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完整word高等代数北大版第7章习题参考答案
第七章线性变换
1)
在线性空间
V中,A
其中V是一固疋的向量
2)
在线性空间
V中,A
其中
V是一固疋的向量;
3)
在P3中,•
A(X1X,X3)
(xix
X3,xf)•
4)
在P3中,
A(X1,X2,X3)
(2X1
X2,X2X3,X1);
5)
在P[x]中,
Af(x)
f(x
1);
6)
在P[X]中,
Af(x)
f(x
0),其中
X。
P是一固定的数;
1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
A
n是两个固定的矩阵.
7)
8)
解
2)当
把复数域上看作复数域上的线性空间,
nn「_…「—n
在P中,AX=BXC其中B,CP
1)当0时,是;当0时,不是。
0时,是;当0时,不是。
(1,0,0),k2时,kA()(2,0,0),A(k)(4,0,0),
3)不是•例如当
A(k)kA()。
4)是•因取(X1,X2,X3),
A()=A(X1y1,X2
=(2x12y1X2
=(2x1X2,X2
=A+A,
A(k)A(kx1,kx2,kx3)
kx2,kx2
kx2,kx2
),
(2kx1
(2kx1
=kA(
(y1,y2,y3),有
y2X『3)
y2,X2yX3y3,X1yj
X3,xJ(2y1y2,y2y3,yj
kx3,kxj
kx3,kxj
故A是P3上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)
u(x)f(x)g(x)则
A(f(x)g(x))=Au(x)=u(x
再令v(x)kf(x)则A(kf(x))
故A为P[X]上的线性变换。
6)是•因任取f(x)P[x],g(x)
P[X],并令
1)=f(x1)
A(v(x))
P[x]则.
A(f(x)
g(x))=f(x。
)g(xo)A(f(x))
g(x1)=Af(x)+A(g(x)),v(x1)kf(x1)kA(f(x)),
A(g(x)),
A(kf(x))kf(x0)kA(f(x))。
7)不是,例如取a=1,k=I,贝UA(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。
8)是,因任取二矩阵X,YPnn,则A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY,
A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX,故A是Pnn上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
变换,证明:
A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2,并检验(AB)2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z),则有
1)因为
234
Aa=(x,-z,y),Aa=(x,-y,-z),Aa=(x,z,-y),Aa=(x,y,z),
234
Ba=(z,y,-x),Ba=(-x,y,-z),Ba=(-z,y,x),Ba=(x,y,z),
234
Ca=(-y,x,z),Ca=(-x,-y,z),Ca=(y,-x,z),Ca=(x,y,z),
所以A4=B4=C4=E。
2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y),BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),
所以ABBA。
222222
3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z),B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z),
所以A2B2=B2A2。
222
3)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x),AB(a)=(-x,-y,z),
所以(AB)AB。
I
3.在P[x]中,Af(x)f(X),Bf(X)xf(x),证明:
AB-BA=E。
证任取f(x)P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)
所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
AkB-BAk=kAk1(k>1)。
证采用数学归纳法。
当k=2时
2222
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。
归纳假设km时结论成立,即AmB-BAm=mAm1。
则当km1时,有
Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mA
m1A=(m1)Am。
即km1时结论成立•故对一切k1结论成立。
5•证明:
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换,它的逆变换为A1。
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾。
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A1b=a即可。
因此,A是一个双射。
6•设1,2,,n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当且
仅当A1,A2,,An线性无关。
证因A(1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A,
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无
关,故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关・。
7•求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1)第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
2)[0;1,2】是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影,求A,B,AB在基1,2下的矩阵;
3)在空间P[x]n中,设变换A为f(x)f(x1)f(x),
1
试求A在基i=x(x1)(xi1)(I=1,2,,n-1)下的矩阵A;
i!
4)六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsinbx,3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx,
1=1x2eaxcosbx,1=^eaxx2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
22
间,求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵;
101
5)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是110,
121
求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
6)在P3中,A定义如下:
Ai(5,0,3)
A2(0,1,6),
A3(5,1,9)
其中
i(1,0,2)
2(0,1,1),
3(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1,2,3下的矩阵。
解1)
A1=(2,0,1)=21+3,A2=(-1,1,0)=-
1+2,A3=(0,1,0)=
210
故在基1,2,3下的矩阵为011
100
又因为B1=0,B2=2,所以B在基1
2下的矩阵为B=00,另外,(AB)
01
2=A
(B2)=A2=丄
2
1+2
所以AB在基1,
0
2下的矩阵为AB=
0
1
2
1
2
3)因为
01,1X,2
x(x1)
2!
x(x1)[x(n2)]
(n1)!
1
11
1
2)取1=
(1,0),2=(0,1),则
A1=-
1+—2,A2=
1+2,
2
22
2
1
1
故A在基
1,2下的矩阵为A=2
2
1。
2
2
所以A0110,
A1(X1)X0,
LLLL
(x1)x[x(n3)]
x(x1)[x(n2)]
(n1)!
(n1)!
X^VW^{(x1)[x(n2)]}
所以A在基
n1下的矩阵为
4)因为D1=a1-b2
D2=b1-a2,6,
D3=1+a3-b4,
D4=2+b3+a4,
D5=3+a5-b6,
D6=4+b5+a6,
所以D在给定基下的矩阵为
0
D=
0
1
0
0。
0
1
1
5)因为(1,2,3)=(1,2,3)1
1
10
01,所以
11
(1,2,3)=(1,2,3)0
1=(1,2,3)X,
故A在基1,2,3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
1
B=XAX=1
0
1
1
1
0
0
1
1=
:
2
2
0
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6)因为(i,
2,3)=(1,2,
3)0
1
1,
2
1
0
1
0
3
所以A(1,
2,3)=A(1,2,
3)0
1
1,
2
1
0
5
0
5
但已知A(1
,2,3)=(1,2,
3)0
1
1
3
6
9
5
0
5
1
0
3
故A(1,2,
3)=(1,2,3)
0
1
1
0
1
11
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
2
1
=(1,2,3)0
1
1
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
4
5
2
=(
1,2,3)-
°
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7)因为(i,
2,3)=(1,2,
3)0
1
11
2
1
0
10
3
5
0
5
所以A(i,
2,3)=(1,2,3)
01
1
1
0
1
1
21
0
3
6
9
23
5
=(1,2,3)
10
1°
11
0
2
°・
a
b
a
b
8.在P
中定义线性变换A1
(X)=
X,A2(X)=X
A2(X)=
c
d
c
d
求Ai,A2,A3在基Eh,E12,E21,E22下的矩阵。
解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
a0
0d
a0b0
故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1=
0c0d
又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=
aE21
+bE22,A2
E22=
cE21+dE22,
故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A2=
00
ac
2
又因A3E11=aE11+abE12+acE21+bcE22,
2
A3E12=acE11+adE12+cE21+cdE22,
A3E21=
2
abE11+bE12+adE21+bdE22,
A3E22
=bcE11+bdE12+cdE21+d2E22,
故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A3
a2
ac
ab
bc
ab
ad
b2
bd
ac
2
c
ad
cd
bc
cd
bd
d2
1,2,3下的矩阵为
9.设三维线性空间
a11
a12
a13
A=
a21
a22
a23,
a31
a32
a33
1)
求A
在基
3,2,1下的矩阵;
V上的线性变换A在基
2)求A在基1,k2,3下的矩阵,其中且;
3)求A在基1
2,2,3下的矩阵。
解1)因A
3=玄33
3+a232
a131,
2=a32
3a222
ai2
1=a31
3a212
a11
故A在基
3,2,
1下的矩阵为
B3
a33
a32
a31
a23
a22
a21
a13
a12
a11
o
a3i3
a?
1
2)因A1=an1+(k2)
k
2)+ka323
A(k2)=ka121+a?
2(k
3=a13严竽你2)+a33
k
1,k
3下的矩阵为B2
a11
a21
k
a31
ka^
a22
ka32
a13
a23
k
a33
10.设A是线性空间V上的线性变换,
如果
Ak
0,但Ak=0,求证:
3)因
A(
1
2)=(a11a12)(
1
3)+(a21
a22a11
a12)2+(a31
a32)3,
A
2=
a12(
12)+(a22
a12)
2+a323,
A
3=
a13(
12)+(a23
a13)
2+a333,
a11
a12
a12
a13
故A基1
2,2
3下的矩阵为
B3
a21a22
a11a12
a22a12
a23a13。
a31
a32
a32
a33
A,,Ak1(k>0)线性无关。
证设有线性关系l1l2A
lkAk1
用Ak1作用于上式,得
k1..
l1A=0(因A0对一切nk均成立),
又因为Ak10,所以l10,于是有
l2Al3A2lkAk10,
再用Ak2作用之,得12Ak1=0.再由,可得12=0.同理,继续作用下去,便可得
l1l2lk0,
即证,A,,Ak1(k>0)线性无关。
11.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量使得An10,求证A在某组下的矩阵
0
10是1。
0
10
证由上题知,
,A
,A2
,,An1
线性无关,故
2
,A,A2,
,An1为线性空间
V的一组基。
又因为
A
0
1A
0A2+
n1
0An1,
A(A)=0+
0A
+1
A2+
0An1,
A(An1)=0+0A
+0
A2
n1
+0An1,
故A在这组基下的矩阵为
0
10
1
。
0
1
0
12.设V是数域P上的维线性空间,
证明:
与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数
乘变换。
证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。
13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
如果A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。
证设A在基1,2,,n下的矩阵为A=(aj),只要证明A为数量矩阵即可。
设X为任一
非退化方阵,且
(1,2,n)=(1,2,
n)X,
则1,2,L,n也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是X1AX,从而有AX=XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
1
2
X1,
n
则由AX1=X1A知aj=0(ij),即得
a11
a22
A=
ann
再取
0
1
0
0
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
1
0
0
0
由ax2=x2a,可得
a11a22ann。
A在这组基下的矩阵为
故A为数量矩阵,从而A为数乘变换。
14.设1,2,3,4是四维线性空间V的一组基,已知线性变换
10
2
1
12
1
3
12
5
5
22
1
2
1)
求A在基1
1
22
4,2
3
2)
求A的核与值域;
3)
在A的核中选一组基
把它扩充为
V
4)
在A的值域中选一
组基,
把它扩充为
解
1)由题设,知
234,334,424下的矩阵;
的一组基,并求A在这组基下的矩阵;
V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。
1
0
0
0
2
3
0
0
(1,2,3,4)=(1,2,3,4)-
0
1
1
0
1
1
1
2
(0,0,0,0,),贝y
因rank(A)=2,
故由
2X3x12x2
X1
可求得基础解系为
右令1=(1,2,
X2
X3
X4
X4
X3
X1=
3x4
(2,
0
。
0
0
I1,0)
人=(1,2,0,1)
2=(1,
2,3,4)X2,
故A在基1,2,3,4下的矩阵为
1
0
0
0
1
1
0
2
1
1
0
0
0
4
2
3
0
0
1
2
1
3
2
3
0
0
B=X
1AX:
=
0
1
1
0
1
2
5
5
0
1
1
0
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
3
3
2
2
4
10
10
3
3
3
=8
16
40
40
3
3
3
1
7
8
1
2)先求A
(0).设
A
1
(0),
它在1,
2,
3,
4下的坐标为(
1,
2,
3,4),且A
在
3,
1,2,
4下的坐标为
则1,2即为A(0)的一组基,所以
1
A(0)=L(1,2)。
再求A的值域AV。
因为
A1=12324,
A3=21
A43=1325324,
rank(A)=2,故A
1,A2,A
4的秩也为2,且A
A2线性无关,故A
A2
可组成AV的基,从而
AV=L(A1
A
1
4)由2)知1,2是A(0)的一组基,且知1,2
1,2是V的一组基,又
10
_01
(1,2,a1,a2)=(1,2,3,4)
00
2
3
2
1
故A在基1,2,1,2下的矩阵为
5
2
0
9
1
0
2
1
2
0
2
2
0
2
1
1
0
3
2
1
2
2
1
0
1
2
0
1
2
2
0
0
0
0
0
3
24,
A2=
22
10
01
B=
00
00
4)由2)知A1=12
2110
1301
55001
1
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