中考数学第一轮复习专题 第21课 二次函数含答案.docx
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中考数学第一轮复习专题第21课二次函数含答案
第 21 课 二次函数
本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性质及应用,能根据具体问题求二次函数
的解析式,二次函数的应用。
广东省近 5 年试题规律:
二次函数是必考内容,选择题形式一
般考查二次函数的图象与性质,解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来,难度较
大,通常是压轴题,要么以函数为背景引出动态几何问题,要么以动态图形为背景,渗透二
次函数问题,是数形结合思想的典例。
知识清单
知识点一二次函数的概念
概念
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中 x 是
自变量,a、b、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数
知识点二二次函数的图象和性质
函数
a
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
a>0 a<0
图象
开口方向
抛物线开口向上
抛物线开口向下
对称轴
直线 x=-
b
2a
b
2a
顶点坐标
最值
b 4ac-b2
2a 4a
b 4ac-b2
2a 4a
b
在对称轴的左侧,即当 x<-2a时,y
b 4ac-b2
2a 4a
b 4ac-b2
2a 4a
b
2a
增减性
知识点三
随 x 的增大而减小;在对称轴的右侧, 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧,
b b
即当 x>-2a时, 随 x 的增大而增大, 即当 x>-2a时, 随 x 的增大而减小,
简记左减右增. 简记左增右减.
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c 是常数)的位置与 a,b,c 的关系
字母或
代数式
a
字母的符号
a>0 开口向上
图象的特征
|a|越大开口越小.
1
a<0
b=0
bab>0(b 与 a 同号)
ab<0(b 与 a 异号)
c=0
cc>0
c<0
b2-4ac=0
b2-4acb2-4ac>0
b2-4ac<0
开口向下
对称轴为 y 轴.
对称轴在 y 轴左侧.
对称轴在 y 轴右侧.
经过原点.
与 y 轴正半轴相交.
与 y 轴负半轴相交.
与 x 轴有一个交点(顶点).
与 x 轴有两个交点.
与 x 轴没有交点.
特殊
关系
当 x=1 时,y=a+b+c.
当 x=-1 时,y=a- b+c.
若 a+b+c>0,即当 x=1 时,y>0.
若 a+b+c<0,即当 x=1 时,y<0.
知识点四二次函数平移规律
形如 y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k 形式的函数图象可以相互平移得到,自变量加减左
右移,函数值加减上下移,简单记为:
上加下减,左加右减.
知识点五确定二次函数的解析式
方法
一般式
顶点式
交点式
适用条件及求法
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次
函数解析式为 y=ax2+bx+c.
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次
函数为 y=a(x-h)2+k.
若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二
次函数为 y=a(x-x1)(x-x2).
知识点六二次函数与方程
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.
知识点七二次函数的实际应用
(1)通过阅读理解题意;
(2)分析题目中的变量与常量,以及它们之间的关系;
步骤
(3)依据数量关系或图形的有关性质,列出函数关系式;
(4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围;
(5)利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内确定函数的最大(小)值;
(6)检验结果的合理性,获得问题的答案.
1.(顶点坐标)抛物线 y=(x﹣2)2+3 的顶点坐标是()
A.(2,3)B.(﹣2,3)C.(﹣2,﹣3)D.(2,﹣3)
2.(对称轴)抛物线 y=x2﹣2x﹣1 的对称轴是()
A.x=1B.x=﹣1C.x=2D.x=﹣2
3.(最值)抛物线 y=(x﹣1)2+3()
2
A.有最大值 1B.有最小值 1C.有最大值 3D.有最小值 3
4.(最值)二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是()
A.﹣7B.5C.0D.9
5.(平移规律)将抛物线 y=3x2 平移得到抛物线 y=3(x+2)2,则这个平移过程
正确的是()
A.向左平移 2 个单位
C.向上平移 2 个单位
B.向右平移 2 个单位
D.向下平移 2 个单位
经典回顾
考点一 二次函数的图象与性质
【例 1】(2019•重庆)抛物线 y=﹣3x2+6x+2 的对称轴是()
A.直线 x=2B.直线 x=﹣2C.直线 x=1D.直线 x=﹣1
【点拔】本题考查了二次函数的性质.抛物线 y=a(x﹣h)2+k 的顶点坐标为
(h,k),对称轴为 x=h.
【例 2】(2019•遂宁)二次函数 y=x2﹣ax+b 的图象如图所示,对称轴为直线 x
=2,下列结论不正确的是()
A.a=4
B.当 b=﹣4 时,顶点的坐标为(2,﹣8)
C.当 x=﹣1 时,b>﹣5
D.当 x>3 时,y 随 x 的增大而增大
【点拔】本题考查二次函数的图象与性质,解题的关键是熟练运用二次函数
的图象与系数的关系,本题属于基础题型.
考点二 二次函数与一次函数综合
【例 3】(2018•广东)如图,已知顶点为 C(0,﹣3)的抛物线 y=ax2+b(a≠0)
3
与 x 轴交于 A,B 两点,直线 y=x+m 过顶点 C 和点 B.
(1)求 m 的值;
(2)求函数 y=ax2+b(a≠0)的解析式;
(3)抛物线上是否存在点 M,使得∠MCB=15°?
若存在,求出点 M 的坐标;
若不存在,请说明理由.
【点拔】此题主要考查了二次函数的综合题,需要掌握待定系数法求二次函数解
析式,待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键.
对应训练
1.(2019•衢州)二次函数 y=(x﹣1)2+3 图象的顶点坐标是()
A.(1,3)B.(1,﹣3)C.(﹣1,3)D.(﹣1,﹣3)
2.(2019•温州)已知二次函数 y=x2﹣4x+2,关于该函数在﹣1≤x≤3 的取值范
围内,下列说法正确的是()
A.有最大值﹣1,有最小值﹣2
B.有最大值 0,有最小值﹣1
C.有最大值 7,有最小值﹣1
D.有最大值 7,有最小值﹣2
3.(2019•荆门)抛物线 y=﹣x2+4x﹣4 与坐标轴的交点个数为()
A.0B.1C.2D.3
4.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,则下列结论中,错误的是
()
4
A.ac<0B.b2﹣4ac>0C.2a﹣b=0D.a﹣b+c=0
5.(2019•永州)如图,已知抛物线经过两点 A(﹣3,0),B(0,3),且其对称
轴为直线 x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点(不包括点 A,点
),求PAB
的面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标.
夯实基础
1.(2019•益阳)下列函数中,y 总随 x 的增大而减小的是()
A.y=4xB.y=﹣4xC.y=x﹣4D.y=x2
2.(2019•哈尔滨)将抛物线 y=2x2 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单
位长度,所得到的抛物线为()
A.y=2(x+2)2+3
C.y=2(x﹣2)2﹣3
B.y=2(x﹣2)2+3
D.y=2(x+2)2﹣3
3.(2019•兰州)已知点 A(1,y1),B(2,y2)在抛物线 y=﹣(x+1)2+2 上,
则下列结论正确的是()
A.2>y1>y2B.2>y2>y1C.y1>y2>2D.y2>y1>2
4.(2019•河南)已知抛物线 y=﹣x2+bx+4 经过(﹣2,n)和(4,n)两点,则
n 的值为()
5
A.﹣2B.﹣4C.2D.4
5.(2019•哈尔滨)二次函数 y=﹣(x﹣6)2+8 的最大值是
6.(2019•荆州)二次函数 y=﹣2x2﹣4x+5 的最大值是.
.
7.(2019•天门)矩形的周长等于 40,则此矩形面积的最大值是
.
(
8. 2019•襄阳)如图,若被击打的小球飞行高度 h(单位:
m)与飞行时间 t(单
位:
s)之间具有的关系为 h=20t﹣5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为
s.
能力提升
9.(2019•阜新)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点(﹣1,0)和点(3,
0),则下列说法正确的是()
A.bc<0B.a+b+c>oC.2a+b=0D.4ac>b2
10.(2019•益阳)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:
①ac
<0,②b﹣2a<0,③b2﹣4ac<0,④a﹣b+c<0,正确的是()
A.①②B.①④C.②③D.②④
11.(2019•安顺)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、B
两点,与 y 轴交于 C 点,OA=OC.则由抛物线的特征写出如下结论:
①abc>0;②4ac﹣b2>0;③a﹣b+c>0;④ac+b+1=0.
其中正确的个数是()
6
A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个
(
12. 2019•宁洱县模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c 经过 A(﹣1,0),B(3,0)
两点,且与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的顶点,抛物线对称轴 DE 交 x 轴于
点 E,连接 BD.
(1)求经过 A,B,C 三点的抛物线的函数表达式;
(2)点 P 是线段 BD 上一点,当 PE=PC 时,求点 P 的坐标.
第 21 课 二次函数
课前小测
1.A.
2.A.
3.D.
4.D.
5.A.
经典回顾
考点一 二次函数的图象与性质
【例 1】C.
7
【例 2】C.
考点二 二次函数与一次函数综合
【例 3】解:
(1)将(0,﹣3)代入 y=x+m,得:
m=﹣3;
(2)将 y=0 时,x=3,
∴B 的坐标为(3,0),
将(0,﹣3)、(3,0)代入 y=ax2+b 中,得:
⎧b = -3⎧ a = 1
⎨3 ,
⎪b = -3
1
3
(3)存在,分以下两种情况:
①若 M 在 B 上方,设 MC 交 x 轴于点 D,则∠ ODC=45°+15°=60°,
∴OD=OC•tan30°= 3 ,
设 DC 为 y=kx﹣3,代入(,0),可得:
k= 3 ,
⎧ y = 3x - 3
1
2
,
所以 M1(3 3 ,6);
②若 M 在 B 下方,设 MC 交 x 轴于点 E,则∠ OEC=45°﹣15°=30°,
∴∠OCE=60°,
∴OE=OC•tan60°=3 3 ,
8
设 EC 为 y=kx﹣3,代入(3 3 ,0)可得:
k=3
⎧
x - 3
解方程组 ⎨3
⎪ y = 1 x2 - 3
⎪3
,得:
⎨ 1
2
,
⎩b = 3 ,解得:
⎨b = 3 ,
所以 M2( 3 ,﹣2),
综上所述 M 的坐标为(3 3 ,6)或( 3 ,﹣2).
对应训练
1.A.
2.D.
3.C.
4.C.
5.解:
(1)∵抛物线对称轴是直线 x=﹣1 且经过点 A(﹣3,0)
由抛物线的对称性可知:
抛物线还经过点(1,0)
设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,得
⎧c = 3⎧a = -1
⎪⎪
⎩⎩
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3.
(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,得
⎧-3k + b = 0⎧k = 1
⎨
∴直线 AB 的解析式为 y=x+3,
作 PQ⊥x 轴于 Q,交直线 AB 于 M,
设 P(x,﹣x2﹣2x+3),则 M(x,x+3),
∴PM=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x,
∴S= 1
当 x=﹣ 3
最大
27
3
3
27
9
此时,y=﹣(﹣ 3
3
15
∴△PAB 的面积的最大值为 27
3 15
c = 3 ,
夯实基础
1.B.
2.B.
3.A.
4.B.
5.8.
6.7.
7.100.
8.4.
能力提升
9.C.
10.A.
11.B.
12.解:
(1)∵钭 A(﹣1,0),B(3,0)代入 y=﹣x2+bx+c,得:
⎧-1 - b + c = 0⎧b = 2
⎨,解得 ⎨
⎩ -9 + 3b + c = 0⎩
∴y=﹣x2+2x+3;
(2)如图,连接 PC,PE.
10
抛物线的对称轴为 x=﹣2
当 x=1 时,y=4,
∴点 D 的坐标为(1,4).
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b,得:
⎧k + b = 4⎧k = -2
⎨, 解得 ⎨.
⎩3k + b = 0⎩b = 6
∴y=﹣2x+6,
设点 P 的坐标为(x,﹣2x+6),
又 C(0,3),E(1,0),
∴PC2=x2+(3+2x﹣6)2,
PE2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,
∵PC=PE,
∴x2+(3+2x﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,
解得,x=2,
则 y=﹣2×2+6=2,
∴点 P 的坐标为(2,2).
11
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