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电子的电磁质量问题
二、电子的电磁质量的计算
从经典电磁理论也可以推导出运动带电体质量随速度增加的结论。
19世纪80年代,人们开始研究运动带电体问题。
1878年罗兰发表运动电荷产生磁场的论文,激励人们从理论上进一步推测:
由于磁场具有能量,驱使带电体运动,比驱使不带电体运动,一定要做更多的功,因为有一部分能量要用于建立新的磁场。
所以,带电体的动能要比不带电体大。
换句话说,带电动体的质量要比不带电动体大。
这个由于电磁作用产生的“视在”质量,也叫电磁质量。
最先提出这个问题的是J.J.汤姆生。
在1881年的一篇论文中,他首次用麦克斯韦电磁理论分析了带电体的运动。
他假设带电体是一个半径为a的导体球,球上带的总电荷为e,导体球以速度v运动,得到由于带电而具有的动能为
,其中μ为磁导率。
这就相当于在力学质量m0之外,还有一电磁质量
.1889年,亥维赛改进了汤姆生的计算,得
。
他推导出运动带电体的速度接近光速时,总电能和总磁能都随速度增加。
还得出一条重要结论,当运动速度等于光速时,能量值将为无穷大,条件是电荷集中在球体的赤道线上。
1897年,舍耳(G.F.C.Searle)假设电子相当于一无限薄的带电球壳,计算出快速运动的电子电磁质量为:
其中
。
在经典电动力学中,认为带电粒子携带了电磁自场,由于自场有内聚能(电磁自能),也会构成电磁质量μ,实验所测量的带电粒子的质量(称为粒子的物理质量),是粒子原有质量m0(通常称为裸质量)与μ之和。
因为带电粒子总是同它的自场联系在一起,所以两者是不可分离的。
洛仑兹与阿伯拉罕等物理学家曾提出这种假设:
电子质量可能完全是电磁的,即电子裸质量m0=0,电子的惯性就是它电磁自场的惯性。
这样,在电荷按体积均匀分布的假设下,由经典理论算出的电子半径值为ro=2.82×10-13cm。
1903年,阿伯拉罕(M.Abraham)把电子看成完全刚性的球体,根据经典电磁理论,推出如下关系:
其中m0为电子的静止质量。
电子半径实验值小于10-16cm,显然用经典理论算出的电子半径并不合符实际。
经典电子论最著名的人物是H.A.Lorentz(1853-1928),他是一位经典物理学的大师。
在相对论诞生之前的那几年里,Lorentz虽已年届半百,却依然才思敏捷。
1904年他发表了一篇题为"ElectromagneticPhenomenainaSystemMovingwithAnyVelocityLessthanthatofLight"的文章,在这篇文章中他运用自己此前几年在研究运动系统的电磁理论时提出的包括长度收缩、局域时间(localtime)在内的一系列假设,计算了具有均匀面电荷分布的运动电子的电磁动量,由此得到电子的“横质量”mT与“纵质量”mL,分别为(这里用的是Gauss单位制):
mT=(2/3)(e2/Rc2)γ;mL=(2/3)(e2/Rc2)γ3
其中e为电子的电荷,R为电子在静止参照系中的半径,c为光速,γ=(1-v2/c2)-1/2。
撇开系数不论,Lorentz的这两个结果与后来的狭义相对论完全相同。
但Lorentz的文章一发表就遭到了经典电子论的另一位主要人物M.Abraham(1875-1922)的批评。
Abraham指出,质量除了象Lorentz那样通过动量来定义,还应该可以通过能量来定义。
比方说纵质量可以定义为mL=(1/v)(dE/dv)。
但是简单的计算却表明,用这种方法得到的质量与Lorentz的结果完全不同!
很明显,这说明Lorentz的电子论有缺陷。
那么缺陷在哪里呢?
Abraham提出Lorentz的计算忽略了为平衡电子电荷间的排斥力所必需的张力。
没有这种张力,Lorentz的电子会在各电荷元的相互排斥下土崩瓦解。
除Abraham外,另一位经典物理学的大师H.Poincaré(1854-1912)也注意到了Lorentz电子论的这一问题。
Poincaré与Lorentz是Einstein之前在定量结果上最接近狭义相对论的物理学家。
不过比较而言,Lorentz的工作更为直接,为了调和以太理论与实验的矛盾,他具体提出了许多新的假设,而Poincaré往往是在从美学与哲学角度审视Lorentz及其他人的工作时对那些工作进行修饰及完善。
这也很符合这两人的特点,Lorentz是一位第一流的workingphysicist,而Poincaré既是第一流的数学及物理学家,又是第一流的科学哲学家。
1904年至1906年间Poincaré亲自对Lorentz电子论进行了研究,并定量地引进了为维持电荷平衡所需的张力,这种张力因此而被称为Poincaré张力(Poincaréstress)。
在Poincaré工作的基础上,1911年(即在Einstein与Minkowski建立了狭义相对论的数学框架之后),M.vonLaue(1879-1960)证明了带有Poincaré张力的电子的能量动量具有正确的Lorentz变换规律。
下面我们用现代语言来简单叙述一下经典电子论有关电子结构的这些主要结果。
按照狭义相对论中最常用的约定,我们引进两个惯性参照系:
S与S',S'相对于S沿x轴以速度v运动。
假定电子在S系中静止,则在S'系中电子的动量为:
p'μ=∫t'=0T'0μ(x'ξ)d3x'=L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x'
其中Tμν为电子的总能量动量张量,L为Lorentz变换矩阵。
由于S系中Tμν与t无关,考虑到∫Tαβ(xξ)d3x'=∫Tαβ(γx',y',z')d3x'=γ-1∫Tαβ(xξ)d3x,上式可以改写成:
p'μ=γ-1L0αLμβ∫Tαβ(xξ)d3x
由此得到电子的能量与动量分别为(有兴趣的读者可以试着自行证明一下):
E=p'0=γm+γ-1L0iL0j∫Tij(xξ)d3x
p=p'1=γvm+γ-1L0iL1j∫Tij(xξ)d3x
这里i,j为空间指标1,2,3,m=∫T00(xξ)d3x,这里为了简化结果,我们取c=1。
显然,由这两个式子的第一项所给出的能量动量是狭义相对论所需要的,而Lorentz电子论的问题就在于当Tμν只包含纯电磁能量动量张量TEMμν时这两个式子的第二项非零。
那么Poincaré张力为什么能够避免Lorentz电子论的问题呢?
关键在于引进Poincaré张力后电子才成为一个满足∂νTμν=0的孤立平衡体系。
在电子静止系S中Tμν不含时间,因此∂jTij=0。
由此可以得到一个很有用的关系式(请读者自行证明):
∂k(Tikxj)=Tij。
对这个式子做体积分,注意到左边的积分为零,便可得到:
∫Tij(xξ)d3x=0
这个结果被称为Laue定理,它表明我们上面给出的电子能量动量表达式中的第二项为零。
因此Poincaré张力的引进非常漂亮地保证了电子能量动量的协变性。
至此,经过Lorentz,Poincaré,Laue等人的工作,经典电子论似乎达到了一个颇为优美的境界,既维持了电子的稳定性,又满足了能量动量的协变性。
但事实上,在这一系列工作完成时经典电子论对电子结构的描述已经处在了一个看似完善,实则没落的境地。
这其中的一个原因便是那个“非常漂亮地”保证了电子能量动量协变性的Poincaré张力。
这个张力究竟是什么?
我们几乎一无所知。
更糟糕的是,若真的完全一无所知倒也罢了,我们却偏偏还知道一点,那就是Poincaré张力必须是非电磁起源的,而这恰恰是对电磁观的一种沉重打击。
就这样,试图把质量约化为纯电磁概念的努力由于必须引进非电磁起源的Poincaré张力而化为了泡影。
但这对于很快到来的经典电子论及电磁观的整体没落来说还只是一个很次要的原因。
电子是电荷的原子,而电荷则是电磁场的场源。
电子的电荷能激发一个电磁场,它也是电子自身的组成部分,于是电子乃是一个带电粒子与一个电磁场的统一体。
带电粒子的运动是机械运动,电磁场的运动则是电磁运动,两者统一于“电子的运动”。
电子论既然把一切物理运动归结为机械运动与电磁运动,也就把一切运动归结成为电子的运动。
按照电动力学的原理,电子的带电粒子按照麦克斯韦方程不断激发电磁场,而电磁场则反过来以电磁力作用于带电粒子。
电子的这两个组成部分随时地都处于这样的相互作用之中,这种相互作用乃是电子的各种行为的内因,外力只有通过这种内因才能对电子起作用。
于是电子不再是牛顿力学意义下的只能被动地接受外力作用的“力学粒子”,而是一种现实的、包括场与实物的对立于自身,因而处于永恒的、内部的、必然的、自己的运动之中的“电学粒子”了。
在物理学历史上,只有以洛仑兹为代表的电子论才自觉地考虑过这个问题,我们称之为“洛仑兹问题”。
电子论既然把一切物理运动归结为电子运动,也就把一切物理运动最终归结为洛仑兹问题。
电子论采用刚球模型和推迟解,导出了一个电子动力学方程。
汤姆逊首先得到这一方程,我们称之为汤姆逊方程。
从这一方程得出结论,电子得固有磁场对其带电粒子的作用可以归结为两项:
一项相当于电子增加了一份质量,称之为“电磁质量”;另一项是与辐射相联系的阻力,称之为“辐射阻尼”。
这一方程未能象电子论期待的那样揭开原子世界的秘密,却给物理学带来了两次危机。
第一次危机是“电磁质量”这一范畴带来的。
它不遵循质量守恒定律,从而使动量守恒定律乃至能量守恒定律也都不成立。
这一情况使物理学家们大位震惊,彭加勒惊呼“原理的普遍毁灭”!
第二次危机则是“辐射阻尼”这一范畴带来的,它得出结论:
“电子作变速运动必然导致辐射电磁波。
”(0.1)应用于卢瑟福在1911年建立的原子有核模型,将得出结论:
“原子将因辐射而落于核。
”(0.2)这意味着原子刚一构成就会立刻解体,可是事实却证明原子能够持久地存在。
第一次危机动摇了人们对经典物理学的信念,第二次危机则把经典物理学逐出了原子世界。
对前面的"第一次危机是“电磁质量”这一范畴带来的。
它不遵循质量守恒定律,从而使动量守恒定律乃至能量守恒定律也都不成立。
这一情况使物理学家们大位震惊,彭加勒惊呼“原理的普遍毁灭”!
“经典电动力学计算一个半径为R,带电量为Q的均匀球体的静电自能为W自=0.5ρ
udv=3Q2/(20πε0R)。
一个电子的库仑场的能量为w=(ε0/2)∫∞re(e/4πε0r2)24πr2dr,量子电动力学根据电磁场的能量计算电子的电磁质量,然后设电子的质量全部来源于电磁质量,计算出电子的半径a=2.8×10-15米
(1)。
同样设电子的电荷在半径a的球中有一定的分布也可得电磁质量,结果类似。
但要维持这种平衡,需要未知的非电磁力平衡,实验还无法验证。
在相对论发现后有理由认为电子的电磁质量是电子引力质量的3/4,其余的与某种非电磁力有关。
H.Poincare.Rend.Pol.21(1906)129.他作了一些尝试,但也未具体地说明用什么别的力可以使电子不分裂。
Einstein试图证明“宇宙的能量
起源于电磁,
起源于引力”?
已知电子在真空中单位体积内的电场能为:
(1)
又知道,点电荷的场强为:
(2)
我们将电场强度E带入式
(1)之中,就可以得出:
(3)。
于是,我们可以求出电子在整个空间范围上的电场能
就可以对于上式求定积分,并得出:
(5)
下面是李正先生的分析——
一、运动电荷的电磁场
假设光速为c,电荷的电量为q,速度为v,t0时刻电荷所在位置为X0,若观察时刻为t,则电荷在t0时刻产生的电磁场传播到以X0为球心,以c(t-t0)为半径的球面上,我们称该球面为波面。
波面上电磁场的大小为:
(1)
(2)
其中R为半径,
为单位半径矢量,
为加速度,θ为
和
的夹角,且
我们看到
(1)式右边分两部分,一部分和1/R2成正比,大小和电荷的速度有关;另一部分和1/R成正比,大小和加速度有关。
当电荷作匀速运动时,
(1)式中右边第二项为零,
(3)
把它在球坐标下展开,
(4)
(5)
(6)
磁场大小由
(2)式确定
(7)
(8)
(9)
下图在球坐标上表示它们
图1运动电荷产生的电磁场
可见电场在半径和径度线方向上有分量,而纬度线上没有分量;磁场只有纬度线上有分量,与赤道面平行。
那么作匀速运动的电荷所携带的电磁能为多少呢?
二、运动电荷携带的电磁能量
假设电荷已经作匀速运动很长时间,我们在t时刻观察,电磁场的总能量就是电荷在t以前所产生的电磁能的总和。
下面是电荷在一段时间内产生的波面
图2运动电荷产生的波面
它们是圆心在同一直线上、半径不等、逐个包含的一系列球面。
同一时刻产生的电磁场就分布在同一球面上。
随着时间的流逝,这些球面将不断扩大,同时新的球面也不断产生。
假设电荷在t0时位于X0的位置,t0+dt时位置在X0+dX处。
在t时刻观察,产生波面的半径分别为c(t-t0)和c(t-t0-dt)。
电荷在dt内产生的电磁能就在这两个球面之间,为dW。
ω为电磁场的能量密度,而dV即为这两个球面之间的体积。
我们先计算能量密度,它分为电场能量密度ωE和磁场能量密度ωB,而总的能量密度就是这两者之和。
电场能量密度为
(10)
磁场能量密度
而
因此
(11)
总能量密度
(12)
现在计算dV,它为两个球面之间的体积。
采用球坐标系,
(13)
因为这两个球面不是同一球心的。
在图2中可以看到,靠近前方体积要小一点,后方体积要大一点,设dR为这两个球面的半径之差,它与dR’之间的关系为,
(14)
所以
(15)
由此可得
(16)
将(12)代入(16)得
(17)
可见这部分能量和1/R2成正比,不能传播到无穷远,事实上,它是跟随电荷一起运动的。
经过计算
(18)
而总能量W就是图2中从大到小的一系列波面所包含的能量的总和。
(19)
理论上W应该是无穷大,但事实上没有真正的点电荷,只是电荷的半径十分小而已,所以用点电荷的角度去分析它所产生的场是足够精确的,但它所携带的电磁能量不可能为无穷大,是一个有限值。
假设它的半径为r,静止时的电场能量为W0
(20)
r很小,以电子为例,r<10-10m,因此运动电荷的总能量
(21)
从中可以看出,运动时刻电磁能比静止时的要大。
用同样的方法计算跟加速度有关的那部分电磁场的能量,在dt时间内,电荷辐射的能量
(22)
这部分能量是由电荷的加速运动引起的,它跟半径无关,因此可以脱离电荷独立存在,这称为电磁辐射。
电磁辐射的功率为
(23)
三、非线性电动力学
电荷的能量不仅包括电磁能,还有机械能(动能)。
其总能量为
(24)
前面一部分是电荷能量的最直接的表现形式,任何能量都必须最终表现为物体的运动。
而后面一部分并没有直接表现出来,以电磁场的形式储存起来。
当电荷速度接近光速时,它所携带的电磁能将趋近无穷大。
从能量守恒的原则看,外力做功并没有全部转化为电荷的机械能,有一部分转化为电磁能,它跟随电荷一起运动,不能传播到无穷远;还有一部分称为电磁辐射,是由电荷加速运动引起的,这部分能量可以脱离电荷独立存在。
只要外力作用在电荷上,电荷就会加速,就会引起电磁辐射,它就像摩擦力一样,是无法避免的。
如果我们忽略损失掉的能量,认为外力做的功全部转化为电荷的能量。
(25)
(26)
经化解得到
(27)
两边同时除以dt,得到
(28)
这样电荷的惯性质量为
(29)
上式是电荷的惯性质量。
可这只是不计电磁辐射造成的能量损耗下,所得的近似质量。
如果要计入电磁辐射,情况要复杂一些。
我们至少知道,电动力学是非线性的,电荷的惯性质量是和它的速度相关的。
对电磁场能量的积分需要涉及电子的半径问题,电子的半径至今仍然不是一个很明确的物理量。
在量子理论中,把电磁场的Maxwell方程组量子化后,发展为量子电动力学,认为电磁波的发射是量子化的。
在通常的量子电动力学理论中,都须设电子为点粒子,否则理论上很难处理。
对于点粒子而言,所发射虚光子的波长下限应当为0。
若电子有有限半径,则波长比其直径小的光,在电子半径内由于E位置的变化,ρE正负交替使有效耦合衰减,波长更小时耦合衰减到可以不计。
若限制虚光子有一波长下限λ,则相当于要求电子半径r0∝λ,这样电磁质量∝ln(A2/λ2)(其中A为一量纲为长度的常数),即对数性发散,经典电动力学中为线性发散。
目前量子电动力学对各种物理过程的理论计算和实验结果在很高精确度下相符,表明它有反映客观规律的正确性的一面。
但是现代量子力学仍有一些基本困难没有解决,一个主要困难是它从点模型出发,没有触及电子的内部结构问题。
如果电子的半径r0趋于0,则其电磁质量以r0发散,因而对电子自能或电磁质量的(临时的)毫无用处的答案是无限大,至今还缺乏一种能把原子核物理学范畴内的大量论据联系起来而其基本观念又很简单的理论。
只有通过“重整化”再减去一个无穷大使电子质量变为实验所测值,回避了电磁或非电磁质量的问题后,量子电动力学的计算结果才与实验相符。
由于重正化意味着质量和力的强度的实际值不能从理论中得到预言,必须被选择以去适合观测,因此重正化有一严重的缺陷。
虽然用重整化方案方可消除这些发散,然而这种技术近乎是一种“耍赖皮”(王竹溪语)的手段,在概念上也存在不自洽之处。
虽然这种技术很有效,但物理学家相信这只是一时的权宜之计。
现代物理实验清楚的表明:
宇宙中的基本粒子都显得具有一内禀角动量,等于h/4π的某一整数倍(h为普朗克常数)。
在经历了将发散积分替换为实验可观测的物理量(如质量及电荷)所带来的十余年的极大兴奋之后,新的看似足以妨碍对重整化问题作任何进一步理解的严重困难出现了。
在六十年代,已知的可重整量子场论主要有两种原型:
1.量子电动力学(QED),一个描述带电费米子与电磁场相互作用的现实模型,以及λφ4-理论,一个标量粒子自相作用的理论。
与第一个理论不同的是,人们并不期望这一理论描述当时已知的任何基本粒子。
当时普遍的看法是:
现实世界并不由可重整量子场论所描述。
现在我们就来做一次事后诸葛,找出这一误解产生的原因。
1953年,Peterman与Stueckelberg注意到重整化振幅的一个重要特征。
比方说一个三粒子顶点(3-vertex)可以表示为:
或者说:
Γ=gren+(g)3∫(...)-Δg
(1.1)
因此,完整的振幅是由低阶顶点gren,单圈修正,以及一个吸收表观无穷大的抵消项(counterterm)所组成的。
很明显,gren与Δg之间的划分是任意的,而完整的振幅不应该依赖于这种划分,它应该只依赖于“裸”耦合常数gbare=gren-Δg。
但是,当我们截断微扰展开式的时候,在多圈图内部的耦合常数却是重整化后的耦合常数gren。
因此,在实际运用时仍然存在着对划分方式的某种人为的依赖性。
这种依赖性在我们把微扰理论中所有各阶的贡献都加上后应该会消失。
完整振幅与减除方式的无关性被Peterman与Stueckelberg诠释为理论的一种对称性。
这种对称性被称为重整化群,其变换为[译者注:
按上面的符号约定-即gbare=gren-Δg,下式中Δg的变换似应为:
Δg→Δg+ε]:
gren→gren+ε
Δg→Δg-ε
(1.2)
这看起来象是一种重大的对称性,但其实际用途却仅限于一种情形-尽管那是一种极其重要的情形。
人们发现只有标度变换才与重整化群相关。
这是重整化群的一维子群,也是今天仍在使用的唯一类型。
1954年,M.Gell-Mann与F.Low注意到在可变能标μ的标度变换下精细结构常数α的重整化群变换可以被计算出,他们发现
μdα/dμ=O(α2)>0
(1.3)
在微扰展开中,(1.3)式右端的函数是关于α的Taylor级数,以α2项居首。
在莫斯科,L.Landau预期这一函数为恒增函数,因此α(μ)应该是一个关于μ一开始缓慢增长(因为α(1MeV)很小),而后逐渐转为爆炸式增长的递增函数。
即便(1.3)式中的级数终止于α2项,α(μ)仍会在有限的μ处具有奇点。
这一奇点被称为Landau奇点(Landaupole),它看来是一个在物理上难以令人接受的东西。
这就是为什么Landau,以及与他持相同见解的一大批研究者视重整化量子场论为数学上错误的原因。
另一方面,Gell-Mann与Low则猜测(1.3)式右端的函数可能会有零点。
在这种情况下,跑动耦合常数α(μ)将会终止于某一数值,该数值就是理论的裸耦合常数。
但是为了计算这一裸耦合常数,人们必须跳出微扰理论的框架,这在当时没人知道该怎么做。
因此尽管Gell-Mann与Low没有摒弃这一理论,但他们的观点显然需要当时还不存在的数学技术来支持。
其结果是,不仅在东欧,而且在西欧,许多物理学家相信量子场论的数学基础是破绽百出的。
将所有这些连接在一起的是这样一种信念,即重整化群函数-后来被称为β-函数-的正定性是不可避免的。
这种信念是基于传播子的所谓Källen-Lehmann表示:
D(k2)=∫ρ(m2)dm2/(k2+m2-iε);ρ(m2)>0
(1.4)
函数ρ(m2)是正定的,因为对它的贡献来自于所有粒子可能衰变到的虚粒子态[译者注:
具体地讲ρ(m2)的表达式为Σλδ(m2-mλ2)|<0|φ(0)|λ>|2,显然是正定的]。
但ρ与β之间的关系并非显而易见这一事实却显然被忽略了。
可重整量子场论被视为是一种玩具理论,一些研究者并且声称量子电动力学所取得的表观上的数值成就不过是一种巧合而已。
尽管如此,几个这种有蛊惑性的玩具理论依然出现了。
其中最杰出的一个是由C.N.Yang与R.Mills于1954年所提出的,其基本拉氏量(Lagrangian):
LYM=-(1/4)GμνGμν-ψ(γD+m)ψ
(2.1)
简单得令人倾倒,并显示出一种强有力的对称性:
定域规范不变性。
当然,它(看起来)不能用于描述现实世界,因为它要求存在不同于普通光子的无质量、彼此有相互作用的矢量粒子,这样的粒子看来并不存在。
在现实世界里最接近于这种粒子的是ρ介子-但ρ介子更可能只是碰巧具有自旋1的强相互作用物质的激发态-以及假想中很有可能是矢量粒子的弱相互作用媒介粒子W±。
然而所有这些粒子都具有质量,而没有任何规范不变的项可以产生这种质量。
但即使这样,这一模型仍然持续地启发着研究者。
首先是R.Fe
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