还原问题精品教案.docx
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还原问题精品教案
6-1-2.还原冋题(—一)
教学目标
本讲主要学习还原问题•通过本节课的学习,可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法,并会运用倒推法解决问题.
1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题.
2.了解用倒推法解多个变量的还原问题.
3.培养学生倒推”的思想.
貝働怦知识点拨
一、还原问题
已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题.
还原问题又叫做逆推运算问题•解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算•在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推.
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反:
一是运算次序与原来相反;二是运算方法与原来相反.
方法:
倒推法。
口诀:
加减互逆,乘除互逆,要求原数,逆推新数.
关键:
从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘•列式时还要注意运算顺序,正确使用括号
刎1医例题精讲
模块一、计算中的还原问题
【例1】一个数的四分之一减去5,结果等于5,则这个数等于。
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,二试,第3题
【解析】方法一:
倒推计算知道,一个数的四分之一是10,所以这个数是104=40。
1
方法二:
令这个数为x,则丄X-5=5,所以x=40。
4
【答案】40
【例2】某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问:
原数是多少?
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。
这个数没减去2时应该是多少?
没除以2时应该是多
少?
没乘以3时应该是多少?
没加上3时应该是多少?
这样依次逆推,就可以推出某数。
如果没减去2,此数是:
10212,如果没除以2,此数是:
122=24,如果没乘以3,此数是:
243=8,
如果没加上3,此数是:
8—3=5,综合算式1022-:
-3—3=5,原数是5.
【答案】5
【巩固】(2008年陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上6,然后乘以6,再减去6,最后除以6,所得的商还是6,那么这个数是。
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】可逆思想方法
【解析】将最终结果进行逆推,得:
(666)6—6=1
【答案】1
【巩固】一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数•你知道这个数是几吗?
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】367-2416=244.
【答案】244
【巩固】少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数.把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一
算,共采集了多少个树种子?
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】(2525)5=250(个),即共采集了250个树种子•
【答案】250
【例3】学学做了这样一道题:
某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数•小
朋友,你知道答案吗?
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果10,应用逆推法,由结果10,
根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.
1010=100,10010=110,110-T0T1,11-10=1综合算式为:
(101010)10-10(10010)10-10=110-:
10-10=11-10=1所以这个数为1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘•列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法.
【答案】1
【巩固】学学做了这样一道题:
一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数•小朋友,你知道
答案吗?
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,
根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.
某数||16
综合算式为:
16江6十4+5—3=96十4+5—3=24+5—3=29—3=26
【答案】26
【巩固】一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师:
我得了多少分?
”老师说:
你的得分减去6后,缩小2倍,
再加上10后,扩大2倍,恰好是100分”小刚这次竞赛得了多少分?
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】从最后一个条件恰好是100分”向前推算•扩大2倍是100分,没有扩大2倍之前应是100“2=50
(分),加上10后是50分,没有加上10前应是50-10=40(分),缩小2倍是40分,那么没有缩小2倍前应是402=80(分),减去6后是80分,没有减去6前应是80*6=86(分).综合列式为:
(100-:
-2_10)26=4026=86(分),所以,小刚这次竞赛得了86分.
【答案】86
【例4】牛老师带着37名同学到野外春游.休息时,小强问:
牛老师您今年多少岁啦?
”牛老师有趣地回答:
我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数.”小朋
友们,你知道牛老师今年多少岁吗?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法,我们可以从最后的结果参加活动的总人数”即38倒着往前推•这个数没加上8时应是
多少?
没除以2时应是多少?
没减去16时应是多少?
没乘以2时应是多少?
这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数•没加上8时应是:
38-8=30;没除以2时应是:
302=60;没减去16时应是:
601676没乘以2时应是:
7623,即
[(38)8216]=(岁).
【答案】38岁
【巩固】小智问小康:
你今年几岁?
”小康回答说:
用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好
等于4.请你算一算,我今年几岁?
”
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。
这个数没除以5时应该是多少?
没没加上6时应该是多
少?
没乘以7时应该是多少?
没减去8时应该是多少?
这样依次逆推,就可以推出某数。
如果没除以5,此数是:
4520
如果没加上6,此数是:
20-614
如果没乘以7,此数是:
14-:
-7=2
如果没减去8,此数是:
2810
综合算式:
45-6“7・8=10(岁)
答:
小康今年10岁。
【答案】10岁
【巩固】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:
小新爷爷今年多少
岁数?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法,(10^-106)4•15=79(岁).
【答案】79岁
【巩固】学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙:
你一定不到100岁吧!
”谁知这位神仙
摇摇头说:
你们算算吧!
把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000
岁•”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这就是一个还原问题,可以用倒推法解决.从结果“2000逐步倒着推,没乘10时是多少?
没减去15
时是多少?
没除以5时是多少?
没加75时是多少?
这样依次倒推,就可以知道神仙的年龄了.
⑴乘以10,恰好是2000”不乘10时,应该是:
2000*10=200
⑵减去15”是200,不减15时,应该是:
200*15=215
⑶除以5”是215,不除以5,应该是:
2155=1075
⑷现在的年龄加上75是1075,如果不加75,这个数是:
1075—75=1000也就是神仙现在的年龄是1000岁.
验算:
按原题顺序进行列式计算,看最后是否等于2000,如果等于2000,则解题正确.
1000+75=1075,1075子5=215,215—15=200,200x10=2000.
【答案】2000岁【例5】在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算:
如果输入的数是偶数,就把它除
以2;如果输入的数是奇数,就把它加上3.同样的运算这样进行了3次,得出结果为27.原
来输入的数可能是
【例6】假设有一种计算器,它由A、B、C、D四种装置组成,将一个数输入一种装置后会自动输出
另一个数。
各装置的运算程序如下:
装置A:
将输入的数加上6之后输出;装置B:
将输入
的数除以2之后输出;装置C:
将输入的数减去5之后输出;装置D:
将输入的数乘以3之后输出。
这些装置可以连接,如在装置A后连接装置B,就记作:
AtB。
例如:
输人1后,
经过AtB,输出3.5。
(1)若经过AtBtCtD,输出120,则输入的数是多少?
(2)若经过BtDtatC,输出13,则输入的数是多少?
【考点】计算中的还原问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,二试,第16题,可逆思想方法
【解析】方法一:
逆向考虑。
(1)输入到D的数为120-3=40,输入到C的数为40+5=45,输入到B的数为
45>2=90,所以输入到A的数是90-6=84。
(2)输入到C的数是13+5=18,输入到A的数是18-6=12,输入到D的数是12-3=4,所以输入到B的数是4X2=8。
方法二:
(1)设输入的数是x,则('兰£_5〕><3=120解得,x=84。
⑵设输入的数是y,则纭3匕=,
I2丿2
解得y=8
【答案】
(1)84;
(2)8
【例7】哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,
最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】被减数十位上的6变成9,使被减数增加90-60=30,差也增加了30;减数个位上的9错写成6,使减数减少了9-6=3,这样又使差增加了3,这道题可以说成:
正确的差加上30后又加上3得577,求正确的差.所以列式得:
577-(9-6)-(90-60=544.这题的正确答案应该是544.
【答案】544
【巩固】小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的9看作6,十位上的6看作9,结果和是174,那么
正确的结果应该是多少呢?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】我们可以这样理解这道题的意思:
一个数(正确答案),由于小马虎两次错误的计算,变成了另一个数
(错误结果),我们知道引起这种变化的原因是:
①把个位上的9看作6,这就相当于把正确答案减少了9-6=3
【巩固】淘气在做一道减法时,把减数个位上的你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢
【考点】计算中的还原问题【难度】2星
专业文档
②把十位上的6看作9,这就相当于把正确答案增加了:
10(9_6)二30
这样原题就变成了一个数减去3,再加上30,所得结果是174,求这个数.”我们只要把少加的加上,
多加的减去,就可以求出正确的结果:
174(9_6)_10(9_6)-174•3_30=147
【答案】
147
9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请?
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】164(73_49)=188或164-630=188・
【答案】188
【巩固】小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正确的答案是多少?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】倒推法,把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和,应把4减去;把十位上的
8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和,应把50加上去.所以正确的和是:
12350-4169.即:
123(80-30)-(9-5)=169.
【答案】169
模块二、单个变量的还原问题
【例8】一只猴吃63只桃,第一天吃了一半加半只,以后每天吃前一天剩下的一半再加半只,则
天后桃子被吃完。
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】通过画表格的方式,可知答案是6.
【答案】6天
【例9】乒乓球从高空落下,到达地面后弹起的高度是落下高度的一半,如果乒乓球从8米的高度落下,
那么弹起后再落下,则弹起第次时它的弹起高度不足1米。
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯,三年级,初赛,可逆思想方法
【解析】弹起第一次时变为4米,弹起第二次时变为2米,弹起第三次时变化为1米,第4次弹起时不足1米,所以弹起第4次时不足1米。
【答案】4次
【例10】李奶奶卖一筐鸡蛋,第一位客人买走了一半少2个,第二位客人又买走了剩下的一半多2个,第
三位客人把剩下的5个鸡蛋全部买走了•老婆婆的篮子里原来有个鸡蛋.
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】学而思杯,1年级,第12题,可逆思想方法
【解析】用倒堆的方法,第二位客人没有买走之前共有7*7=14(个),第一位客人没买走之前就是14-2=12(个),12•12=24(个).
<考点>数学方法倒退法
【答案】24个
【巩固】小红看一本故事书,第一天看了这本书的一半又10页,第二天看了余下的一半又10页,第三天看
了10页正好看完。
这本故事书共有页。
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,一试,第13题,可逆思想方法
【解析】第三天看的10页等于第一天看了余下的一半少10页,所以第一天看了余下了(10+10)疋=40页,
所以原来有(40+10)X2=100页.
【答案】100页
【例11】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下
的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢?
难度】3星【题型】解答
(282)2=60(米)
采取倒推的方法,1千米是第一次剩下的路程的一半,所以第一次剩下路程就是12=2(千
米)。
而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半,所以全程长为22=4(千米)。
答:
公园马路全长为4千米。
【答案】4千米
【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最
后还剩7米。
这捆电线原来有多少米?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
(1)715-1^12(米),就是第一次用去后余下的一半。
(2)122=24(米),就是余下的电线长度。
(3)24=27(米),就是全长的一半。
(4)272=54(米),就是原来电线的长度。
综合列式计算:
|^7-15-1023|:
:
2=(1223)2=272=54(米)
答:
这捆电线原来有54米。
【答案】54米
【巩固】甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,
还剩下25个没有加工,问:
这批零件有多少个?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如右图所示,按照图与题目的条件,
第_号电工的
可以有如下算式:
2510=35(个),352=70(个),70*10=80(个),802=160(个)列综合算式:
1(2510)2・10丨2=160,答:
这批零件共有160个。
【答案】160个
【巩固】食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少28千克,第二天吃了余下的一半少8千克,最后剩下122千克.这批大米共有多少千克?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】列式为:
[(122-8)2-28]2=2002=400(千克)
【答案】400千克
【巩固】山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一
半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】2[(1-2)22^16(个).
【答案】16个
【例12】盒子里有若干个球。
小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。
这样共操作了7次,袋中还有3个球。
袋中原有()个球。
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】倒退法:
如,第7次操作前,还剩3-12=4个球。
第7次第6次第5次第4次第3次第2次第1次
34610183466100
【答案】4个球【例13】有一个培养某种微生物的容器,这个容器的特点是:
往里面放入微生物,再把容器封住,每过一
个夜晚,容器里的微生物就会增加一倍,但是,若在白天揭开盖子,容器内的微生物就会正好减
少16个。
小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物,心急的她在第二、三、四天斗开封看了看,
到第五天,当她又启封查看时,惊讶地发现微生物都没了。
请问:
小丽开始往容器里放了个
微生物?
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【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第15题
【解析】还原倒推:
0-16-8-24-12-28-14-30-15所以原来容器内放了15个微生物.
【答案】15个
,买钢笔又用去第二
【例14】小丽用4元买了一本《童话大王》,又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》次剩下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问:
小丽原有多少钱?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
原育钱数
【解析】用倒推法,第二次剩下的一半是47=5(元),第二次剩下52=10(元),第一次剩下102=20
(元),原来有20•4=24(元)。
列综合算式:
4T22•4=24
答:
小丽原有24元。
【答案】24元
【巩固】有一筐苹果,甲取出一半又1个;乙取出余下的一半又1个;丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果。
这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
再余下的一半
从上面的线段图可以看出:
最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半,即2个是再余下的一半,因此,再余下的就是22=4(个);4个再加上乙取出的1个就是余下的一半,所以,甲取出后余下的就是52=10
(个);10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半,所以,全筐苹果的总数是11222(个)。
22
个苹果共值6元6角,于是可求出每个苹果平均值多少钱?
先求有多少个苹果:
(1+1)2+112r2=22(个)再求每个苹果平均值多少钱:
66“22=3(角),每个苹果平均
值3角钱。
【答案】3角
【例15】思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下米,你知道这段五彩布原来长多少米吗?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意,画出线段图,倒推分析.
酗—鮭一半一舫米第二加¥*
剪去一半
4L.“
【答案】32米
【巩固】一群蚂蚁搬家,原存一堆食物•第一天运出总数的一半少12克•第二天运出剩下的一半少12克,
结果窝里还剩下43克•问蚂蚁家原有食物多少克?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解•如果第二天再多运出12克,就是剩下的一半,所以第
一天运出后,剩下的一半重量是43-12=31(克);这样,第一天运出后剩下的重31汇2=62(克)•那么
同理,一半的重量是62—12=50(克),原有食物502=100(克)•即
[(43—12)2—12]2=100(克).
【答案】100克
【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最
后还剩7米,这捆电线原有多少米?
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由逆推法知,第二次用完还剩下15+7=22(米),第一次用完还剩下(22-10)2=24(米),原来电线
长(243)2=54(米),(157-10)23=2=54(米).
【答案】54米
【例16】工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多6米,第二天修了余下的一半少20米,第三天修
了30米,此时还剩下14米没有修,则这条小路长米。
【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填
【关键词】可逆思想方法,2008年,陈省身杯
【解析】如图1所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为:
14•30-202|:
:
2=108(米)。
【巩固】修建一条下水道,第一周修了全长的一半多12米,第二周修了剩下的一半少12米,第三周修了
30米,最后还剩18米,这条下水道长多少米?
【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如下图,从图中可知30*18-12=36是第一周修后余下的一半,362-12=84米是下水道全长的一
列式为:
K3018-12)212]2=842=168(米),所以,这条下水道长168米.画图法的关键:
标好有倍数关系的位置。
【答案】168米
【例17】货场原有煤若干吨。
第一次
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