学年高中数学人教A版选修12创新应用教学案第三章章末小结与测评含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修12创新应用教学案第三章章末小结与测评含答案
复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础,其中有虚数单位i,复数的代数形式,实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等.有关复数题目的解答是有别于实数问题的,应根据有关概念求解.
[典例1]
(1)复数
+
的虚部是( )
A.
iB.
C.-
iD.-
(2)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )
A.1B.2C.1或2D.-1
解析:
(1)选B
+
=
+
=
+
=-
+
i,故虚部为
.
(2)选B 由纯虚数的定义,可得
解得a=2.
[对点训练]
1.设z1=a+2i,z2=3-4i,且
为纯虚数,则实数a的值为________.
解析:
设
=bi(b∈R且b≠0),所以z1=bi·z2,即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.所以
所以a=
.
答案:
2.设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,试求实数m的取值,使
(1)z是纯虚数;
(2)z是实数;(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限.
解:
(1)由
得m=3.
∴当m=3时,z是纯虚数.
(2)由
得m=-1或m=-2.
∴当m=-1或m=-2时,z是实数.
(3)由
得
-1 或1+ ∴当-1 或1+ 1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减;乘法类比多项式乘法;除法类比分式的分子分母有理化,注意i2=-1. 2.复数四则运算法则是进行复数运算的基础,同时应熟练掌握i幂的周期性变化,即i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查. 另外计算要注意下面结论的应用: (1)(a±b)2=a2±2ab+b2, (2)(a+b)(a-b)=a2-b2, (3)(1±i)2=±2i, (4) =-i, (5) =i, =-i, (6)a+bi=i(b-ai). [典例2] 复数 等于( ) A. + iB. - i C.- + iD.- - i 解析: 选D =- = =- - i. [典例3] 已知复数z1= ,z2=a-3i(a∈R). (1)若a=2,求z1· ; (2)若z= 是纯虚数,求a的值. 解: 由于z1= = = = =1-3i. (1)当a=2时,z2=2-3i, ∴z1· 2=(1-3i)·(2+3i)=2+3i-6i+9=11-3i. (2)若z= = = = 为纯虚数,则应满足 解得a=-9.即a的值为-9. [对点训练] 3.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+iB.-1-i C.1+iD.1-i 解析: 选A z= =-1+i,故选A. 4.设a,b∈R,a+bi= (i为虚数单位),则a+b的值为________. 解析: ∵a+bi= ,∴a+bi= =5+3i.根据复数相等的充要条件可得a=5,b=3, 故a+b=8. 答案: 8 5.计算: (1)(1-i) (1+i); (2) ;(3)(2-i)2. 解: (1)法一: (1-i) (1+i) = (1+i) = (1+i) = + i+ i+ i2 =-1+ i. 法二: 原式=(1-i)(1+i) =(1-i2) =2 =-1+ i. (2) = = = = =i. (3)(2-i)2=(2-i)(2-i) =4-4i+i2=3-4i. 复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点Z(a,b)一一对应,和向量OZ―→一一对应,正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键. [典例4] 若i为虚数单位,如图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数 的点是( ) A.EB.FC.GD.H 解析: 选D 由题图可得z=3+i,所以 = = = =2-i,则其在复平面上对应的点为H(2,-1). [典例5] 已知z是复数,z+2i, 均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 解: 设z=x+yi(x,y∈R), 则z+2i=x+(y+2)i, = = (x+yi)(2+i) = (2x-y)+ (2y+x)i. 由题意知 ∴ ∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=[4+(a-2)i]2 =(12+4a-a2)+8(a-2)i, 由已知得
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