圆幂定理讲义带答案.docx
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圆幂定理讲义带答案.docx
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圆幂定理讲义带答案
圆幂定理讲义(带答案)
圆幕定理
STEP1:
进门考
理念:
1.检测垂径定理的基本知识点与题型
2.垂径定理典型例题的回顾检测。
3.分析学生圆部分的薄弱环节
(1)例题复习。
1.(2015戏津县一模)一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放
置,三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上,顶点A,B恰好都落在量
角器的圆弧上,且AB//MN.若AB=8cm,则量角器的直径MN=cm.
【考点】M3:
垂径定理的应用;KQ:
勾股定理;
T7:
解直角三角形.
【分析】作CD丄AB于点D,取圆心O,连接OA,作0E丄AB于点E,首先求得CD的长,即OE的长,在直角厶AOE中,利用勾股定理求得半径0A的长,贝I」MN即可求解.
【解答】解:
作CD丄AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE丄AB于点E.
在直角△ABC中,ZA=30,贝VBC=AB=4cm,
在直角△BCD中,/B=90°-ZA=60°,
:
.CD=BC?
sinB=4X=2二(cm),
OE=CD=2,
在厶AOE中,AE=AB=4cm,
2
则0A=|=n=2-(cm),则
MN=2OA=4—(cm).故答案是:
4
【点评】本题考查了垂径定理的应用,在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形.
2.(20仃狗坝州)如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为()
C.2"cm
D.2cm
【考点】M2:
垂径定理;PB:
翻折变换(折叠问题).
【分析】通过作辅助线,过点0作0D丄AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.
【解答】解:
过点0作0D丄AB交AB于点D,连接OA,
・.•OA=2OD=2cm,二AD=|'=匚
(cm),
•・•0D丄AB,・•・AB=2AD=2cm.故选:
D.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用,正确应用勾股定理是解题关键.
3.(20141泸州)如图,在平面直角坐标系中P的圆心坐标是(3,a)
(a>3),半径为3,函数y=x的图象被。
P截得的弦AB的长为〔「,则a的值是()
A.4
B.討飞、
【考点】M2:
垂径定理;F8:
—次函数图象上点的坐标特征;KQ:
勾股定理.
【专题】11:
计算题;16:
压轴题.
【分析】PC丄x轴于C,交AB于D,作PE丄AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则厶OCD为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE丄AB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2匚,在Rt△PBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,贝VPD=PE=匚,
所以a=3+
【解答】解:
作PC丄x轴于C,交AB于D,作PE丄AB于E,连结PB,如图,
vOP的圆心坐标是(3,a),・•・OC=3,PC=a,
把x=3代入y=x得y=3,/•D点坐标为(3,3),
…CD=3,
•••△OCD为等腰直角三角形,•••△PED也为等腰直角三角形,
•/PE丄AB,•AE=BE=2AB=丄X4应=2伍,在
7227
Rt△PBE中,PB=3,
•-PE=_匚_,•-PD=TPE=二,
【点评】本题考查了垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.
4.(2013?
内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A
(13,0),直线y=kx-3k+4与。
O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值
为•
【考点】FI:
一次函数综合题.
【专题】16:
压轴题.
【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
【解答】解:
•・•直线y=kx-3k+4=k(x-3)+4,
.•・k(x-3)=y-4,•・•k有无数个值,・•・x-3=0?
y-4=0,解得x=3,
y=4,
・•・直线必过点D(3,4),・••最短的弦CB是
过点D且与该圆直径垂直的弦,
•••点D的坐标是(3,4),•••OD=5,
•••以原点O为圆心的圆过点A(13,0),•••圆的半径为13,
•••0B=13,•••BD=12,•••BC的长的最小值为
24;故答案为:
24.
【点评】此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.
STEP2:
新课讲解
教学目标
1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。
2、熟悉有关圆幕定理的相关题型,出题形式与解题思路
3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。
4、通过课上例题,结合课下练习。
掌握此部分的知识。
学习内容
、相交弦定理
相交弦定理
(1)相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
(经过圆内
一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等).
一____D
几何语言:
若弦AB、CD交于点P,贝UPA?
PB=PC?
PD(相交弦定理)
(2)推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项.
I
2
几何语言:
若AB是直径,CD垂直AB于点P,则PC=PA?
PB(相交弦定理推论).
基本题型:
【例1】(2014秋?
工阴市期中)如图,OO的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,
BP=4,CP=2,贝UCD长为()
R
A.6B.12C.8D.不能确定
【考点】M7:
相交弦定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】由相交线定理可得出AP?
BP=CP?
DP再根据AP=3,BP=4,CP=2,可得出PD的长,从而得出CD即可.
【解答】解:
・・・AP?
BP=CP?
DR
・•・PD=AP・BP
CP?
・AP=3,BP=4,CP=2,
・•・PD=6,
・•・CD=PC+PD=2+6=8.
故选C.
【点评】本题考查了相交线定理,圆内两条弦相
交,被交点分成的两条线段的积相等.
【练习1】(2015?
南长区一模)如图,矩形ABCD为。
O的内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长AE交。
O于点F,则线段AF的长为()
F
【考点】M7:
相交弦定理.
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF的长.
【解答】解:
•・•四边形ABCD是矩形,
:
丄B=90,
••・AE=二甘F宀「=-,
•・•BC=3,BE=1,•CE=2,
由相交弦定理得:
AE?
EF=BE?
CE,
•ef=”「丄-_「=>‘「
..AE=V5
・•・AF=AE+EF=‘;
故选:
A.
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理;熟练掌握矩形的性质和相交弦定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
综合题型
【例2】(2004?
畐州)如图,AB是。
O的直径,M是。
O上一点,MN丄AB,
垂足为N.P、Q分别是丁、[上一点(不与端点重合),如果/MNP=/
MNQ,下面结论:
①/1=/2;②/P+ZQ=180;③/Q=/PMN;®
PM=QM:
⑤MN2=PN?
QN.其中正确的是()
A\y
'0B
A.①②③B.①③⑤C•④⑤D•①②⑤
【考点】M7:
相交弦定理;M2:
垂径定理;M4:
圆心角、弧、弦的关系;M5:
圆周角定理;S9:
相似三角形的判定与性质.
【专题】16:
压轴题.
【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析,从而得到答案.
【解答】解:
延长MN交圆于点W,延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE,QF
•••/PNM=/QNM,MN丄AB,
•••/仁/2(故①正确),
•••/2与/ANE是对顶角,
•••/1=ZANE,
•••AB是直径,
•可得PN=EN,
同理NQ=NF,
•••点N是MW的中点,
MN?
NW=MN2=PN?
NF=EN?
NQ=PN?
QN(故⑤
正确),
・•・MN:
NQ=PN:
MN,
•・•/PNM=/QNM,
・•・△NPMs\NMQ,
•••/Q=/PMN(故③正确).
故选B.
【点评】本题利用了相交弦定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理求解.
与代数结合的综合题
【例3】(2016?
中山市模拟)如图,正方形ABCD内接于。
0,点P在劣弧
AB上,连接DP,交AC于点Q•若QP=QO,则I的值为()
D
P
A.加$=;B.「C.心7丁D.
【考点】M7:
相交弦定理;KQ:
勾股定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】设。
O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r-m.利用相交弦定理,求出m与r的关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.
【解答】解:
如图,设OO的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,
QA=r-m.
在OO中,根据相交弦定理,得QA?
QC=QP?
QD.
2J
即(r-m)(r+m)=m?
QD,所以QD=「「.
7in
连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,
口rt22
即—:
:
-J
D7
解得
所以,A:
:
1:
故选D.
【点评】本题考查了相交弦定理,即圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.
需要做辅助线的综合题
【例4】(2008秋?
苏州期末)如图O过M点M交。
O于A,延长。
O的直径AB交。
M于C,若AB=8,BC=1,则AM=.
【考点】M7:
相交弦定理;KQ:
勾股定理;M5:
圆周角定理.
【分析】根据相交弦定理可证AB?
BC=EB?
BF=(EM+MB)(MF-MB)=AM2—MB2=8,又由直径对的圆周角是直角,用勾股定理即可求解AM=6.
【解答】解:
作过点M、B的直径EF,交圆于点E、F,
则EM=MA=MF,
由相交弦定理知,AB?
BC=EB?
BF=(EM+MB)
(MF-MB)=AM2-MB2=8,
tAB是圆O的直径,
・•・/AMB=9°,
由勾股定理得,AM2+MB2=AB2=64,
・•・AM=6.
【点评】本题利用了相交弦定理,直径对的圆周角是直角,勾股定理求解.
割线定理
割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,
这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等.
几何语言:
•/PBA,
PDC是OO的割线
•••PD?
PC=PA?
PB(割线定理)
由上可知:
2
pt2=pa?
pb=pc?
pd.
H
、割线定理
基本题型
【例5】(佃98?
召兴)如图,过点P作。
O的两条割线分别交。
O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是()
A.3B.7.5C.5D.5.5
【考点】MH:
切割线定理.
【分析】由已知可得PB的长,再根据割线定理得PA?
PB=PC?
PD即可求得PD的长.
【解答】解:
・・・PA=3,AB=PC=2,
PB=5,
・PA?
PB=PC?
PD
・•・PD=7.5,
故选B.
【点评】主要是考查了割线定理的运用.
【练习2】(2003茯津)如图,Rt△ABC中,/C=90,AC=3,BC=4,以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长.
【考点】MH:
切割线定理;KQ:
勾股定理.
【分析】Rt△ABC中,由勾股定理可直接求得
AB的长;
延长BC交OC于点F,根据割线定理,得
BE?
BF=BD?
BA由此可求出BD的长,进而可求得AD的长.
【解答】解:
法1:
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4;
根据勾股定理,得AB=5.
延长BC交OC于点F,则有:
EC=CF=AC=3(OC的半径),
BE=BC-EC=1,BF=BC+CF=7;
由割线定理得,BE?
BF=BD?
BA于是BD=所以AD=AB-BD=;
5
法2:
过C作CM丄AB,交AB于点M,如图所示,
由垂径定理可得M为AD的中点,
•・•Saabc=AC?
BC=AB?
CM,且AC=3,BC=4,
AB=5,
・•・CM=,
5
在Rt△ACM中,根据勾股定理得:
AC2=AM2+CM2,即9=AM2+()2,
解得:
AM=;,
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.
综合题型
16n过小
【例6】(2015武汉校级模拟)如图,两同心圆间的圆环的面积为
圆上任意一点P作大圆的弦AB,则PA?
PB的值是()
A.16B.16冗C.4D.4n
【考点】MH:
切割线定理.
【分析】过P点作大圆的直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到PA?
PB=(OC-OP)?
(OP+0D)=R2-r2,再利用nR2-n2=16n得到R2-r2=16,所以
PA?
PB=16
【解答】解:
过P点作大圆的直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,
•••PA?
PB=PC?
PD
:
.PA?
PB=(OC-OP)?
(OP+OD)
=(R-r)(R+r)
=R2-r2,
•••两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为16n,
22
•:
nR-n2=16n
•:
R2-r2=16,
・:
PA?
PB=16
故选A.
【点评】本题考查了垂径定理:
平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.
【思考】观察讲义课后练习最后一道题,是否有思路?
三、切割线定理
切割线定理
切割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的
积相等.
几何语言:
•••PBA,PDC是OO的割线
•••PD?
PC=PA?
PB(割线定理)
由上可知:
PT=PA?
PB=PC?
PD..[〕
2
【例7】(2013?
长清区二模)如图,PA为OO的切线,A为切点,OO的割线
PBC过点0与OO分别交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求OO的半径.
【考点】MH:
切割线定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】连接OA,设OO的半径为rem,由勾股定理,列式计算即可.
【解答】解:
连接OA,设OO的半径为rem,(2分)
则r2+82=(r+4)2,(4分)
解得r=6,AOO的半径为6cm.(2分)
【点评】本题考查的是切割线定理,勾股定理,是基础知识要熟练掌握.
【练习3】(2013秋?
东台市期中)如图,点P是OO直径AB的延长线上一点,
PC切OO于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于()
A.2B.3C.4D.5
【考点】MH:
切割线定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】根据题意可得出PC2=PB?
PA,再由
OB=3,PB=2,贝VPA=8,代入可求出PC.
【解答】解:
•••PC、PB分别为OO的切线和割
线,・•・PC2=PB?
PA
・•・PA=8,・・・PC2=PB?
PA=2X
•・•0B=3,PB=2,
8=16,二PC=4.
故选C.
【点评】本题考查了切割线定理,熟记切割线定理的公式pc2=pb?
pa
四、切线长定理
切割线定理
(1)圆的切线长定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连
线,平分两条切线的夹角.
(3)注意:
切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的
IV
长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
(4)切线长定理包含着一些隐含结论:
1垂直关系三处;
2全等关系三对;
3弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.
【例8](2015篠皇岛校级模拟)如图,一圆内切四边形ABCD,且BC=10,
AD=7,贝U四边形的周长为()
A.32B.34C.36D.38
【考点】MG:
切线长定理.
【分析】根据切线长定理,可以证明圆外切四边形的性质:
圆外切四边形的两组对边和相等,从而可求得四边形的周长.
【解答】解:
由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等,
所以四边形的周长=2X(7+10)=34.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了切线长定理,熟悉圆外切四边形的性质:
圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.
【练习4】(2015?
岳池县模拟)如图,PA,PB切<3O于A,B两点,CD切<3O于点E交PA,PB于C,D,若3O的半径为r,△PCD的周长为3r,连接OA,OP,则二的值是()
X眾'C-D-
【考点】MG:
切线长定理;MC:
切线的性质.
【分析】利用切线长定理得出CA=CF,DF=DB,
PA=PB,进而得出PA=r,求出即可.
【解答】解:
•••PA,PB切。
O于A,B两点,
CD切OO于点E交PA,PB于C,D,・•・CA=CF,DF=DB,PA=PB,・•・PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,
二PA=r,
则「的值是:
:
=.
Tr
故选:
D.
【点评】此题主要考查了切线长定理,得出PA
的长是解题关键.
【例9】(2014秋?
夏津县校级期末)如图,P为。
O外一点,PA,PB分别切
OO于A,B,CD切。
O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则厶PCD的周长和/COD分别为()
A.5,丄(90°/P)B.7,90°丄C.10,90°—丄/PD.10,90°丄/P
2222
【考点】MG:
切线长定理.
【分析】根据切线长定理,即可得到PA=PB,
ED=AD,CE=BC,从而求得三角形的周长=2PA;连接0A、OE、OB根据切线性质,/P+/AOB=180,再根据CD为切线可知/COD=*/AOB.
【解答】解:
・・・pa、PB切O0于A、B,CD切O0于E,
・・・PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;
・•・△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即△PCD的周长=2PA=10,;
如图,连接OA、OE、OB.
由切线性质得,OA丄PA,OB丄PB,OE丄CD,
DB=DE,AC=CE,
・・・AO=OE=OB,
易证△AOC◎△EOC(SAS),△EOD◎△BOD(SAS),
:
丄AOC=/EOC,/EOD=/BOD,
・•・/COD=1/AOB,
:
丄AOB=18°-ZP,
・•・/COD=90-1ZP.
2
故选:
C.
【点评】本题考查了切线的性质,运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题,是基础题型.
五、圆幕定理
请尝试解出下列例题:
【例10](2005旷州)如图,在直径为6的半圆汁上有两动点M、N,弦AM、
BN相交于点P,贝UAP?
AM+BP?
BN的值为
A:
【考点】M7:
相交弦定理;KQ:
勾股定理;M5:
圆周角定理.
【专题】16:
压轴题;25:
动点型.
【分析】连接AN、BM,根据圆周角定理,由AB是直径,可证/AMB=90,由勾股定理知,bp2=mp2+bm2,由相交弦定理知,AP?
PM=BP?
PN,原式=AP(AP+PM)+BP
(bp+pn)
=ap2+ap?
pm+bp2+bp?
pn=aP2+bp2+2ap?
pm=
AP2+MP2+BM2+2AP?
PM=AP2+(AP+PM)
2=AP2+AM2=AB2=36.
【解答】解:
连接AN、BM,
•••AB是直径,
・•・/AMB=9°.
・•・bp2=mp2+bm2
•・•AP?
PM=BP?
PN
原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)
=ap2+ap?
pm+bp2+bp?
pn
=AP2+BP2+2AP?
PM
=ap2+mp2+bm2+2ap?
pm
=BM2+(AP+PM)2=BM2+AM2=AB2=36.
【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理,勾股定理求解.
以上四条定理统称为圆幕定理。
(部分参考书以前三条为圆幕定理)
I
nmiv
圆幕定理:
过平面内任一点P(P与圆心0不重合)做。
O的(切)割线,
交。
0与点A、B,则恒有PAPB=
OP2-r2
。
(“
OP2-r2
”被称为点P到O0
的幂。
)
Practice
STEP3:
落实巩固
查漏补缺
理念:
找到自己本节课的薄弱环节
STEP4:
总结
理念:
本结课复习了什么?
学到了什么?
方法:
学生口述+笔记记录。
STEP5:
课后练习
一•选择题(共5小题)
AP=6,BP=2,CP=4,贝U
1•如图所示,已知。
O中,弦AB,CD相交于点P,
PD的长是()
A.6B.5
【分析】可运用相交弦定理求解,
圆内的弦AB,
CD相交于P,因此AP?
PB=CP?
PD代入已知
数值计算即可.
【解答】解:
由相交弦定理得AP?
PB=CP?
PD
•/AP=6,BP=2,CP=4,
•••PD=AP?
PB*CP=6x2-4=3.
故选D.
【点评】本题主要考查的是相交弦定理圆内两
弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.
2.OO的两条弦AB与CD相交于点P,PA=3cmPB=4cmPC=2cm则CD=()
A.12cmB.
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