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数学课本因式分解
P110
第3章 因式分解
3-1利用提公因式法因式分解
3-2利用乘法公式因式分解
3-3利用十字交乘法因式分解
温故学习搭配P.199温故知识点复习
◆多项式的乘法
计算下列各式:
(1)-3x(2x-1)= -6x2+3x 。
(2)(x+4)(3x+5)= 3x2+17x+20 。
(3)(3x+5)(3x-5)= 9x2-25 。
(4)(2x-7)2= 4x2-28x+49 。
◆多项式的除法
x2+4x+2除以x-2的商式为 x+6 ,余式为 14 。
P111
P112
3-1利用提公因式法因式分解
1.因式与倍式2.因式分解
3.提公因式法4.分组提公因式法
1因式与倍式 对应能力指标8-a-6
国小时,曾学过如何利用正整数的除法来判别因子与倍数。
例如:
(1)14÷2=7。
因为2能整除14,所以2是14的因子,14是2的倍数。
(2)14÷5得商为2,余数为4。
因为5不能整除14,所以5不是14的因子,14不是5的倍数。
同样地,在多项式中:
(x2-4x+3)÷(x-3)=x-1,余式为0。
因为x-3能整除x2-4x+3,就称x-3是x2-4x+3的因式,
而x2-4x+3是x-3的倍式。
←余式为0
(x2-4x+3)÷(x+2)=x-6,余式为15。
因为x+2不能整除x2-4x+3,
所以x+2不是x2-4x+3的因式,
且x2-4x+3不是x+2的倍式。
利用多项式的除法,我们可以得到下面的结论:
已知A、B皆为多项式,
(1)若B能整除A时,则称B是A的因式,A是B的倍式。
(2)若B不能整除A时,则B不是A的因式,A不是B的倍式。
P113
随堂练习
回答下列问题:
(1)x+2是否为x2+4x+2的因式?
(2)x3+1是否为x+1的倍式?
解
(x2+4x+2)÷(x+2)
得商式为x+2,余式为-2,
所以x+2不是x2+4x+2的因式。
解
(x3+1)÷(x+1)得商式为x2-x+1,
余式为0,所以x3+1是x+1的倍式。
在正整数的除法中,21÷3=7也可以用21=3×7表示,我们称3与7皆是21的因子,而21是3与7的倍数。
同样的,(x2-4x+3)÷(x-3)=(x-1)可以写成x2-4x+3=(x-3)(x-1),我们称(x-3)与(x-1)皆是x2-4x+3的因式,而x2-4x+3是(x-3)与(x-1)的倍式。
因式与倍式
A、B、C皆为非零多项式,若A=B×C,则称B与C是A的因式,A是B与C的倍式。
随堂练习
已知2x2+5x-3=(x+3)(2x-1),则下列叙述哪些是正确的?
(复选)
(A)2x2+5x-3是x+3的倍式(B)2x-1是2x2+5x-3的因式
(C)2x-1是x+3的倍式(D)2x-1是x+3的因式
解
(A)、(B)
P114
2因式分解 对应能力指标8-a-06
由前面的例子中可以知道:
x2-4x+3=(x-3)(x-1)
像这样,将一个二次多项式写成两个一次式的乘积,称为二次式的因式分解。
x2-4x+3
(x-3)(x-1)
例题1 利用除法判别因式
判别x+1是否为x2-5x-6的因式。
如果x+1是x2-5x-6的因式,
将x2-5x-6因式分解。
解
计算(x2-5x-6)÷(x+1)是否能整除。
因为整除,所以x+1是x2-5x-6的因式,
且x2-5x-6=(x+1)(x-6)
即x2-5x-6可因式分解为(x+1)(x-6)。
P115
随堂练习
1.判别x-1是否为2x2+x-3的因式。
如果x-1是2x2+x-3的因式,
将2x2+x-3因式分解。
解
是,2x2+x-3=(x-1)(2x+3)
2.承上题,利用多项式的除法,判别4(x-1)是否为2x2+x-3的因式。
解
4(x-1)=4x-4
所以4(x-1)是2x2+x-3的因式。
由随堂练习可知,若ax+b是某多项式的因式,且k是不为0的常数,
则k(ax+b)也是此多项式的因式。
随堂练习 搭配习作P38基础题1
已知3x2+2x-8=(x+2)(3x-4),下列哪些是3x2+2x-8的因式?
□
x+2
□
2(x+2)
□
2(x-2)
□
(x+2)2
□
(x+2)(x-2)
□
(3x-4)
□
(x+2)
□
(x+2)(3x-4)
我们可以用多项式的除法运算,判别多项式B是不是多项式A的因式。
但如果只知道多项式A,要如何找出多项式A的因式呢?
因为不可能一个一个挑选多项式去试除,所以接下来要介绍一些因式分解的方法。
P116
3提公因式法 对应能力指标8-a-07
如A×C+B×C的多项式(A、B、C皆为多项式),其中A×C和B×C两项有共同的因式C,称C为A×C和B×C的公因式。
如果将公因式C提出来,写成
A×C+B×C=(A+B)×C=C×(A+B)
就是将多项式A×C+B×C因式分解。
将多项式写成A×C+B×C=C×(A+B)的过程,其实是分配律的逆运算。
A×C+B×C
C×(A+B)
例如:
多项式x2+3x含有x2、3x两项,而x2=x‧x与3x=3‧x两项都含有因式x,亦即x是x2与3x的公因式,根据分配律可得
x2+3x=x‧x+3‧x
=(x+3)‧x
=x(x+3)
这种因式分解的方法,称为提公因式法。
随堂练习
写出下列各小题中两个多项式的公因式:
(1)5x与x2的公因式为 x 。
(2)3(x+1)与x(x+1)的公因式为 x+1 。
(3)(x+1)(x+2)与(x+2)(x-1)的公因式为 x+2 。
P117
例题2 提单项公因式 配合习作P38基础题2
(1)
(2)
因式分解下列各式:
(1)5x2+x
(2)3ab+5b2
(3)4x2+5xy-3x
解
(1)多项式5x2+x中有5x2、x两项。
5x2+x=5‧x‧x+1‧x ←两项都有公因式x
=x(5x+1)
(2)多项式3ab+5b2中有3ab、5b2两项。
3ab+5b2=3‧a‧b+5‧b‧b ←两项都有公因式b
=b(3a+5b)
(3)多项式4x2+5xy-3x中有4x2、5xy、-3x三项。
4x2+5xy-3x=4x‧x+5y‧x-3‧x ←三项都有公因式x
=x(4x+5y-3)
在提出公因式时,像多项式2x2+4x中的两项都含有公因式x,可以因式分解为x(2x+4),但是2x和4仍可提出2,所以也可以将2提出,即
也可以想成由2x2与4x两项直接提出公因式2x。
2x2+4x=x(2x+4)
=2x(x+2)
随堂练习
因式分解下列各式:
(1)3a2+6a
(2)5ab-a
解
=3a.a+3a.2
=3a(a+2)
解
=a.5b-a.1
=a(5b-1)
P118
例题3 提单项公因式
因式分解下列各式:
(1)2x2+x(x+1)
(2)x(2x+1)-x(x+3)
解
2x2+x(x+1)
=2x‧x+x‧(x+1)
=x〔2x+(x+1)〕
=x(3x+1)
解
x(2x+1)-x(x+3)
=x〔(2x+1)-(x+3)〕
=x(2x+1-x-3)
=x(x-2)
随堂练习
因式分解下列各式:
(1)y2+2y(y+1)
(2)x(5x+2)-x(x-1)
解
=y〔y+2(y+1)〕
=y(3y+2)
解
=x〔(5x+2)-(x-1)〕
=x(4x+3)
例题4 提公因式 配合习作P39、39基础题2(3)、4、5
(1)
因式分解下列各式:
(1)x(2x+1)+(2x+1)
(2)(x-1)(3x-2)-(x-1)(x+1)
解
x(2x+1)+(2x+1)
=x(2x+1)+1‧(2x+1)
=(2x+1)(x+1)
解
(x-1)(3x-2)-(x-1)(x+1)
=(x-1)〔(3x-2)-(x+1)〕
=(x-1)(3x-2-x-1)
=(x-1)(2x-3)
随堂练习
因式分解下列各式:
(1)x(x+4)-(x+4)
(2)(x-3)(2x+1)-(2x+1)(3x-4)
解
=(x+4)(x-1)
解
=(2x+1)〔(x-3)-(3x-4)〕
=(2x+1)(-2x+1)
P119
有些多项式乍看之下好像没有公因式,但经过适当的转化之后,就能找到各项之间的公因式。
例题5 变号提公因式 配合习作P38基础题2(4)
因式分解下列各式:
(1)2x(x-1)+3(1-x)
(2)(2x-1)(x-2)-(1-2x)(x+2)
解
(1)2x(x-1)+3(1-x)
=2x(x-1)-3(x-1) ←1-x=-(x-1)
=(x-1)(2x-3)
(2)(2x-1)(x-2)-(1-2x)(x+2)
=(2x-1)(x-2)+(2x-1)(x+2) ←1-2x=-(2x-1)
=(2x-1)〔(x-2)+(x+2)〕
=(2x-1)(x-2+x+2)
=2x(2x-1)
分解的过程中,若出现单项式,通常会放到式子的前面。
随堂练习
因式分解下列各式:
(1)(2x-1)(x-3)-(3-x)(3x-1)
解
=(2x-1)(x-3)+(x-3)(3x-1)
=(x-3)〔(2x-1)+(3x-1)〕
=(x-3)(5x-2)
(2)(2x-3)2+(1+x)(3-2x)
解
=(2x-3)2-(1+x)(2x-3)
=(2x-3)〔(2x-3)-(1+x)〕
=(2x-3)(x-4)
P120
x2+ax=x(x+a)
bx+ab=b(x+a)
有公因式x+a
4分组提公因式法 对应能力指标8-a-07
多项式x2+ax+bx+ab中,x2、ax、bx、ab四项无法提出公因式,但如果将原多项式分为x2+ax与bx+ab两组,则这两组会有公因式x+a,说明如下:
x2+ax+bx+ab
=(x2+ax)+(bx+ab)
=x(x+a)+b(x+a)
=(x+a)(x+b)
也可以采用不同的分组方法,将原多项式分为x2+bx与ax+ab两组:
x2+ax+bx+ab
=(x2+bx)+(ax+ab)
=x(x+b)+a(x+b) ←有公因式x+b
=(x+b)(x+a)
虽然两种分组方法不同,但因式分解的结果仍然相同。
动动脑
在漫画中,这两组是否可以提出公因式,进行因式分解呢?
解
不能
从动动脑的结果发现,在进行分组提公因式时,各组之间必须可以提出公因式,才能进行分组分解。
P121
例题6 分组提公因式
因式分解x2-6x-ax+6a。
解
x2-6x-ax+6a=(x2-6x)-(ax-6a)
=x(x-6)-a(x-6) ←两组都有公因式x-6
=(x-6)(x-a)
随堂练习 配合习作P38、39基础题2(5)、5
(2)
(1)x3-3x2+2x-6
(2)10x2-4x+15xy-6y
解
=(x3-3x2)+(2x-6)
=x2(x-3)+2(x-3)
=(x-3)(x2+2)
解
=(10x2-4x)+(15xy-6y)
=2x(5x-2)+3y(5x-2)
=(5x-2)(2x+3y)
例题7 重新分组提公因式 配合习作P38基础题2(6)
因式分解(a2x+x)+(ax2+a)。
解
a2x+x=x(a2+1)
ax2+a=a(x2+1)
思路分析
无法提出公因式,故考虑重新分组。
(a2x+x)+(ax2+a)=(a2x+ax2)+(x+a)
=ax(a+x)+(x+a)
=ax(x+a)+1.(x+a)
=(x+a)(ax+1)
随堂练习
因式分解(3xy+8)-2(x+6y)。
解
(3xy+8)-2(x+6y)
=3xy+8-2x-12y
=3xy-2x-12y+8
=x(3y-2)-4(3y-2)
=(3y-2)(x-4)
P122
例题8 因式分解的几何意义
如下图所示,有4个长方形,面积分别是xy、2x、3y、6,在不重叠的情况下,这4个长方形可以紧密的排出一个大长方形。
已知这个大长方形的长为(y+2),求宽。
解
步骤1:
紫色长方形与粉红色长方形可组合成长为y+2,宽为x的长方形
xy+2x=x(y+2)
步骤2:
黄色长方形与绿色长方形可组合成长为y+2,宽为3的长方形
3y+6=3(y+2)
步骤3:
四个长方形的面积总和为大长方形的面积,故得:
xy+2x+3y+6
=(xy+2x)+(3y+6)
=x(y+2)+3(y+2)
=(y+2)(x+3)
所以宽为(x+3)
P123
随堂练习
如下图,有A、B、C、D四块不同的长方形纸板,在不重叠的情况下,A、B、C、D可以紧密的排出一个大长方形,求大长方形的长与宽。
解
大长方形的面积
=(π2+2π)+(π+2)
=π(π+2)+(π+2)
=(π+2)(π+1)
所以长、宽分别为(π+2)、(π+1)。
重点回顾
因式与倍式:
A、B、C皆为非零多项式,若A=B×C,则称B与C是A的因式,A是B与C的倍式。
x2-3x+2=(x-2)(x-1),称(x-2)与(x-1)为x2-3x+2的因式,而x2-3x+2是(x-2)与(x-1)的倍式。
提公因式法:
形如A×C+B×C的多项式,可提出公因式C,
A×C+B×C=C(A+B)。
x(x+1)+7(x+1)=(x+1)(x+7)
分组提公因式法:
多项式ax+ay+bx+by可以先分为(ax+ay)、(bx+by)二组提公因式,
所以ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)。
x3+3x2+x+3=(x3+3x2)+(x+3)=x2(x+3)+(x+3)
=(x+3)(x2+1)
P124
3-1 自我评量
1.x+1与x-1都是3x2-2x-5的因式吗?
课P114例1
解
答:
x+1是3x2-2x-5的因式,x-1不是3x2-2x-5的因式。
2.已知多项式2x2-6x-8=2(x+1)(x-4),则下列哪些是2x2-6x-8的因式?
(复选) 课P115随堂
(A)x+1
(B)2x-4
(C)2(x-4)
(D)x2-3x-4
(E)2x2-6x-8
解
(A)(C)(D)(E)
3.因式分解下列各式:
课P117例2课P118例4课P118例4课P118例4
(1)4x2-7x
(2)y(y-3)+4(y-3)
解
=4x.x-7.x
=x(4x-7)
解
=(y-3)(y+4)
(3)(2x-3)-(2x-3)2
(4)(x+1)(x-2)-(x+1)(3x-5)
解
=(2x-3)〔1-(2x-3)〕
=(2x-3)(1-2x+3)
=(2x-3)(-2x+4)
=-2(2x-3)(x-2)
解
=(x+1)〔(x-2)-(3x-5)〕
=(x+1)(x-2-3x+5)
=(x+1)(-2x+3)
P125
4.如图所示,有4个长方形,面积分别是xy、9、3x、3y,在不重叠的情况下,这4个长方形可以紧密的排出一个大长方形,求大长方形的长与宽。
课P122例8
解
大长方形的面积=xy+9+3x+3y
=(xy+3y)+(3x+9)
=y(x+3)+3(x+3)
=(x+3)(y+3)
答:
长、宽分别是(x+3)、(y+3)
5.因式分解下列各式:
课P119例5课P121例6课P121例6课P121例7
(1)(3x-5)2-4x(5-3x)
(2)2x3-5x2+2x-5
解
=(3x-5)2+4x(3x-5)
=(3x-5)〔(3x-5)+4x〕
=(3x-5)(7x-5)
解
=(2x3-5x2)+(2x-5)
=x2(2x-5)+(2x-5)
=(2x-5)(x2+1)
(3)ax2-4x-2ax+8
(4)(ax2-6)+(3x-2ax)
解
=(ax2-4x)+(-2ax+8)
=x(ax-4)-2(ax-4)
=(ax-4)(x-2)
解
=ax2-6+3x-2ax
=(ax2-2ax)+(3x-6)
=ax(x-2)+3(x-2)
=(x-2)(ax+3)
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