·=1;
(2)设m=2009,则
原式===
==.
例2 比较下面两个数的大小:
A=, B=.
解 设, 则
A=, B=,
∵ A-B=-==>0,
∴ A>B.
由例1与例2可以看出,深刻领会符号思想,灵活运用以字母代替数字的方法,对于数学研究与数学学习都是十分重要的。
(二)转化思想(化归思想)
转化是初等数学中最基本的思想方法,在数学学习中有着广泛的应用,对此先从一个具体例子谈起。
例3 解方程:
-=1.
解 设 =u, ①
=v, ②
则有
解得 u=2,v=1.
代入①或②得 ,
∴ =0,=,检验可知,与都是原方程的解。
在例3中,运用换元法把较为复杂的无理方程转化为较简单的一元二次方程求解,运用了转化的思想。
运用一定的方法,把一个生疏的、复杂的、难以解决的数学问题化为熟悉的、简单的、能够解决的数学问题,这种解决问题的策略就是转化思想。
很明显,化生为熟、化繁为简、化未知为已知是转化的基本方向。
转化是众多数学家典型的思维方式。
匈牙利数学家罗莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中论及数学家研究问题的策略时,指出:
“他们往往不是对问题实行正面的攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化成能够得到解决的问题。
”另一位匈牙利著名数学家G·波利亚在谈到面临的问题时指出:
“这是什么类型的问题?
它与某个已知问题有关吗?
它像某个已知问题吗?
有一个同样类型的未知量的问题(特别是过去解过的问题)吗?
你知道一个相关的问题吗?
你能知道或设想出一个同一类型的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一个更特殊的问题吗?
”由上面的介绍可以看出,对于数学研究、数学学习和数学问题解决来说,转化不仅是一种重要的思想和意识,而且是一种重要的思维方法和策略。
唯物辩证法指出,客观事物是发展变化的,不同事物间存在着种种联系,各种矛盾无不在一定的条件下互相转化。
转化思想正是人们对这种联系和转化的一种能动的反映。
从哲学的高度看,转化思想着眼于揭示矛盾实现转化,它的“运动—转化—解决矛盾”的基本思想具有深刻的辩证性质。
例4 已知a,b,c均为实数,若a+b+c≠0,且
=-3,
求 的值。
分析 把已知等式直接进行化简,显然很难求出 的值,因而必须寻求其他方法。
注意到已知等式的左边的三个括号均与所求的代数式 有关系,为了化未知为已知,必须先建立起未知与已知的联系,故设 x= ,这样已知等式就化为
,
展开,即有 , ①
从而把求代数式 的值的问题转化为解一元一次方程①的问题,由于,显然有,即=0.
例5 解方程组
分析 由于已知方程组含有三个未知数,却只有两个方程,因而用常规方法难以求解。
为减少未知数的个数,先把看作常量,即作变量的常量化处理,原方程组就转化为
由韦达定理可知,x,y是一元二次方程 的二根。
至此,求解原方程组的问题已经转化为研究一元二次方程的根的问题了。
由于x,y都是实数,故有
Δ 即
但显然又有,于是得到 =0,从而Δ=0,由此推出t=1,
x=y=1.
∴ 原方程的解是x=1,y=1,z=0.
例6 如图1,在圆锥中,底面直径AB=20cm,PA=30cm.一只蚂蚁从点A出发,在侧面上绕行一周又回到点A,求蚂蚁所走的最短路程。
_
P
_
O
_
B
'
_
A
图1
图2
分析 因为蚂蚁是在圆锥的侧面上爬行,画出圆锥的侧面展开图,如图2所示,就可以把这个空间图形问题转化为平面图形问题进行研究。
解 沿PA把圆锥的侧面展开、铺平,得到圆锥的侧面展开图,如图2所示。
在圆锥中,与是重合的。
显然,蚂蚁从点P出发绕圆锥的侧面爬行一周又回到点A,其最短线路为图2中的线段.
由AB=20cm可知,圆锥的底面半径OA=10(cm);
由扇形的弧长公式,得
===120°,
∴ ===.
作,垂足为点C,在Rt△PAC中,PC=PA=15,
AC===15,
∴ =2AC=30≈51.9(㎝)。
所以,蚂蚁所走的最短路程为51.9㎝。
转化思想在初中数学中应用非常广泛。
例如,把二元一次方程组转化为一元一次方程求解,把方式方程转化为整式方程求解,把一元二次方程转化为一元一次方程求解,通过添加辅助线把空间图形问题转化为平面图形进行研究,把复杂的几何图形转化为三角形或四边形进行研究等等,都运用了转化思想。
建议大家研究下面的问题,并分析在解决问题的过程中转化思想所起的作用:
(1)解方程:
;
(2)方程 的一个解是,,求实数x,y
的值。
(3)设x是实数,若,求代数式的值。
(4)在梯形ABCD中,AD与BC分别是上底和下底,两条对角线
互相垂直。
已知AC=12,BD=9,求该梯形的中位线的长。
(三)特殊化思想与一般化思想
从特殊到一般和从一般到特殊,是人们正确认识客观事物的认识规律,也是处理数学问题重要的思想方法。
一方面,事物的特殊性包含着普遍性,即共性寓于个性之中,相对于“一般”而言,“特殊”的事物往往更简单、更直观、更具体,因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,“一般”概括了特殊,“一般”比“特殊”更为深刻地反映着事物的本质,因而人们常常以对事物的共同本质的认识(即一般认识)为指导,去研究个别的和特殊的事物。
所以,在数学研究和数学学习中,有时抽取待解问题的某个特殊情形,由此得出一般性结论,这是特殊化思想;有时把待解问题作为特殊情况,研究更为广泛的一般性问题,从而得出待解问题的结论,这是一般化思想。
⒈特殊化思想
把原问题转化为其特殊形式,通过对特殊形式的研究寻求原问题的答案或解决办法,就是特殊化思想。
具体来说,在研究一个较大范畴的问题遇到困难时,可以把这个范畴缩小到比较特殊的情况,通过对这个特殊情况的研究,发现原问题的答案或解决问题的思路,这就是特殊化思想。
作为一种重要的数学思想,特殊化是解决复杂问题的有力手段。
这是因为:
从逻辑学的角度看,概念或命题的特殊化导致其外延的缩小,这时内涵增大,可供使用的条件增加,研究就比较容易;从认识论的角度看,复杂问题特殊化以后,认识起点降低,便于人们由浅入深地认识和分析问题;从方法论的角度看,特殊化使问题由抽象变具体、由复杂变简单,从而有利于问题的解决。
在数学问题解决中,特殊化的具体途径主要有四种:
第一,由条件画出图形,便于从几何直观中受到启迪;第二,用具体数字代替抽象字母、用具体函数代替抽象函数、用有限代替无限,使抽象问题具体化;第三,暂时固定或舍弃某些限制条件,便于在较为理想的状态下研究问题;第四,一般状态取特殊位置、运动问题取静止状态,以便化繁为简,发现规律。
例7 若a<b<c,x<y<z,则下列代数式的值中最大的是:
(A); (B);
(C); (D).
分析 用常规方法作差可以比较各个代数式的大小,但这种方法显然很繁琐。
运用特殊化思想,取满足已知关系的一组特殊值进行探索,例如取,,,这时(A)(B)(C)(D)的值分别为14,13,13,11,故应选(A)。
例8 若m,n为不相等的正数,则下列代数式
甲=; 乙=; 丙=
中,其值最大的是
(A)甲; (B)乙; (C)丙; (D)不确定。
分析 直接比较甲、乙、丙的大小并不容易,可以运用特殊化的思想。
注意到选择支中有一项为“不确定”,因而必须选择m,n的几组特殊值进行探索。
取,,这时甲、乙、丙的值分别是5,,,此时甲最大;再取,,这时甲、乙、丙的值分别是,,,此时丙最大。
至此可以断定,本题应选(D)。
例9 能否将n(n≥2)个正方形拼接成一个大正方形?
分析 解决这个问题显然有较大的难度。
(1)运用特殊化思想,先考虑n=2的情况,即有两个正方形,这时又有两个正方形边长相等与不相等两种情况。
如图3,设两个正方形的边长相等,这时以他们的对角线为边长的正方形PQRS就是由这两个正方形拼接而成的大正方形。
图4
图3
如图4,设两个正方形的边长不相等,即,,其中,这时两个正方形的面积分别是和,而以为边的正方形的面积是,因而正方形就是由这两个小正方形拼接而成的大正方形。
(2)再考虑n>2的情况,这时给定的正方形S1,S2,S3,……SN的个数超过2,可以运用
(1)的方法,先把S1,S2拼接成一个正方形S12,再把正方形S12与S3拼接成正方形S123,依此类推。
由
(1)
(2)可知,n(n≥2)个正方形能拼接成一个大正方形。
2.一般化
所谓一般化,就是把所给的问题作为特殊形式,将其转化为一般形式去考察,通过对一般形式的研究寻求解决原问题的方法,这就是一般化思想。
具体来说,当研究一个较小范畴的问题遇到困难时,可以把这个范畴扩大到包括这个小范畴的更大的范畴,从而得到一个新的带有一般性的问题,原问题只是它的一种特殊情况。
如果新问题得到解决,原问题自然就迎刃而解了,这就是一般化。
一般化也是一种重要的数学思想,在数学发展史上许多数学理论都经历了从特殊到一般的发展过程,在数学学习及问题解决中一般化也有着独特的作用。
实际上,许多问题从一般化入手更容易解决。
这是因为,数学中不少问题已经有了固定的解决方法和既定的程序,当待解问题能够用一般化方法归结为这种问题时,这个问题就得到了解决;另外,孤立地考察原问题,往往由于局部的限制难以发现解决的途径,而把问题做一般化处理后,就便于从普遍的联系中发现规律和解题思路,从而使原问题得到解决。
例10 计算:
….
分析 这是复杂的计算题,为了化简其通项,先作一般化处理。
由 ,
得到 ,
于是 …
=
=.
例11 不进行开方运算,比较与的大小。
分析 题目要求不进行开方运算,比较这两个数大小的关键是找到有效的解题思路。
运用一般化思想,对题目中的两个具体数作一般化处理。
注意到
, ,
因而只需比
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 思想