体能测试时间安排数学模型解答.docx
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体能测试时间安排数学模型解答
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【摘要】
本文对体能测试时间安排问题进行简化,建立数学模型。
我们针对学生该怎样分组、怎样合理安排班级测试次序等问题进行了分析讨论。
并用线性规划模型对测试时间安排进行了优化,最后得到一个合理的体能测试时间表。
建立模型的主要目的是使测试总时间最短,次要目的是在满足整个测试所用时间段最少的条件下,尽量节省学生的等待时间。
我们通过分析,最终确定以20人为一组,对问题进行了研究。
对此我们建立了两个模型,逐次解决了每个时间段测试的最多组数、各个时间段内班级的分配情况和如何合理安排各班级具体的测试时间等问题。
在不考虑班级排序时间的情况下,得出了能够独立完成所有项目的测试周期,建立了一个在极值条件下的数学模型,并计算求出了最优解,即在8:
00-12:
10和13:
30-16:
45这两个时间段内所能测试的最多组数,分别为34组和26组。
通过对第一个模型进行分析,得出要完成所有测试,需要四个时间段。
但是学生的等待时间可以进一步优化,于是建立了第二个模型,求解各个时间段内班级的分配问题。
然后,编写C语言程序求得了一个以班级为单位、具体的测试时间表,从而满足整个测试所用时间段数最少,且能节省学生等待时间。
【关键词】【关键词】线性规划;测试周期模型优化顺序线性规划;测试周期模型优化顺序
一、问题重述
某校安排学生进行体能测试,的内容有:
身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试,的内容有:
身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试,的内容有:
身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试,的内容有:
身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试,的内容有:
身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试,的内容有:
身高与重、立定跳远肺活量握力和台阶试验。
学校分别引进了力和台阶试验。
学校分别引进了3台、1台、1台、2台、2台。
前面台。
前面台。
前面4个项目每台仪器每个学生的平均测试时间分别为:
10秒、20秒、20秒、15秒,台阶试验每仪器一次秒,台阶试验每仪器一次测试5个学生(可以少于5个学生),需要个学生),需要3分30秒。
仪器名称
身高与体重
立定跳远
肺活量
握力
台阶试验
仪器数量
3
1
1
2
2
每人平均测试时间(s)
10
20
20
15
21
每个学生测试项目前要录入人信息,平均耗时每个学生测试项目前要录入人信息,平均耗时5秒,在同一班级的学生号秒,在同一班级的学生号相连,则可以省去录入时间。
每天的测试段为8:
00—12:
10和13:
30—16:
45。
学生在最多容纳150人的场所进行,测试项目没有先后次序。
要求在整个中用时人的场所进行,测试项目没有先后次序。
要求在整个中用时人的场所进行,测试项目没有先后次序。
要求在整个中用时间段最少并且在此条件下尽量节省学生的等待时。
同一班级所有间段最少并且在此条件下尽量节省学生的等待时。
同一班级所有内完成所有测试项目。
然后对以的体能在关仪器引进、场地容量和具内完成所有测试项目。
然后对以的体能在关仪器引进、场地容量和具内完成所有测试项目。
然后对以的体能在关仪器引进、场地容量和具方面的问题向学校提供有益合理建议。
(方面的问题向学校提供有益合理建议。
(如附录表1)
二、问题分析问题分析
本题要解决的主问是使整个测试所需时间最少。
而定这一关键点有两本题要解决的主问是使整个测试所需时间最少。
而定这一关键点有两个,一是测试仪器的充分利用二合理安排班级次序尽量使每时间段内人个,一是测试仪器的充分利用二合理安排班级次序尽量使每时间段内人个,一是测试仪器的充分利用二合理安排班级次序尽量使每时间段内人个,一是测试仪器的充分利用二合理安排班级次序尽量使每时间段内人
数最多。
对于测试仪器的充分利用问题,由于各个项目仪器每次测试人数分别为1人(身高
与体重),1人(立定跳远),1人(肺活量),1人(握力),5人(台阶试验),而台阶
试验测试仪有两台,所以我们不妨设20人为一小组对每组的测试时间进行研究。
在考
虑所有录入时间时,每组独立完成每个测试项目的时间分别为15
3
200
+秒(身高与体重
测量仪3台),210秒(立定跳远测量仪1台,肺活量测量仪1台),155秒(握力测量
仪2台),215秒(台阶试验测量仪2台),可以看出做台阶测试试验所用的时间是最长
的,而一个时间段时间一定,若使测试人数达到最大,台阶测试仪必须充分利用。
因此
在第一组完成测试所需时间为690秒。
在前一组测试完成台阶实验和立定跳远、肺活量
测量后下一组则可继续测量,因此在一个时间段内可测量的最多组数设为1C,有
430690150001⨯C+≤可求出组数。
由于每个组做身高与体重测试需要105秒,做握力
测试需要155秒,显然在430秒这一周期内,用三台身高与体重测量仪和两台握力测量
仪就可满足要求。
同时在前一组完成台阶实验和立定跳远、肺活量测量后下一组人进场,
依次类推在一个循环中,使用该安排场地人数最多为120人小于场地限制的150符合设
计要求,则整个体能测试的流程如图一。
图1体能测试流程安排图
三、模型的基本假设
1、假设测试过程中同学交换场地时间不计入测试耗时。
2、假设测试过程同学的体能消耗不影响测试。
3、假设测试过程中每台机器运作正常,不受外界影响。
4、假设负责测试的老师准时到岗,每个班级在安排测试的时间前都能保证到达测试地点。
5、假设学生在测试完所有项目测试后能迅速离开,并不再占用场所空间。
6、假设台阶试验测试仪在测试人数不足5人时也可进行测试。
7、假设体能测试时按照图1所示体能测试流程图进行。
四、符号说明
i……班级号
iX……第i班的人数
1C……上午最大测量组数
2C……下午最大测量组数
max1Z……上午测量最大总人数
max2Z……下午测量最大总人数
五、模型的建立与求解
5.1模型分析
通过问题分析,建立的测试过程可以看出,在第一小组同学进行测试的时候后边机
器有空闲,但是综合考虑其总体测试进程可以将进行测试的第一小组测试的同学所用的
时间忽略,当测试第二小组以及后面的小组时,测试进入正常的运行,每个小组的10
为同学进行台阶测试的时间为:
210+5=215秒(学号相连、包括信息录入时间),同时
其余的10为同学再分为每5人一小组分别进行立定跳远、肺活量测试,在他们小组完
成后互换测试项目则整个测试时间为:
(20⨯5+5)⨯2=210秒(学号相连、包括信息录
入时间),与台阶测试的时间存在5秒的差值,但同学等待的时间在这三项测试中为最
短。
在握力测试中,两台握力测试机同时进行即排在第一位的两个同学是需要20秒的
测试时间(信息录入时间5秒),紧跟他们后面的9位同学则均是只用15秒,则整个批
次中所用时间为:
5+10⨯15=155秒。
显然整个测试过程是没有等待时间的,假如不让
机器闲置,在第一小组做完台阶测试、肺活量测量和立定跳远后,第二小组就可以进场
测试,依次类推完成一个小组的测试时间为430秒,即为测试的最小周期。
每个时间段
首次测量小组所需时间为:
430+155+105=690秒。
5.2模型建立
根据所求得的测试周期长我们可得出学校上午、下午所测组数的最大值,从而得出
所测人数的最大值。
上午所测组数的最大值为:
430690150001⨯C+≤
下午所测组数的最大值为:
430690117002⨯C+≤
将一个完整的时间段看作一个整体,完整时间段内所测最多人数作为目标函数即:
上午:
∑=
=
n
i
iZX
1
max1
s.tmax11Z≤20⨯C
下午:
∑=
=
n
i
ZX
1
max21
s.tmax22Z≤20⨯C
5.3模型的求解
通过模型可以求出上午的测试组数为331C=,最大人数为660人;下午的测试组
数为252C=,最大人数为500人。
其中组数计算结果只取整数部分,全局时间差为580
秒。
针对每组测试同学为20人,则用VisualStudio2010编程把所有班级分为3个大
组,A组为20的倍数,B组为5的倍数,C组为剩余的班级。
经计算可得A组总人数为:
160人,B组总人数为:
545人,C组人数为1331人。
观察可知,B组去掉一个25人的班级(12号班级)与A组刚好构成680人作为第一天上午测试。
对于上午测试。
对于C组班级,我们再次分为组班级,我们再次分为8类以1,2,3,4,6,7,8,9为尾。
则有:
为尾。
则有:
以1为尾:
(为尾:
(1,41),(31,41)(33,51)(48,41)
以2为尾:
(为尾:
(7,42)(29,32)(41,42)(46,42)(49,42)(51,42)
以3为尾:
(为尾:
(30,33)(32,33)(47,43)
以4为尾:
(为尾:
(3,44)(4,44,)(6,44)(16,44)(28,24)(37,44)
以6为尾:
(为尾:
(5,26)(26,36)
以7为尾:
(为尾:
(11,37)(38,37)(43,37)(55,17)(56,17)
以8为尾:
(为尾:
(10,38)(21,38)(22,38)(23,28)(39,38)
以9为尾:
(为尾:
(19,39)(34,39)(40,39)(52,19)(53,39)
以1,9为尾可以组合成4组,总人数为组,总人数为320人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余52,19);以);以);以2,8为尾可以组合成5组,总人数为组,总人数为390人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余29,32);以);以);以3,7,为尾可以组合成,为尾可以组合成3组,总人数为组,总人数为220人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余人(优先取班级最多数),剩余55,17)(56,17);以4,6为尾可以组合成2组,总人数为组,总人数为140人(优先取班级最多数),人(优先取班级最多数),人(优先取班级最多数),剩余(6,44)(16,44)(28,24)(37,44)。
以1,9为尾组合的320人与以4,6为尾的140人再加上(29,32)总共492人作为第一天下午测试。
以人作为第一天下午测试。
以2,8为尾与以3,7为尾再加上(为尾再加上(12,25)(6,44)(6,44)总共679人作为第二天上午测试,其余的下。
人作为第二天上午测试,其余的下。
时间段
班级
第一天上午第一天上午
8,9,17,27,35,36,42,12,13,14,15,18,20,24,25,44,45,50,54
第一天下午第一天下午
1,31,33,48,19,34,40,53,5,26,3,4,29
第二天上午第二天上午
2,6,7,11,38,43,30,32,47,41,46,49,51,10,21,22,23,39
第二天下午第二天下午
52,56,55,16,28,37
集体安排情况如表1、表2、表3、表4。
表1第一天上午班级安排
8:
00:
00——12:
10:
00
测试顺序
班级号
班级人数
开始时间开始时间
结束时间结束时间
使用时间使用时间(s)
1
8
20
8:
00:
00
8:
11:
30
690
2
9
20
8:
07:
108:
07:
108:
07:
10
8:
18:
40
690
3
17
20
8:
14:
208:
14:
208:
14:
20
8:
25:
50
690
4
27
20
8:
21:
308:
21:
308:
21:
30
8:
33:
00
690
5
35
20
8:
28:
408:
28:
408:
28:
40
8:
40:
10
690
6
36
20
8:
35:
508:
35:
508:
35:
50
8:
47:
20
690
7
42
40
8:
43:
008:
43:
008:
43:
00
9:
01:
40
11201120
8
24
25
8:
57:
208:
57:
208:
57:
20
9:
16:
00
11201120
9
2
45
9:
04:
309:
04:
309:
04:
30
9:
30:
20
1550
10
18
30
9:
18:
509:
18:
509:
18:
50
9:
37:
10
11201120
11
25
30
9:
33:
109:
33:
109:
33:
10
9:
51:
50
11201120
12
44
50
9:
40:
209:
40:
209:
40:
20
10:
06:
10
1550
13
20
35
10:
01:
5010:
01:
5010:
01:
50
10:
20:
30
11201120
14
13
45
10:
09:
0010:
09:
0010:
09:
00
10:
34:
50
1550
15
14
45
10:
30:
3010:
30:
3010:
30:
30
10:
56:
20
1550
16
54
75
10:
44:
5010:
44:
5010:
44:
50
11:
22:
30
1980
17
15
45
11:
13:
3011:
13:
3011:
13:
3011:
13:
30
11:
39:
20
1550
18
50
45
11:
27:
5011:
27:
5011:
27:
5011:
27:
50
11:
53:
40
1550
19
45
50
11:
42:
1011:
42:
1011:
42:
1011:
42:
10
12:
08:
00
1550
表2第一天下午体能测试安排表
测试顺序
班级号
班级人数班级人数
开始时间开始时间
结束时间结束时间
使用时间(使用时间(使用时间(s)
20
1
41
13:
30:
00
13:
55:
50
1550
21
19
39
13:
44:
20
14:
03:
00
11201120
22
3
44
13:
58:
40
14:
24:
30
1550
23
5
26
14:
13:
00
14:
31:
40
11201120
24
4
44
14:
20:
10
14:
46:
00
1550
25
26
36
14:
34:
30
15:
00:
20
1550
26
31
41
14:
48:
50
15:
14:
40
1550
27
34
39
15:
03:
10
15:
29:
00
1550
28
33
51
15:
17:
30
16:
50:
30
1980
29
40
39
15:
39:
00
16:
57:
40
11201120
30
48
41
15:
53:
20
16:
19:
10
1550
31
53
39
16:
07:
40
16:
26:
20
11201120
32
29
32
16:
22:
00
16:
40:
40
11201120
表3第二天上午班级安排
测试顺序
班级号
班级人数
开始时间开始时间
结束时间结束时间
所用时间(所用时间(所用时间(s)
33
7
42
8:
00:
00
8:
25:
50
1550
34
10
38
8:
14:
20
8:
33:
00
11201120
35
21
38
8:
28:
40
8:
57:
20
11201120
36
41
42
8:
35:
50
9:
01:
40
1550
37
22
38
8:
57:
20
9:
16:
00
11201120
38
46
42
9:
04:
30
9:
30:
20
1550
39
23
28
9:
26:
00
9:
44:
40
11201120
40
49
42
9:
33:
10
9:
59:
00
1550
41
11
37
9:
47:
30
10:
06:
10
11201120
42
30
33
10:
01:
50
10:
20:
30
11201120
43
39
38
10:
16:
10
10:
34:
50
11201120
44
51
42
10:
23:
20
10:
49:
10
1550
45
38
37
10:
44:
50
11:
03:
30
11201120
46
47
43
10:
52:
00
11:
17:
50
1550
47
32
33
11:
13:
30
11:
32:
10
11201120
48
43
37
11:
20:
40
11:
39:
20
11201120
49
12
25
11:
35:
00
11:
52:
40
11201120
50
6
44
11:
42:
10
12:
08:
00
1550
表4第二天下午体能测试安排表
测试
顺序
班级号班级人数开始时间结束时间使用时间(s)
51164413:
30:
0013:
55:
501550
52394413:
44:
2014:
10:
101550
53282413:
58:
4014:
17:
201120
54521914:
05:
5014:
24:
301120
55551714:
13:
0014:
31:
401120
56561714:
20:
1014:
38:
501120
5.4模型检验
由结果可知道,在4个时间段测试分别使用的时间都没有超过相应时间段所规定的
总时间,由此,可以验证模型满足学校的要求。
根据测试流程图和结果可知,在测试场地中,最多同时有两个不同班级,而任意两
个不同班级的人数之和不超过100,满足场地最大容纳150人的要求。
六、模型优化
通过上面的模型进行体能测试,存在了一个最大的不足就是时间差值变大在全局的
时间了最少最多了580秒的等待时间,因此我们为了改进这种情况重新安排了如图2的
安排序列。
并且入场人数改为10人,且再分两个5人小组同时进行台阶测试,即这是
的最小循环为210秒(不考虑信息录入时间),完成后这两部分人就分别进入立定跳远、
肺活量测量项目。
在他们各项完成后互换进行测试,知道两小组都完成两项测试后,再
进行握力测试,最后进行身高体重测量。
如此安排下来实际的身高体重仪器只要2台就
够使用。
这种模型每个时间段的首次测量时间为:
215+210+10+15=450秒。
优化体
能测试安排如图2所示,由此可以得到最终使用的仪器台数如表5.
图2优化体能测试安排图
表5体能测试使用仪器情况表
仪器名称
身高与体重
立定跳远
肺活量
握力
台阶试验
仪器数量
2
1
1
2
2
六、模型评价与推广
6.16.16.1优缺点分析
1、本文根据问题要求利用线性规划优化的思想,逐步讨论了模型建立情况使建立的模型最大限度接近实际问题。
2、运用该模型进行体能项目测试时,每小组间互换是存在短暂的等待时。
6.26.26.2模型推广
通过对模型的分析,现有仪器存在配置不合理问题因为只要保证两台阶试验测试仪、其余器各一台即可得到最优化模型,所以有两身高体重量和握验测试仪、其余器各一台即可得到最优化模型,所以有两身高体重量和握验测试仪、其余器各一台即可得到最优化模型,所以有两身高体重量和握力测量仪是多余的。
若同时增加两台阶试验、一肺活和立定跳远力测量仪是多余的。
若同时增加两台阶试验、一肺活和立定跳远力测量仪是多余的。
若同时增加两台阶试验、一肺活和立定跳远测量仪,则可使试效率增加一倍但购买费用测量仪,则可使试效率增加一倍但购买费用测量仪,则可使试效率增加一倍但购买费用则会大增加,而且学校每年只进行一则会大增加,而且学校每年只进行一次体能测试,故可次体能测试,故可能不是最佳方案。
在现实中,每个学校可根据自身的际情况加以选能不是最佳方案。
在现实中,每个学校可根据自身的际情况加以选能不是最佳方案。
在现实中,每个学校可根据自身的际情况加以选
择。
同时我们建立的模型具有一般性,而且简单易懂可操作强同时还以推广到其他建立的模型具有一般性,而且简单易懂可操作强同时还以推广到其他建立的模型具有一般性,而且简单易懂可操作强同时还以推广到其他建立的模型具有一般性,而且简单易懂可操作强同时还以推广到其他建立的模型具有一般性,而且简单易懂可操作强同时还以推广到其他建立的模型具有一般性,而且简单易懂可操作强同时还以推广到其他的问题上如排队、体检等。
的问题上如排队、体检等。
的问题上如排队、体检等。
七、参考文献
【1】姜启源谢金星叶俊,《数学建模》(第三版),北京:
高等教育出社叶俊,《数学建模》(第三版),北京:
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高等教育出社2006年
【2】韩中庚解放军信息工程大学,《数建模方法及其应用》北京:
高等教育出版解放军信息工程大学,《数建模方法及其应用》北京:
高等教育出版解放军信息工程大学,《数建模方法及其应用》北京:
高等教育出版解放军信息
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