习题六 样本及抽样分布解答.docx
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习题六样本及抽样分布解答
样本及抽样分布
一、填空题
1•设来自总体X的一个样本观察值为:
2.1,5.4,3.2,9.8,3.5,则样本均值=4.8,样本方差=2.7162;
2.在总体X~N(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本,则均值X落在4与6之间的概率=0.9332;
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,二2)仲位:
小时),抽取一容量为
9的样本,得到殳二940,s=100,则P(X:
:
:
940)=;
7
4.设X1,X2,.,X为总体X~N(0,0.52)的一个样本,则PLXi24)=0.025:
i=1
5.设X1,X2,...,X6为总体X~N(0,1)的一个样本,且cY服从2分布,这里,
丫=(X1X2X3)2(X4X5X6)2,则;
6•设随机变量X,Y相互独立,均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与丫,丫2,...,丫9分
++'X
别是来自总体X,Y的简单随机样本,则统计量U二入…入9服从参数为—9曲+…+丫2
的_L_分布。
7.设X1,X2,X3,X4是取自X~N(0,22)正态总体的简单随机样本且
丫=a(X]-2X2)2,b(3X3-4X4)2,,则a=0.05,b二0.01时,统计量Y服从
2分布,其自由度为一2_;
8.设总体X服从正态分布X~N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机
样本,则随机变量丫X12...利服从F分布,参数为10,5;
2(X11+...+X15)
2-1n
11若1,…,;是取自正态总体N(」,;「2)的一个样本,则i服从
n挡
知参数。
13设总体X服从N(~匚2),X和S2分别为来自总体X的样本容量为n的样本均值和方
F(9,9)
设X1,X2/,Xn是取自正态总体X〜NC\-2)的
(Xj-X)2,则丫=n-1仪」)服从的分布是(nii
记S2诂肿”4匕Xi-X)2,『亠我-听
X-1
S4n-1
F(x)是X总体的
均值,则下列各选项中的量不是统计量的是(
则下列各选项中的量不是统计量的是(C)。
1n
s:
二^(Xj—・i)2,则服从自由度n—1的t分布的随机变量是T二(A);nia
A.—X二b._X二c.—X]
s、、n-1S>.n-1S3、n-1
5.设Fn(x)是经验分布函数,基于来自总体X的样本,而
分布函数,则下列命题错误的为,对于每个给定的x,Fn(x)
nXi2
D.min{Xi}
C.'Q)2
i1、_
8.
设X「X2,…,Xn和分别来自两个正态总体N(-1,22)和N(2,5)的
样本,且相互独立,S2,S2分别为两个样本的样本方差,则服从F(7,9)的统计量
是(B)
和样本方差,则下面结论不成立的有(
1n„
X与rV(Xj—」)相互独立
CT\_i
1n
C.X与一(Xi-X)相互独立D•
CTi4
1n_
10.设X「X2,…,Xn是正态总体N(」f2)的一个样本,S2(X\-X)2,
n-1\丄
则D(S2)等于()
4a
4
CT
2二4
A.——
B.
C.
D.
n
n
n—1
n-1
11.设X1,X2,.
..,Xn是正态总体N(怙
2)的一个样本,
x和s2
分别为样本均
值和样本方差,则服从自由度为n一1的t—分布的随机变量是(C)
12.设Xi,X2,…,Xn是正态总体N(r;「2)的一个样本,X和s2分别为样本均
值和样本方差,则(C)
22
X(n-1)X
A.孑~卩(1,n-1)B.s^~F(1,n「)
22
C.答~F(1,n—1)D.(ngx〜F(1,n—1)
ss
13•设随机变量X,Y都服从标准正态分布,则()。
14•设总体X服从N(1,9),X1,…X9为X的样本,则有()。
15•设X1^Xn是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,X和s分别为样本的均值和标
准差,则有(
(A)nX〜N(0,1)(B)X〜N(0,1)(C)X〜t(n-1)(D八X:
〜2(n)
Sy
22
16.设X,Y相互独立,
X〜N(r,6),Y〜N02f2),Xi,…Xni为X的样本,
Yi/Yn2为Y的样本,则有()。
22221C2iC2
(A)X-Y〜NGV"2,1-)(B)X-Y〜N(r_」2,1-)
n1n2n1n2
22
(C)X—Y〜WJ,—12)(D)X—Y〜
n1n2
N(—,厂1V)
\mn2
三、解答题
1.设X1,X2,X3是总体NOf2)的一个样本,其中已知而二0未知,则以下
的函数中哪些为统计量?
为什么?
(1)X1X2X3;是
(2)X331;是
(3)X1;是
(4)X;;是
;Xi/
(5)72;不是
/CT
(6)max{Xj};是
(7)二X3;不是
2.在总体N(52,6.32)中随机地抽取一个容量为36的样本,求样本均值X落在
50.8与53.8之间的概率。
n7X
_,X,x0
f(X)]0Z0
_X_52
P〈50.8:
:
:
X:
:
:
53&=Pf—1.1421.714/
6.3/6
=G(1.714)_:
.:
」(—1.142)=0.8293
3.对下列两种情形中的样本观测值,分别求出样本均值的观测值X与样本方差
的观测值s2,由此你能得到什么结论?
—22
(1)5,2,3,5,8:
x=4.6s-2.059
(2)105,102,103,105,108X=104.6s2=2.0592
4.设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本.在下列三种情形下,分别写出样
本X1,X2,…,Xn的概率函数或密度函数:
(1)X~B(1,p);
⑵X~Exp(-);
(3)
X~U(0,力门0。
解:
(1)
P(X二Xi)=pX(1-p)J,i=0,1
1
I1>0
⑶f(x)二J
0,心0
f(X1,X2,…,Xn)=口f(Xi)=wn'0牛兰日(i=1,2…,n)
Qo.w
5.设Xi,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本•在下列三种情形下,分别求出
E(X),D(X),E(S2).
⑶X~U(0,R,r0。
E(X),D(X),E(S2)=
212n12
解:
XX
~N(0,1),L(i=1,2n)独立,
CTCT
nnx
4Xi2八(纠2〜fn)
n
(2)
n、Xi
、Xi~N(0,nJ,7~N(0,1)
gn
1n
2
(1)
丸XJ2
7•设X1,X2是取自总体X的一个样本.试证:
X1-X与X2-X相关系数等
于-1.
解:
-X1+X21r12
cov(X1,X)=cov(X1,12)=cov(X1,X1)covXX2)](二0)
222
12
-CT
2
2
D(X1—X)=D(X1)D(X)-2cov(X11X)^r
二21
2匚
2
12
<1
2
_1_1
同理cov(X2,X)2,D(X2-X)二一
2
cov(X1-X,X2-X)
22
CTCT
+=
222
2CF-0-
2
2
a
2
二cov(X1,X2)—cov(X1,X)—cov(X,X2)cov(X,X)
2
■X1^,X2瓦 2 cr 2CT _cov(X1-X,X2-X) -D(X1-X)、,D(X2-X) 2 8.设X1,X2,...,Xn是取自正态总体N(h「2)的一个样本,试求统计量 n EcXi的 i=4 分布,其中cji=1,2,...,n)是不全为零的已知常数。 nnn 解: '•qXj〜N(vc/〕q”2) i1i吕i1 9.设X1,X2,...,Xn和Y,Y2,…,Ym分别是取自正态总体N(气,时)和N岸2®;)的样 本,且相互独立,试求统计量U=aXbY的分布,其中a,b是不全为零的已知 常数; 解: 2—壬—a%: Xi〜N(%G),i=1,2,,n,X〜NCl1^^),aX〜N(a%L) nn 2屮_2 Yj~Nd工;),j=1,2,,m,Y〜N(,2,H),bX~N(b」2,— nn aXbX〜N(aUbU日也)nn 10.设X! X2,...,X5是取自正态总体N(0»2)的一个样本,试证: (1)当「2时,kJx;.⑷; 00s (&N〜 oCXIr (LeN〜zLLscxlo)N〜ZXCXI—LX-< XZ—X •S1〜」X寸—xe)q+JXCXI—><¥te bo 0"(><+><)0 bCXI b (卩1x+r「x(&: (ZX+X) bCXI X) CXIrb(N) 〜><+>< rb x+x+x 豆-0)简〜Z(N)z-g-寸OH「(L-O)N〜 Xc (co叮〜 (LeN〜 b 0—XI 专嘖O)N〜><+x 9;&-L上-(VO)N〜X(L)x+x+xpzh (Xi—2X2)2.(3X3-4X4)2〜2 (2) 、、20..100 12122 (Xi-2X2)2(3X3-4X4)2~2 (2) 20100 1.1 a,b= 20100 12.设X,,X2,...,Xn,Xn1是取自正态总体N(T2)的一个样本,记 X;丄°Xi,s: 丄°(Xi—X)2 nyni二 试证: 统计量,Xn,Xn~t(门); 13.设总体X服从正态分布N(,2),从中抽取简单随机样本Xi,X2,..・,X2n,其样 2nn 本均值为X=—xXi,求统计量Y八(XiXni-2X)2的数学期望 2niid 11 解: cov(XjXni,X)=cov(Xj,X)cov(Xn「X)=DXjDX 2n2n D(XiXni-2X)二D(XiXni)4DX-2cov(XjX.i,X) 2二2二22 =2;「2422~ 2nn nn EY二E'(XiXni-2X)2八E(XiXn^2X)^2n二2 i=1iT E(XiXni-2X)2=[E(XiXni-2X)]2D(XiX.,-2天)=02;「=2二2
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