第3讲平行线与相交线.docx
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第3讲平行线与相交线
明士教育集团个性化教学辅导导学案
教学课题
平行线与相交线
课时计划
第(3)次课
授课教师
学科
数学
授课日期和时段
上课学生
年级
准初二
上课形式
阶段
基础()提高(√)强化()
教学目标
1.互余和互补
2对顶角
3.同位角、内错角、同旁内角(三线八角)
重点、难点
重点:
两直线平行的条件:
1.同位角相等;2.内错角相等;3.同旁内角互补。
难点:
用尺规作一个角等于已知角。
一、学习与应用
知识点一:
互余和互补
1.如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角;
2.如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角;
3.余角、补角的性质:
同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等。
注意:
(1)互余、互补都是指两个角之间的关系。
当∠1+∠2+∠3=90°时,不能说∠1、
∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、∠3互补。
(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个钝角或都是直角。
(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是位置关系。
(4)同角或等角的余角相等,即若∠1与∠2互余,∠1与∠3互余,则∠2=∠3;若∠1与
∠2互余,∠3与∠4互余,∠1=∠3,则∠2=∠4。
(5)同角或等角的补角相等。
即若∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,则∠2=∠3;若∠1与
(6)∠2互补,∠3与∠4=补,∠1=∠3,则∠2=∠4。
知识点二:
对顶角
如果两个角有公共顶点,且它们的两边互为反向延长线,那么这样的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质:
对顶角相等。
注意:
(1)对顶角总是成对出现的,它们是具有特殊位置关系的两个角,在相交的两条直线所成的角中,有两对对顶角。
(2)要判断两个角是不是对顶角,首先要看这两个角是不是两条直线相交得到的,再
(3)看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边,符合这两个条件时,才能确定这两
个角是对顶角。
知识点三:
同位角、内错角、同旁内角(三线八角)
基本图形
角的名称
位置特征
图形结构特征
同位角
在两条被截直线的同旁,在截线的同侧
“F型”
内错角
在两条被截直线之间,
在截线的两侧
“Z型”
同旁内角
在两条被截直线之间,
在截线的同侧
“U型”
注意:
辨认各种类型的角,关键是找准截线(要判断的两角的公共边所在的直线)和被截线
(要判断的两角的另两边),再由它们的位置来确定。
知识点四:
如右图,用规范的几何语言是:
∵∠1=∠2,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行);
∵∠3=∠6,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行);
∵∠2+∠3=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
注意:
同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两个角之间的位置关系,
它们没有确定的数量关系,如右图所示,∠1与∠2是同位角,但它们不相等
只有在“两条平行直线被第三条直线所截”的前提下,同位角才相等。
同样也只有在这个前提下,内错角才相等,同旁内角才互补。
知识点五:
平行线的性质
平行线的性质是指在两直线平行的条件下,同位角、内错角、同旁内角的关系,共有三个
方面的内容:
(1)两直线平行,同位角相等。
用几何语言表述如下(如右图所示):
因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。
(2)两直线平行,内错角相等。
用几何语言表述如下(如右图所示):
因为a∥b,所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
用几何语言表述如下(如右图所示):
因为a∥b,所以∠2+∠4=18O°(两直线平行,同旁内角互补)。
注意:
(1)由平行线的性质,我们可以体会到,只有在两直线平行的条件下,才会有同位角
相等、内错角相等、同旁内角互补,要注意不要将条件和结论割裂开来,并不是所有的同
位角都相等、内错角都相等,也不是所有的同旁内角都互补。
如右图,∵∠1与∠2是同位角,∴∠1=∠2。
这是错误的结论,也是常犯的错误。
平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反,在“两条直线被第三条直线所
截”的前提下,从同位角相等,内错角相等或是同旁内角互补,推出两条直线平行,
这是平行线的判定;而从两直线平行推出同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,
这是平行线的性质。
由此可知平行线判定的三个条件与平行线的三条性质是互逆的。
知识点六:
用尺规作一个角等于已知角
尺规作图一般有以下三步:
(1)已知:
当作图是用文字语言叙述时,要根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;
(2)求作:
根据题目写出要求作的图形及此图形应满足的条件;
(3)作法:
根据作图的过程写出每一步的操作过程,当不要求写作法时,要保留作图痕迹。
已知:
如下图,∠AOB,求作:
∠A′O′B′,使∠A′0′B′=∠AOB。
作法:
①作射线O′A′;
②以点0为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
③以点O′为圆心,以0C长为半径画弧,交O′A′于点C′;
④以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′;
⑤过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角。
注意:
我们一般作图要求不写作法,但一定要保留作图痕迹。
类型一:
互余和互补
【典型例题】
(1)一个锐角的补角正好是它的余角的4倍,请求出这个锐角的度数?
(2)填空:
∵∠A+∠B=90º,∠B+∠C=90º
∴∠A∠C()
∵∠1+∠3=90º,∠2+∠4=90º且∠1=∠2
∴∠3∠4()
【对应练习】
1、若互为余角的两个角之差为40°,则较大的角为()
A.40°B.50°C.65°D.75°
2、如果两个角互补,那么这两个角可能是()
①均为钝角;②一个为锐角,一个为钝角;③均为直角;④以上三者都有可能。
A.①②③④B.①②C.②③D.④
3、如右图,是由两块直角三角板拼成的图形,
在直角顶点处构成了三个锐角,其中互余的
角是,相等的是,
相等的理由是。
★类型二:
对顶角
【典型例题】
下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是()
【对应练习】
1、下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是()
2、如右图所示,AB与CD相交于点O,∠AOD+∠BOC=280°,则∠AOC为。
类型三:
同位角、内错角、同旁内角(三线八角)
【典型例题】
(1)如右图,①
是角;
它们是由直线和直线,被直线所截得的;
②
是角;它们是由直线和直线,被直线所截得的;
③∠3与∠5是角;它们是由直线和直线,被直线所截得的。
【对应练习】
1、如右图,其中是同位角关系的是()
A.∠2与∠4B.∠1与∠4C.∠3与∠4D.不存在
2、如右图,∠1、∠2、∠3、∠4这4个角中,
同位角有,内错角有,
同旁内角有。
类型四:
两直平行的条件
【典型例题】下列说法正确的是()
A.内错角相等B.两直线被第三条直线所截,同旁内角互补
C.两直线平行,同旁内角相等D.“两直线平行,同旁内角互补”是平行线的特征
【对应练习】
1、如右图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是()
A.∠3=∠4B.∠1=∠2C.∠D=∠DCED.∠D+∠ACD=180°
2、已知同一平面内的直线l1、l2、l3,如果l1⊥l2,l2⊥l3,那么l1与l3的位置关系是()
A.平行B.相交C.垂直D.以上都不对
3、两条平行直线被第三条直线所截,下列命题正确的是()
A.同位角相等,但内错角不相等B.同位角不相等,但同旁内角互补
C.内错角相等,但同旁内角不互补D.同位角相等,且同旁内角互补
4、在同一平面内有三条直线,如果其中有且只有两条直线平行,那么它们有且只有个交点。
(第5题图)(第6题图)
5、如右图所示,填空:
(1)由∠1=∠2可知∥;理由()
(2)由∠1=∠3可知∥;理由()
6、如右图,点D、E、F分别在AB、BC、AC上,
(1)若∠2=,则DE∥AC;理由。
(2)若∠2=,则DF∥BC;理由。
7、阅读下列推理过程,在括号内填上推理的依据。
如右图,∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),
所以∠1=∠4()
所以a∥c()
又因为∠2+∠3=180°(已知),
∠3=∠6()
所以∠2+∠6=18O°(等量代换)
所以a∥b()
从而b∥c()
类型五:
平行线的性质
(第1题图)(第2题图)(第3题图)
1、如右图,已知AB∥CD,且被EF所截。
若∠2=70°,则下列结论不正确的是()
A.∠1=70°B.∠3=110°C.∠4=70°D.∠5=70°
2、如右图,若AB∥CD,则图中与∠1互补的角共有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
3、如右图,DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么,图中与∠1相等的角的个数是()
A.2B.4C.5D.6
(第4题图)(第5题图)(第6题图)
4、如右图所示,下列说法中正确的是()
A.因为AD∥BC,所以∠2=∠4B.因为AD∥BC,所以∠BAD+∠D=180°
C.因为AD∥BC,所以∠1=∠3D.因为AB∥CD,所以∠BAD+∠B=180°
5、如右图,D是BC延长线上一点,过C作CE∥AB,若∠A=54°,∠ACD=127°,则∠B=。
6、如右图,AB∥CD,EF⊥AB,∠1=36°,则∠2=。
7、如右图所示,已知DF∥AC,∠C=∠D,你能否推断BD∥CE?
试说明理由。
类型六:
用尺规作一个角等于已知角
【典型例题】如下图,已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α+2∠β。
【对应练习】
1、如右图所示,AD=。
(用a,b,c表示)
2、已知∠AOB=22.5°,分别以射线OA,OB为一边,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,
∠BOD=2∠AOB,则0C与OD的位置关系是。
3、如右图所示,已知∠α,∠β,
(1)求作∠A0B,使∠AOB=∠α+∠β。
(2)求作∠AOB,使∠AOB=2∠α-∠β。
(不写作法,保留作图痕迹)
1、如果∠α=40°,那么∠α的补角是()
A.50°B.60°C.140°D.160°
2、如果∠A与∠B互补,∠B与∠C互余,则∠A与∠C的关系是()
A.∠A+∠C=90°B.∠A+∠C=180°C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°
3、下列说明两角相等,错误的是()
A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等
C.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
4、在同一平面内,如果直线a⊥b,b∥c,则a、c的关系是()
A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定
5、若互余的两个角有一条公共边,则这两个角的平分线所组成的角()
A.等于45°B.大于45°C.小于或等于45°D.大于或等于45°
(第6题图)(第7题图)(第9题图)
6、如右图所示,a∥b,∠2是∠1的3倍,则∠2等于()
A.45°B.90C.135°D.150°
7、将一长方形纸片按右图方式折叠,BC,BD为折痕,折叠后A′B与E′B在同一条直线上,
则∠CBD的度数()
A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定
8、停在湖面上点A处的一只小帆船被东南风吹走了一段距离后到达点B处,则点B在点A的()
A.东南方向B.东北方向C.西南方向D.西北方向
9、如右图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐的角∠B
是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是()
A.120°B.130°C.140°D.150°
10、一个角与它的补角的比是1:
5,则这个角的度数是。
11、如右图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,ED,EC,
BD中,相互平行的线段有()
A.4组B.3组C.2组D.1组
(第10题图)
(第12题图)(第13题图)(第15题图)(第16题图)
12、如右图,要使a∥b,需要添加一个条件,这个条件可以是。
13、如右图,小明为了知道牙刷与杯子底面的夹角∠1的度数,他测得∠2=135°,那么∠1=度。
14、已知两个角互为余角,若其中一个角比另一个角大32°,那么这两个角分别是。
15、如右图,AB∥EF∥CD,∠A=72°,∠D=18°,则AE与DE的位置关系是。
16、如右图,已知∠B+∠C=180°,则∠1与∠2的大小关系为∠1∠2(填<,>,=)。
(第17题图)(第18题图)
17、如右图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E、D、B、F在同一直线上,若∠ADE=125°,
则∠DBC度数为。
18、如右图,一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东62°的方向上,此时一艘客船在B处看见
巡逻艇M在其北偏东13°的方向上,求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数为。
二、总结与测评
总结升华:
……
课后测评
1、如右图,已知∠1=∠2,∠5=∠6,∠3=∠4,试说明AE∥BD,AD∥BC。
请完成下列证明过程。
证明:
∵∠5=∠6,
∴AB∥____()
∴∠3=______()
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠BDC()
∴____∥BD()
∴∠2=,
∵∠1=∠2,
∴∠1=,
∴AD∥BC()
2、如右图,小红走在一条笔直的小路AB上,小明站在
小路外的一点C上,你能帮小明设计一条路线,
使这条路线与小红所走的路线平行吗?
(不保留作图痕迹)
你的反馈是我今后教学的重要参考,提升我的教学质量是你成绩进步的重要保障,感谢你的意见与建议!
对本课次导学案的评价
□好(知识点明朗,规律总结清晰全面,重难点掌握良好)
□中(知识点清晰,总结有但不全面,重难点含糊不清)
□差(知识点混乱,没总结,不知道哪里是重难点)
对本课次课后作业的评价
□好(难度及题量适中,针对性强,能检查本次课的学习情况)
□中(难度及题量适中,针对性一般,基本能检查本次课的学习情况)
□差(难度太大□,或题量过多□,题型混乱,没有针对性)
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- 第3讲 平行线与相交线 平行线 相交