拉格朗日插值法.docx
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拉格朗日插值法.docx
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拉格朗日插值法
拉格朗日(Lagrange)插值
可对插值函数选择多种不一样的函数种类,因为代数多项式拥有简单和一些优秀的
特征,比如,多项式是无量圆滑的,简单计算它的导数和积分,故常采纳代数多项式作为插值函数。
线性插值
问题给定两个插值点此中,如何做经过这两点的一次插值函数
过两点作一条直线,这条直线就是经过这两点的一次多项式插值函数,简称线性插值。
如下图。
图线性插值函数
在初等数学中,可用两点式、点斜式或截距式结构经过两点的一条直线。
下边先用待定系数法结构插值直线。
设直线方程为,将分别代入直线方程
得:
当时,因,所以方程组有解,并且解是独一的。
这也表示,平面上
解的存在性和唯一性,但要解一个方程组才能获得插值函数的系数,因工作量较大和不便向
高阶推行,故这类结构方法往常不宜采纳。
当时,若用两点式表示这条直线,则有:
()
这类形式称为拉格朗日插值多项式。
,,称为插值基函数,计算,
的值,易见
()
在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线,的叠加,并可
看到两个插值点的作用和地位都是同等的。
拉格朗日插值多项式型式免去认识方程组的计算,易于向高次插值多项式型式推行。
线性插值偏差
定理记为以为插值点的插值函数,。
这里
,设一阶连续可导,在上存在,则对随意给定
的,起码存在一点,使
()
证明令,因是的根,所以可设
对任何一个固定的点,引进协助函数:
则
由定义可得
别在和
和,即
。
,这样起码有
上应用洛尔定理,可知
和,对
3个零点,不失一般性,假设
在每个区间起码存在一个零点,不如记为
在上应用洛尔定理,获得
,分
在
上起码有一个零点,。
此刻对求二次导数,此中的线性函数),故有
代入,得
所以
即
二次插值
问题给定三个插值点,,此中互不相等,如何结构函数
的二次的(抛物线)插值多项式
平面上的三个点能确立一条次曲线,如下图。
图三个插值点的二次插值
仿制线性插值的拉格朗日插值,即用插值基函数的方法结构插值多项式。
设
每个基函数是一个二次函数,对来说,要求是它的零点,所以可设
同理,也相对应的形式,得
将代入,得
同理将代入获得和的值,以及和的表达式。
也简单考证:
插值基函数仍旧知足:
二次插值函数偏差:
上式证明完整近似于线性插值偏差的证明,故省略。
插值作为函数迫近方法,常用来作函数的近似计算。
当计算点落在插值点区间以内时叫做内插,不然叫做外插。
内插的成效一般优于外插。
例给定。
结构线性插值函数并用插值函数计算
和
解:
结构线性插值函数:
分别将代入上式,得
,正确值
,正确值
例给定。
结构二次插值函
数并计算。
解:
,正确值
例要制做三角函数的函数值表,已知表值有四位小数,要求用线性插值惹起的
截断偏差不超出表值的舍入偏差,试决定其最大同意步长。
解:
设最大同意步长
次拉格朗日插值多项式
问题给定平面上两个互不同样的插值点,有且仅有一条经过这两
点的直线;给定平面上三个互不同样的插值点,有且仅有一条经过这
三个点的二次曲线;给定平面上个互不同样的插值点,互
不同样是指互不相等,能否有且仅有一条不高于次的插值多项式曲线,假如曲线存在,
那么如何简单地作出这条次插值多项式曲线
剖析:
次多项式,它完整由个系数决定。
若曲线经过给定平面上个互不同样的插值点,则
应知足,事实上一个插值点就是一个插值条件。
将挨次代入中获得线性方程组:
()
方程组的系数队列式是范德蒙(Vandermonde)队列式:
当互异时,,所以方程组()的解存在且唯一。
即问题的解存
在并且唯一。
经过求解()获得插值多项式,因其计算量太大而不行取,模仿线性以及二次
插值多项式的拉格朗日形式,我们可结构次拉格朗日插值多项式。
对于个互不同样的插值节点,由次插值多项式的唯一性,可
对每个插值节点作出相应的次插值基函数。
要求是,的零点,所以可设
由将代入,获得
()
作其组合:
()
那么不高于次且知足,故就是对于插值
点的插值多项式,这类插值形式称为拉格朗日插值多项式。
称为对于节
点的拉格朗日基函数。
例给出以下插值节点数据,做三次拉格朗日插值多项式,并计算()。
解:
拉格朗日插值基函数为:
三次拉格朗日插值多项式:
n次插值多项式的偏差
定理设是上过的次插值多项式,
互不相等,当时,则插值多项式的偏差:
此中
证明*:
记。
因为,因此
是的根,于是可设
下边的目标是算出,为此引入变量为的函数:
()
令,得
令,由定义即
起码有个零点,因为,由洛尔定理,在相邻的两个零点之
间起码有一个零点,即起码有个零点。
同理再对应用洛尔定理,即
起码有个零点,频频应用洛尔定理获得起码有一个零点。
另一方面,对求阶导数,有
令,有
获得
()
因为的零点与的零点相关,因此为的函数。
若|可表示为
()
由()式能够看到,当是不高于次的多项式时,,即。
对于函数,对于节点的拉格朗日插值多项式就
是其自己,故拉格朗日基函数知足
令,获得。
定理给出了当被插函数充足圆滑时的插值偏差或称插值余项表达式,可是,在实质计算
中,其实不知道的详细表示,难以获得的形式或较精准的界线,所以也难
以获得界。
在实质计算中,可对偏差运用下边的过后预计方法。
给出个插值节点,任选其中的个插值节点,不妨取
,结构一个次插值多项式,记为。
在个插值节点中另选
个插值点,不如取,结构一个次插值多项式,记为。
由定理2可
获得
()
()
在插区内并且化不大,有,
进而可获得
()
()
拉格朗日插值多项式的算法
下边用描绘拉格朗日插多式的算法。
1:
入:
插点控制数,插点序列
及量。
2:
FORi:
=0,1,⋯,n//i控制拉格朗日基函数序列
{tmp:
=1;
FORj:
=0,1,⋯,i-1,i+1,⋯,n
,要算的函数点
,
{//
于定
,算拉格朗日基函数
}
//tmp
;
表示拉格朗日基函数
}
3:
出的算果。
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