函数的表示法教师版.docx
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函数的表示法教师版
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知识精要
(1)解析法
用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法,这个等式称为函数的解析式(或函数
关系式)。
如s=60t,
,A=πr2等。
简单明了,能从解析式了解函数与自变量之间的关系,简单明了,便于理论上的分析与研究,但
求对应值时需要逐个计算,且有的函数无法用解析式表示。
(2)列表法
用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。
从表格中直接找到自变量对应的函数值,查找方便,但无法将自变量与函数值的全部对应值都
列出来,且难以看出规律。
(三)图像法
用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。
函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来,但从图
像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的,且只能反映出变量间关系的一部分而
不是全体。
(四)三种表示法的相互联系与转化
由函数的解析式画函数的图像,一般分为“列表、描点、连线”三个步骤,通常称
作描点作图法。
同样,函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值,也是函数解析式所表
示的方程的一个解。
精解名题
例一暑假后学校食堂采用了凭磁卡刷卡消费的形式,小王9月1日购买磁卡并充值80元,每天中午在学校用餐,每次花3.5元。
设小王用餐次数为x,求当月卡内余额y(元)与x的函数关系式。
已知小王每周在校5天,问:
之后小王每月充值80元是否够用?
解:
根据题意,函数关系式为y=80-3.5x
9月份在校时间最多22天,至月底,卡内余额至少为y=80-3.5×22=3>0,之后,即使不计法定假
日,每月在校时间最多23天,故每月充值80元已经够用。
例二已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8cm,矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm,点P和点A重合,NP和AC在一条直线上,如图。
Rt△ABC不动,矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动。
设移动x(2 分析与解: 有关图形变换问题,通常结合图形进行探索: 移动xs后,点P移动了xcm。 不难发现,当x=2时,QP=AP=2cm,点Q在AB上(如图1);当x=8时,点P与C重合。 故当2 即y=2x-2. 例三小明晚饭以后外出散步,碰见同学,交谈了一会,返回途中在读报栏前看了一会报。 图中是据此情境画出小明离家距离与时间函数关系的图像,请据此回答下列问题: (1)小明是在什么地方碰到同学的,交谈了多长时间? (2)读报栏大约离家多少距离? (3)小明在哪一段路程中走的最快? 分析与解: 函数图像中,平行于x轴的部分表示离家的 距离不变,对应于小明两次停留时间。 这部分点的纵坐 标表示离家距离,横坐标表示离家时间,故 (1)小明在离家800米处碰到同学,交谈了大约10分钟时间; (2)读报栏大约离家400米;(3)小明在看报之后回家,用5分钟行走了400米,这段路程中走得最快。 例四小蕾在过14岁生日的时候,看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表,你能看出小蕾各周岁时的体重是如何变化的吗? 在哪一段时间内体重增加较快? 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重(kg) 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 解: 小蕾平均每年增加3.08kg,在3周岁前增加较快,之后稍减慢,10周岁以后又增加较快,年增加体重均超过3.5kg。 巩固练习 1.选择题 (1)某水库在汛期当水库内贮满水时,泄洪闸会自动打开,到水库内剩下一半水量时停止排水;当水库再次注满水后,又一次自动将水量排剩一半。 假设水库的进水量和排水量都是匀速的,这一过程中水库的存水量v与时间t之间函数关系的大致图像是(D) (2)小张第一次离家到县城上学,假期回家写了一首小诗: “首次离家今日返,父亲早早到车站,父子见面细端详,双双高兴把家还。 ”若用y表示小张和父亲行进中离开家的距离,用x表示父亲离家的时间,则与诗意大致吻合的图像是(B) 2.一个水池容积为100m3,若每小时注水qm3,注满全池需要t小时,求q与t的函数关系式,写出自变量t的取值范围。 解: 根据题意,得 (t>0) 3.画出函数 的图像 (略) 4.若点P(-2,m)是函数y=-x2+1与y=kx+5图像的公共点,求m、k的值。 解: 将P(-2,m)代入y=-x2+1,得y=-4+1=-3 ∴m=-3,将P(-2,-3)代入y=kx+5,解得k=4 5.某商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元。 该商场为促销制定了两种优惠方法。 A种方法: 购买一支毛笔赠送一本书法练习本;B种方法: 按购买金额打九折付款。 某校为书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本.分别求出两种优惠方法下实际付款金额y(元)与x(本)之间的函数关系式。 解: A种方法: y=250+(x-10)×5=5x+200(x≥10) B种方法: y=0.9×(250+5x)=4.5x+225(x≥10) 6.在同一坐标平面内画出函数 的图像。 根据图像回答: (1)当x取何值时,两个函数的值相等? (2)当x取何值时,第一个函数的值大于第二个函数的值? 解: (1)解 ,得x=2 ∴x=2时,两个函数的值相等,都为-1 (2)解 ,得x>2 ∴x>2时,第一个函数的值大于第二个函数的值。 7.小明暑假到黄岗山旅游,导游提醒大家要多带一件衣服,并介绍当地山区气温会随海拔高度的增加而下降。 沿途小明利用随身带的登山表测得以下数据: 海拔高度x(m) 400 500 600 700 … 气温y(℃) 28.6 28.0 27.4 26.8 … (1)观察和分析已知数据,探索y与x之间的函数关系式并验证; (2)如果小明告诉你山顶的气温为18.1℃,你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗? 解: (1)观察表中数据,海拔每增加100m,气温下降0.6℃,即每增加1m气温下降0.006℃, 故y=28.6-0.006(x-400)=-0.006x+31 (2)解-0.006x+31=18.1,得x=2150(m) 8.小明早晨从家骑车到学校,先上坡后下坡,行程情况如图所示,若返回时,上、下坡的速度不变,则小明从学校骑车回家用的时间是多少? 解: 上坡速度: (千米/分) 下坡速度: (千米/分) 返程时,上坡时间 (分) 下坡时间 (分) 小明从学校骑车回家用的时间是37.2分. 9.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事: 领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…,用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图像中与故事相吻合的是(D) 10.小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后立即返回,小刚去时骑自行车,返回时步行;爷爷去时步行,返回时骑自行车;爸爸往返都步行,三个人步行的速度不等,小刚与爷爷骑自行车的速度相等,每个人行走路程与时间的关系分别是下面图形中的一个。 走完一个往返,小刚用21分,爸爸用24分,爷爷用26分。 11.某单位为响应政府发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个面积为60平方米的矩形健身房ABCD,该健身房的四周墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁(如图所示),已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米,新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米。 设健身房的高为3米,一面旧墙壁AB的长为x米,修建健身房墙壁的总投入为y元。 (1)求y与x的函数解析式。 (2)为了合理利用大厅,要求自变量x必须满足条件: 8≤x≤12.当投入的资金为4800元时,问利用旧墙壁的总长度为多少? 解: (1)根据题意, (0 (2)解 得 即利用的旧墙壁的总长度为16米。 12.某港湾某日受热带风暴影响,其风力变化记录如下表: t(时) 0 4 8 12 16 20 24 T(级) 2 3.5 7 9 10 11 8 (1)用横轴表示时间t,用纵轴表示风力T,建立直角坐标平面,并在平面内描绘出表中所对应的各个点,然后用线段从左到右顺次连接; (2)根据图像说明: ①哪段时间里风力持续增强? 其持续的时间是几小时? 哪个时间风力最强? ②哪段时间里风力明显减弱? 其持续的时间是几小时? 哪个时间风力最弱? 解: (1)图略 (2)当0≤t≤20时,风力持续增强,持续时间为20小时,当t=20时,风力最强; 当20≤t≤24时,风力减弱,持续时间4小时,当t=24时风力最弱. 13.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)之间存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)之间的函数关系为 (1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额; (2)在 (1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少? 变 化了多少? 解: (1)根据题意,得P=25x= ,解得x=2,此时,新房销售总额为100000万元。 (2)将x=3代入 ,得Q=30,计算得到Q=90000万元,减少了10000万元。 14.某水电站的蓄水池有2个进水口,1个出水口,每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示,出水口出水量与时间的关系如图乙所示。 已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示,根据图像说明: (1)进水口单位时间内进水量是多少? 出水口单位时间内出水量是多少? (2)求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域; (3)求3点到4点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域; (4)试说明4点到6点这段时间内进出水口的开放情况。 解: (1)由图像可知,进水口单位时间内进水量是1万米3/时,出水口单位时间内出水量是2万米3/时; (2)0点到3点: y=2x(0≤x≤3) (3)3点到4点: y=-x+9(3≤x≤4) (4)4点到6点,∵蓄水池中水量保持恒定,∴2个进水口和一个出水口同时开放。
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