上海自招数学专题03 因式分解解析版.docx
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上海自招数学专题03因式分解解析版
上海自招数学
专题03因式分解
考点点拨
典例精选
1.(新编)
(1)已知b﹣a
,2a2+a
,求
的值.
(2)已知:
f(x)=x2+bx+c是g(x)=x4+6x2+25的因式,也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求:
f
(1)的值.
【点拨】
(1)解方程组即刻得到结论;
(2)根据g(x),q(x)都能被f(x)整除,于是得到它们的和、差、倍也能被f(x)整除,为了消去四次项,设3g(x)﹣q(x)=kf(x),(k为正整数),于是得到14x2﹣28x+70=k(x2+bx+c),于是得到k=14,b=﹣2,c=5,于是得到结论.
【解析】解:
(1)
,
①×2﹣②得,2b﹣2a2=3a,
由题意得a≠0,
∴两边同乘以2a得,
a
(2)∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,
∴它们的和、差、倍也能被f(x)整除,
为了消去四次项,设3g(x)﹣q(x)=kf(x),(k为正整数),
即14x2﹣28x+70=k(x2+bx+c),
14(x2﹣2x+5)=k(x2+bx+c),
∴k=14,b=﹣2,c=5,
即f(x)=x2﹣2x+5.
∴f
(1)=4.
【点睛】本题考查了因式分解,解二元一次方程组,正确的理解题意是解题的关键.
2.(新编)已知a+b
,ab=2,求下列代数式的值
(1)a2b+2a2b2+ab2;
(2)a2+b2
(3)a3+b3.
【点拨】
(1)利用a2b+2a2b2+ab2=ab(a+b+2ab),由此能求出结果.
(2)利用a2+b2=(a+b)2﹣2ab,由此能求出结果.
(3)利用a3+b3=(a+b)(a2+b2﹣ab),由此能求出结果.
【解析】解:
(1)∵a+b
,ab=2,
∴a2b+2a2b2+ab2
=ab(a+b+2ab)
=2(
)
8
;
(2)a2+b2
=(a+b)2﹣2ab
=(
)2﹣2×2
;
(3)a3+b3
=(a+b)(a2+b2﹣ab)
.
【点睛】本题考查了因式分解以及代数式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题.
3.(新编)因式分解:
x2(y﹣z)3+y2(z﹣x)3+z2(x﹣y)3.
【点拨】首先观察式子,发现当x=y时,原式值为0,于是可知式子含有因子x﹣y,进而可知原式还含因子y﹣z,z﹣x,设原式=(x﹣y)(y﹣z)(z﹣x)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)],令x=﹣1,y=0,z=1得2A﹣B=﹣1,令x=0,y=1,z=2得5A+2B=2,解A和B的二元一次方程组,求出A和B的值,原式即可因式分解.
【解析】解:
当x=y时,原式等于0,故原式含有因子x﹣y,
又因为原式是关于x,y,z的轮换对称式,故原式还含因子y﹣z,z﹣x,
又因为原式为x,y,z的五次式,故可设x2(y﹣z)3+y2(z﹣x)3+z2(x﹣y)3
=(x﹣y)(y﹣z)(z﹣x)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)]
令x=﹣1,y=0,z=1得2A﹣B=﹣1,
令x=0,y=1,z=2得5A+2B=2,
解得A=0,B=1,
所以x2(y﹣z)3+y2(z﹣x)3+z2(x﹣y)3=(x﹣y)(y﹣z)(z﹣x)(xy+yz+zx).
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识点,解答本题的关键是熟练掌握轮换对称式的知识,此题有一定的难度.
4.(新编)因式分解.
(1)(a﹣b)3+(b﹣a﹣2)3+8;
(2)(ay+bx)3+(ax+by)3﹣(a3+b3)(x3+y3);
(3)(x2+y2)2﹣8(x2+y2﹣2);
(4)ax3+x+a+1
(5)2(x2+6x+1)2+5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1)2;
(6)(a2﹣3a+2)x2+(2a2﹣4a+1)xy+(a2﹣a)y2;
(7)x3(a+1)﹣xy(x﹣y)(a﹣b)+y3(b+1)
【点拨】
(1)把(a﹣b)看作一个整体,再化简得到﹣6(a﹣b)2﹣12(a﹣b),再提取公因式﹣6(a﹣b)后化简即可求解;
(2)先根据立方和公式和多项式的乘法得到a3y3+3a2bxy2+3ab2x2y+b3x3+a3x3+3a2bx2y+3ab2xy2+b3y3﹣a3x3﹣a3y3﹣b3x3﹣b3y3,再合并同类项得到3a2bxy2+3ab2x2y+3a2bx2y+3ab2xy2,再提取公因式3abxy后化简,再分组分解即可求解;
(3)先变形为(x2+y2)2﹣8(x2+y2)+16,再根据完全平方公式即可求解;
(4)先变形为a(x3+1)+(x+1),再根据立方和公式得到a(x+1)(x2﹣x+1)+(x+1),再提取公因式(x+1)后化简即可求解;
(5)先根据十字相乘法得到(2x2+12x+2+x2+1)(x2+6x+1+2x2+2),化简后得到9(x2+4x+1)(x2+2x+1),再根据公式法和完全平方公式分解因式即可求解;
(6)根据十字相乘法分解因式得到(ax﹣2x+ay﹣y)(ax﹣x+ay)即可;
(7)首先去括号,进而重新分组,利用提取公因式法分解因式得出即可.
【解析】解:
(1)(a﹣b)3+(b﹣a﹣2)3+8
=(a﹣b)3﹣(a﹣b+2)3+8
=(a﹣b)3﹣(a﹣b)3﹣6(a﹣b)2﹣12(a﹣b)﹣8+8
=﹣6(a﹣b)2﹣12(a﹣b)
=﹣6(a﹣b)(a﹣b+2);
(2)(ay+bx)3+(ax+by)3﹣(a3+b3)(x3+y3)
=a3y3+3a2bxy2+3ab2x2y+b3x3+a3x3+3a2bx2y+3ab2xy2+b3y3﹣a3x3﹣a3y3﹣b3x3﹣b3y3
=3a2bxy2+3ab2x2y+3a2bx2y+3ab2xy2
=3abxy(ay+bx+ax+by)
═3abxy(a+b)(x+y);
(3)(x2+y2)2﹣8(x2+y2﹣2)
=(x2+y2)2﹣8(x2+y2)+16
=(x2+y2﹣4)2;
(4)ax3+x+a+1
=a(x3+1)+(x+1)
=a(x+1)(x2﹣x+1)+(x+1)
=(x+1)(ax2﹣ax+a+1);
(5)2(x2+6x+1)2+5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1)2
=(2x2+12x+2+x2+1)(x2+6x+1+2x2+2)
=9(x2+4x+1)(x2+2x+1)
=9(x+2
)(x+2
)(x+1)2;
(6)(a2﹣3a+2)x2+(2a2﹣4a+1)xy+(a2﹣a)y2=(ax﹣2x+ay﹣y)(ax﹣x+ay);
(7)x3(a+1)﹣xy(x﹣y)(a﹣b)+y3(b+1)
=x3(a+1)﹣xy(x﹣y)(a﹣b)+y3(b+1)
=ax3+x3﹣x2y(a﹣b)+xy2(a﹣b)+by3+y3
=ax3+x3﹣x2ya+bx2y+axy2﹣bxy2+by3+y3
=a(x3﹣x2y+xy2)+b(y3+x2y﹣xy2)+x3+y3
=ax(x2﹣xy+y2)+by(x2﹣xy+y2)+(x+y)(x2﹣xy+y2)
=(ax+by+x+y)(x2﹣xy+y2).
【点睛】此题主要考查了因式分解,分组分解法分解因式,提取公因式,立方和公式和多项式的乘法,完全平方公式,十字相乘法,公式法,注意分解因式要彻底.
5.(新编)因式分解:
(1)x4+y4+z4﹣2x2y2﹣2y2z2﹣2x2z2
(2)x7+x5+1
(3)(x+y﹣2xy)(x+y﹣2)+(xy﹣1)2.
【点拨】
(1)先运用分组分解法将原式变形为x4﹣2x2y2+y4﹣2y2z2﹣2z2x2+z4,然后变形为(x2﹣y2)2﹣2z2(x2+y2)+z4,再运用完全平方公式和平方差公式分解就可以求出结论;
(2)首先把因式添项x6再减去x6,然后因式分解,再提取公因式即可;
(3)设x+y=a,xy=b,将式子变形为(a﹣2b)(a﹣2)+(b﹣1)2,再去括号,合并同类项进行因式分解即可.
【解析】解:
(1)x4+y4+z4﹣2x2y2﹣2y2z2﹣2x2z2
=x4﹣2x2y2+y4﹣2y2z2﹣2z2x2+z4
=(x2﹣y2)2﹣2z2(x2+y2)+z4
=(x2﹣y2)2﹣2z2(x2﹣y2)+z4﹣4z2y2
=(x2﹣y2﹣z2)2﹣4z2y2
=(x2﹣y2﹣z2﹣2yz)(x2﹣y2﹣z2+2yz)
=[x2﹣(y+z)2][x2﹣(y﹣z)2]
=(x+y+z)(x﹣y﹣z)(x+y﹣z)(x﹣y+z);
(2)x7+x5+1
=x7+x6+x5﹣x6+1
=x5(x2+x+1)﹣(x3+1)(x3﹣1)
=(x2+x+1)[x5﹣(x﹣1)(x3+1)]
=(x2+x+1)(x5﹣x4+x3﹣x+1);
(3)设x+y=a,xy=b,
则(x+y﹣2xy)(x+y﹣2)+(xy﹣1)2
=(a﹣2b)(a﹣2)+(b﹣1)2
=a2﹣2ab﹣2a+4b+b2﹣2b+1
=a2﹣2ab﹣2a+b2+2b+1
=a2﹣2ab+b2﹣2a+2b+1
=(a﹣b)2﹣2(a﹣b)+1
=(a﹣b﹣1)2
=(x+y﹣xy﹣1)2
=(x﹣1)2(1﹣y)2.
【点睛】
(1)考查了分组分解法的运用,完全平方公式的运用,平方差公式的运用,解答时正确分组和灵活运用公式法求解是关键.
(2)解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法,此题难度较大.
(3)关键是运用换元法进行因式分解.
6.(新编)因式分解:
(1)x5+x+1;
(2)x3﹣9x+8;
(3)a4+2a3+3a2+2a+1.
【点拨】
(1)首先利用补项法,进而提取公因式分解因式得出即可;
(2)根据多项式的特点,可以将常数项8拆成﹣1+9,然后分组分解.也可以将一次项﹣9x拆成﹣x﹣8x,然后分组分解;
(3)这个题用常规的方法难以分解,考虑应用拆项变形,经过探索试验,把3a2拆成a2+2a2即可.
【解析】解:
(1)x5+x+1
=x5﹣x2+x2+x+1
=x2(x3﹣1)+(x2+x+1)
=x2(x﹣1)(x2+x+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)[x2(x﹣1)+1]
=(x2+x+1)(x3﹣x2+1);
(2)解法1:
将常数项8拆成﹣1+9.
原式=x3﹣9x﹣1+9
=(x3﹣1)﹣9x+9
=(x﹣1)(x2+x+1)﹣9(x﹣1)
=(x﹣1)(x2+x﹣8);
解法2:
将一次项﹣9x拆成﹣x﹣8x.
原式=x3﹣x﹣8x+8
=(x3﹣x)+(﹣8x+8)
=x(x+1)(x﹣1)﹣8(x﹣1)
=(x﹣1)(x2+x﹣8);
(3)a4+2a3+3a2+2a+1
=a4+2a3+a2+2a2+2a+1
=a2(a+1)2+2a(a+1)+1
=[a(a+1)+1]2
=(a2+a+1)2.
【点睛】
(1)考查了立方差公式应用,正确利用补项法分解因式是解题关键.
(2)(3)考查了多项式的因式分解,由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.
7.(新编)因式分解:
(1)x4+2x3+1+2(x+x2)
(2)x4+y4+(x+y)4
(3)(x+1)4+(x2﹣1)2+(x﹣1)4.
【点拨】
(1)首先重新分组,进而利用十字相乘法以及公式法分解因式进而得出答案;
(2)把前两项配方,第三项展开,整理后利用完全平方公式分解因式即可;
(3)将式子变形为(x+1)4+2(x+1)2(x﹣1)2+(x﹣1)4﹣(x+1)2(x﹣1)2,根据完全平方公式,平方差公式分解因式即可.
【解析】解:
(1)x4+2x3+1+2(x+x2)
=x4+2x3+x2+x2+2x+1
=x2(x2+2x+1)+(x+1)2
=x2(x+1)2+(x+1)2
=(x+1)2(x2+1);
(2)x4+y4+(x+y)4
=(x2+y2)2﹣2x2y2+(x2+2xy+y2)2
=(x2+y2)2﹣2x2y2+(x2+y2)2+4xy(x2+y2)+4x2y2
=2(x2+y2)2+2x2y2+4xy(x2+y2)
=2[(x2+y2)2+x2y2+2xy(x2+y2)]
=2(x2+xy+y2)2;
(3)(x+1)4+(x2﹣1)2(x﹣1)4
=(x+1)4+(x+1)2(x﹣1)2+(x﹣1)4
=(x+1)4+2(x+1)2(x﹣1)2+(x﹣1)4﹣(x+1)2(x﹣1)2
=(x+1+x﹣1)2﹣(x+1)2(x﹣1)2
=(2x)2﹣(x+1)2(x﹣1)2
=[2x+(x+1)(x﹣1)][2x﹣(x+1)(x﹣1)]
=(x2+2x﹣1)(x2+2x+1)
=(x+1)2(x2+2x﹣1).
【点睛】考查了利用分组分解法进行因式分解,难度较大,利用配方和完全平方公式,平方差公式整理是解题的关键.
8.(新编)把下列各式分解因式:
(1)x3﹣2x2+1;
(2)3x3+2x﹣5;
(3)x2+2xy+y2+x+y﹣2.
【点拨】
(1)把﹣2x2化为﹣x2﹣x2,然后分组,利用提公因式法和平方差公式分解即可;
(2)把+2x化为﹣3x+5x,然后分组,利用提公因式法和平方差公式分解即可;
(3)先利用完全平方公式把前三项变形,利用十字相乘法分解即可.
【解析】解:
(1)x3﹣2x2+1
=x3﹣x2﹣x2+1
=x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)
=(x﹣1)(x2﹣x﹣1);
(2)3x3+2x﹣5
=3x3﹣3x+5x﹣5
=3x(x+1)(x﹣1)+5(x﹣1)
=(x﹣1)(3x2+3x+5);
(3)x2+2xy+y2+x+y﹣2
=(x+y)2+(x+y)﹣2
=(x+y+2)(x+y﹣1).
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解,正确进行拆项、添项,掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.
9.(新编)因式分解:
(1)x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2;
(2)x3﹣11x2+31x﹣21.
【点拨】
(1)、
(2)先添项、拆项、再提取公因式即可.
【解析】解:
(1)原式=(x+2y)(x﹣5y)+2x+4y﹣x+5y﹣2
=(x+2y)(x﹣5y)+2(x+2y)﹣(x﹣5y+2)
=(x+2y)(x﹣5y+2)﹣(x﹣5y+2)
=(x+2y﹣1)(x﹣5y+2);
(2)原式=(x3﹣1)﹣(11x3﹣31x+20)
=(x﹣1)(x2+x+1)﹣(11x﹣20)(x﹣1)
=(x﹣1)(x2+x+1﹣11x+20)
=(x﹣1)(x2﹣10x+21)
=(x﹣1)(x﹣3)(x﹣7).
【点睛】本题考查的是因式分解,在解答此类题目时要注意使用分组分解法.
10.(新编)分解因式:
(1)3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4;
(2)a3+1;
(3)4x4﹣13x2+9;
(4)x2+x﹣(a2﹣a).
【点拨】
(1)先将3x2+5xy﹣2y2进行因式分解,再变形为(3x﹣y)(x+2y)﹣(3x﹣y)+4(x+2y﹣1),进一步即可求解;
(2)根据立方和公式即可求解;
(3)先因式分解法进行因式分解,再根据平方差公式进行因式分解;
(4)先变形为(x2﹣a2)+(x﹣a),再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解.
【解析】解:
(1)3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4
=(3x﹣y)(x+2y)+x+9y﹣4
=(3x﹣y)(x+2y)﹣(3x﹣y)+4x+8y﹣4
=(3x﹣y)(x+2y﹣1)+4(x+2y﹣1)
=(3x﹣y+4)(x+2y﹣1);
(2)a3+1=(a+1)(a2﹣a+1)
(3)4x4﹣13x2+9
=(4x2﹣9)(x﹣1)
=(2x+3)(2x﹣3)(x+1)(x﹣1);
(4)x2+x﹣(a2﹣a)
=(x2﹣a2)+(x﹣a)
=(x+a)(x﹣a)+(x﹣a)
=(x﹣a)(x+a+1).
【点睛】本题考查了因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
精准预测
1.a,b,c为非零实数,a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
【点拨】首先将原式变形,进而得出a(
)+b(
)+c(
)=0,得出a+b+c=0或bc+ac+ab=0.进而代入求出答案.
【解析】解:
将
变形如下,
a(
)+1+b(
)+1+c(
)+1=0,
即a(
)+b(
)+c(
)=0,
∴(a+b+c)(
)=0,
∴(a+b+c)•
0,
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0,则
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,
∴a+b+c=±1.
∴a+b+c的值为1,﹣1,0.
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用,正确将已知变形得出(a+b+c)(
)=0是解题关键.
2.分解因式x5+x+1.
【点拨】首先把因式添项﹣x2,再减加上x2,然后因式分解,再提取公因式即可.
【解析】解:
x5+x+1
=x5﹣x2+x2+x+1
=x2(x3﹣1)+(x2+x+1)
=x2(x﹣1)(x2+x+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x3﹣x2+1).
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解,掌握拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识、熟练运用拆项和添项解决问题的方法是解答本题的关键.
3.分解因式:
(1)﹣81a4b4+16c4;
(2)20a3x3﹣45axy2;
(3)16x5﹣x;
(4)8a3b3c3﹣1;
(5)64x6y3+y15.
【点拨】
(1)多次运用平方差公式分解因式;
(2)先提取公因式5ax,再运用平方差公式分解因式;
(3)先提取公因式x,再运用平方差公式分解因式;
(4)根据立方差公式分解因式;
(5)先提取公因式y3,再运用立方和公式分解因式.
【解析】解:
(1)原式=[(2c)2]2﹣[(3ab)2]2
=[(2c)2+(3ab)2][(2c)2﹣(3ab)2]
=(4c2+9a2b2)(2c﹣3ab)(2c+3ab);
(2)原式=5ax(4a2x2﹣9y2)
=5ax[(2ax)2﹣(3y)2]
=5ax(2ax+3y)(2ax﹣3y);
(3)原式=x[(2x)4﹣1]
=x[(2x)2+1][(2x)2﹣1]
=x(4x2+1)(2x+1)(2x﹣1);
(4)原式=[(2abc)3﹣1]
=(2abc﹣1)(4a2b2c2+2abc+1]
(5)原式=y3[(2x)6+y12]
=y3{[(2x)2]3+(y4)3
=y3(4x2+y4)[(2x)4﹣4x2y4+y8]
=y3(4x2+y4)(16x4﹣4x2y4+y8).
【点睛】此题主要考查了因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
4.分解因式:
a4+a2+1.
【点拨】添加a2,得到完全平方式,再根据平方差公式分解即可.
【解析】解:
a4+a2+1
=a4+2a2+1﹣a2
=(a2+1)2﹣a2
=(a2+1+a)(a2+1﹣a).
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解,熟练运用拆项和添项解决问题的方法、掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.
5.分解因式:
x3﹣3x+2.
【点拨】把﹣3x化为﹣4x+x,利用分组分解法、平方差公式、提公因式法分解即可.
【解析】解:
x3﹣3x+2
=x3﹣4x+x+2
=x(x+2)(x﹣2)+(x+2)
=(x+2)(x2﹣2x+1)
=(x+2)(x﹣1)2.
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解,掌握拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识是解题的关键.
6.(x2+xy+y2)(x2+xy+2y2)﹣12y4.
【点拨】将x2+xy+y2看作整体,进而利用十字相乘法分解因式得出即可.
【解析】解:
原式=(x2+xy+y2)(x2+xy+y2+y2)﹣12y4
=(x2+xy+y2)2+y2(x2+xy+y2)﹣12y4
=(x2+xy+y2+4y2)(x2+xy+y2﹣3y2)
=(x2+xy+5y2)(x2+xy﹣2y2)
=(x2+xy+5y2)(x+2y)(x﹣y).
【点睛】此题主要考查了因式分解法的应用,熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键.
7.x3(y﹣z)+y3(z﹣x)+z3(x﹣y)
【点拨】首先将原式添项,进而重新分组,进而利用立方差公式以及提取公因式法分解因式即可.
【解析】解:
x3(y﹣z)+y3(z﹣x)+z3(x﹣y)
=x3(y﹣z)+y3(z﹣x)﹣z3(y﹣z)﹣z3(z﹣x)
=(x3﹣z3)(y﹣z)+(y3﹣z3)(z﹣x)
=(x﹣z)(y﹣z)(x2+xz+z2)﹣(x﹣z)(y﹣z)(y2+yz+z2)
=(x﹣z)(y﹣z)(x2+xz﹣y2﹣yz)
=(x﹣z)(y﹣z)[(x﹣y)(x+y)+(x﹣y)z]
=(x﹣y)(x﹣z)(y﹣z)(x+y+z).
【点睛】此题主要考查了因式分解法的应用,正确进行添项以及利用立方差公式分解因式是解题关键.
8.因式分解:
(1)x3﹣3x2+4;
(2)x3﹣2x+1.
【点拨】
(1)把﹣3x2化为﹣2x2﹣x2,运用提公因式法和平方差公式分解即可;
(2)把﹣2x化为﹣x﹣x的形式,先分组,再提公因式,利用平方差公式分解即可.
【解析】解:
(1)x3﹣3x2+4
=x3﹣2x2﹣x2+4
=x2(x﹣2)﹣(x+2)(x﹣2)
=(x﹣2)(x2﹣x﹣2)
=(x﹣2)2(x+1);
(2)x3﹣2x+1
=x3﹣x﹣x+1
=x(x2﹣1)﹣(x﹣1)
=x(x+1)(x﹣1)﹣(x﹣1)
=(x﹣1)(x2+x﹣1).
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解,掌握拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识是解题的关键.
9.3xy+y2+3x﹣4y﹣5.
【点拨】利用二三分组分解法因式分解即可.
【解析】解:
原式=(3xy+3x)+(y2﹣4y﹣5)
=3x(y+1)+(y+1)(y﹣5)
=(y+1)(3x+y﹣5).
【点睛】本题考查了因式分解的知识,解题的关键是了解十字相乘法因式分解.
10.(1+y)2﹣2x2(1+y2)+x4(1﹣y)2.
【点拨】首先补项2x2(1﹣y2)进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式进而得出答案.
【解析】解:
原式=(1+y)2+2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y2)﹣2x2(1﹣y2)﹣2x2(1+y2)
=[1+y+x2(1﹣y)]2﹣2x2(1﹣y2+1+y2)
=(x2﹣x2y+y+1)2﹣4x2
=(x2﹣x2y+y+1+2x)(x2﹣x2y+y+1﹣2x)
=[(x2+2x+1)﹣y(x2﹣1)][(x2﹣2x+1)﹣y(x2﹣1)]
=[(x+1)2﹣y(x2﹣1)][(x﹣1)2﹣y(x2﹣1)]
=(x+1)(x+1﹣xy+y)(x﹣1)(x﹣1﹣xy﹣y).
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