北师大版八年级数学下册 12 直角三角形 同步练习.docx
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北师大版八年级数学下册12直角三角形同步练习
1.2 直角三角形同步练习
一、选择题
1.在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,且BC=3,AC=4,则线段CD的长是( )
A.2B.3C.
D.5
2.下面说法正确的是个数有( )
①如果三角形三个内角的比是1:
2:
3,那么这个三角形是直角三角形;
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则这个三角形是直角三角形;
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形;
④如果∠A=∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形;
⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形;
⑥在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形是直角三角形.
A.3个B.4个C.5个D.6个
3.
如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是( )
A.17
B.21
C.24
D.27
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为AC、AB的中点,连DE、CE.则下列结论中不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为( )
A.12
B.6
C.
D.
6.在直角三角形中,如果有一个角是30°,这个直角三角形的三边之比最有可能的是( )
A.3:
4:
5B.1:
1:
C.5:
12:
13D.1:
:
2
7.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图,△ABC是直角三角形,AB⊥CD,图中与∠CAB互余的角有()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
二、填空题
9.如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,若AB=10,则CE=______.
10.
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,D是BC上一点,BD=5,DE⊥AB,垂足为E,则线段DE的长为______.
11.在一个直角三角形中,斜边上的中线长为5,一条直角边长为8,则另一条直角边的长为______.
12.在下列条件中:
①∠A+∠B=∠C,②∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有______(填序号)
13.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,CD⊥AB于点D,若AB=10,则BD=______.
三、解答题
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,AE=BF.求证:
(1)DE=DF;
(2)△DEF为等腰直角三角形.
15.
如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求AD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解:
∵AC=4cm,BC=3,
∴AB=
=5,
∵D为斜边AB的中点,
∴CD=
AB=
×5=
.
故选:
C.
2.【答案】C
【解析】
解:
①三角形三个内角的比是1:
2:
3,
设三个内角的度数分别为x、2x、3x,
由题意得,x+2x+3x=180°,
解得,x=30°,
则3x=90°,
这个三角形是直角三角形,①正确;
②三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,又三角形的一个外角与与它相邻的一个内角互补,
∴这个角为90°,
这个三角形是直角三角形,②正确;
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形,③正确;
④如果∠A=∠B=∠C,那么△ABC是等边三角形,④错误;
⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形,⑤正确;
⑥在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,又∠A+∠B+∠C=180°,
则此三角形是直角三角形,⑥正确,
故选:
C.
3.【答案】A
【解析】
解:
∵CF⊥AB,M为BC的中点,
∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,
∴FM=
BC=
×10=5,
同理可得,ME=
BC=
×10=5,
又∵EF=7,
∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.
故选A.
4.【答案】C
【解析】
解:
A、因为D、E分别为AC、AB的中点,所以ED∥BC.故正确;
B、因为∠ACB=90°,ED∥BC,所以ED⊥AC.故正确;
C、只有在△ABC是等腰直角三角形时才成立,故错误;
D、CE为Rt△ABC斜边上的中线,所以CE=BE=AE,故正确.
故选C.
5.【答案】D
【解析】
解:
连接B'B,
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴AC=A'C,AB=A'B,∠A=∠CA'B'=60°,
∴△AA'C是等边三角形,
∴∠AA'C=60°,
∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°,
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴∠ACA'=∠BAB'=60°,BC=B'C,∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°,
∴△BCB'是等边三角形,
∴∠CB'B=60°,
∵∠CB'A'=30°,
∴∠A'B'B=30°,
∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°,
∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,
∴AB=12,
∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6,
∴B'B=6
,
故选:
D.
6.【答案】D
【解析】
解:
如图,设30°角所对的直角边BC=a,
则AB=2BC=2a,
∴AC=
=
a,
∴三边之比为a:
a:
2a=1:
:
2.
故选D.
7.【答案】C
【解析】
解:
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,
∴∠BCD=∠A.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,
∴∠BEC=∠BCE,
∴BC=BE.
故选:
C.
8.【答案】B
解:
∵CD是Rt△ABC斜边上的高,
∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴与∠A互余的角有∠B和∠ACD共2个.
故选B.
9.【答案】5
【解析】
解:
由直角三角形的性质,得
CE=
AB=5,
故答案为:
5.
10.【答案】3
【解析】
解:
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠C=∠DEB,
∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BCA,
∴
,
即
=
,
∴DE=3,
故答案为:
3.
11.【答案】6
【解析】
解:
∵直角三角形斜边上的中线长为5,
∴直角三角形斜边为10,
∴另一条直角边的长=
=6,
故答案为:
6.
12.【答案】①②③
【解析】
解:
①∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,∠C=90°,则该三角形是直角三角形;
②∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,则该三角形是直角三角形;
③∠A=90°-∠B,则∠A+∠B=90°,∠C=90°.则该三角形是直角三角形;
④∠A=∠B=∠C,则该三角形是等边三角形.
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③.
13.【答案】2.5
【解析】
解:
根据题意,设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k,
则k+2k+3k=180°,
解得k=30°,
2k=60°,
3k=90°,
∵AB=10,
∴BC=
AB=5,
∵CD⊥AB,
∴∠BCD=∠A=30°,
∴BD=
BC=2.5.
故答案为:
2.5.
14.【答案】证明:
(1)连接AD,
∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵AB=AC,DB=CD,
∴∠DAE=∠BAD=45°.
∴∠BAD=∠B=45°.
∴AD=BD,∠ADB=90°.
在△DAE和△DBF中,
.
∴△DAE≌△DBF(SAS).
∴DE=DF;
(2)∵△DAE≌△DBF
∴∠ADE=∠BDF,DE=DF,
∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°,
∴∠ADE+∠ADF=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形
15.【答案】
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=CA=BC,∠BAE=∠ACD=60°;
在△ABE和△CAD中,
,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴AD=BE;
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠CAD=∠ABE,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°;
∵BQ⊥AD,
∴∠AQB=90°,
∴∠PBQ=90°-60°=30°,
∵PQ=3,
∴在Rt△BPQ中,BP=2PQ=6,
又∵PE=1,
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7.
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