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大学物理第5章习题解答
第五章机械振动
5-1一远洋货轮,质量为M2104t,浮在水面对其水平截面积为S2103m2。
设在
水面附近货轮的截面积与货轮高度无关,试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动,并求其自由振动的周期。
解:
取固定坐标xOy,坐标原点O在水面上(图题所示)
设货轮静止不动时,货轮上的A点恰在水面上,则浮力为Sρga.这时
2
故M
dy
2sgy0
dt2
2
dy2
2dt2
故作简谐振动
sg
M
T22M22130431036.35(s)
sg21031039.8
5-2重物A的质量M=1kg,放在倾角300的光滑斜面上,并用绳跨过定滑轮与劲度系数k49Nm1的轻弹簧连接,如习题5-2图所示,将物体由弹簧未形变的位置静止释放,并开始计时,试求:
(1)不计滑轮质量,物体A的运动方程;
(2)滑轮为质量M,半轻r的均质圆盘,物体A的运动方程。
解:
取物体A为研究对象,建立坐标Ox轴沿斜面向下,原点取在平衡位置处,即在初始位置斜下方距离l0处,此时:
mgsin
l00.1(m)
(1)
(1)A物体共受三力;重mg,支持力N,张力T.不计滑轮质量时,有T=kx
列出A在任一位置x处的牛顿方程式
mgsinT
mgsink(l0x)
d2x
m2
dt
将
(1)式代入上式,整理后得
2
dt
又由
(1)式知mgsinkl0
故(1Mm)
2
2
dx
2
即ddt2x
kx0
M
(m)
2
M
m
2
可见,物体A仍作简谐振动,此时圆频率为:
由于初始条件:
x0l0,v00
可知,A、不变,故物体A的运动方程为
x0.1cos(5.7t)m
由以上可知:
弹簧在斜面上的运动,仍为简谐振动,但平衡位置发生了变化,滑轮的质量改变了系统的振动频率.
5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示,试根据图得出该质点的振动表达式。
解:
简谐振动的振动表达式:
xAcos(t)
由题图可知,A4102m,当t=0时,将x2102m代入简谐振动表达式,得:
1
cos
2
由Asin(t),当t=0时,Asin
1由图可知,>0,即sin0,故由cos,取
2
又因:
t=1s时,x210m,将其入代简谐振动表达式,
24cos,
3
由t=1s时,Asin
<0知,sin0,取,
3333
即
质点作简谐振动的振动表达式为
3
5-4在一个电量为Q,半径为R的均匀带电球中,沿某一直径挖一条隧道,另一质量为m,
电量为-q的微粒在这个隧道中运动,试求证该微粒的运动是简谐振动,并求出振动周期
(设
带电球体介电常数为0)。
解:
以该球的球心为原点,假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r,由高斯定理可
Qr
知EQr3,则微粒在此处受电场力为:
F40R
3
40R
式中,负号表明电场F的方向与r的正方向相反,指向球心.由上式及牛顿定律,得:
F3r040R
22
drQqdrQq
m23r023r0dt40Rdt40mR
则
2
dr2
22r0
dt2
故微粒作简谐振动,平衡点在球心处
.由T2
知:
40mR3T24Q0qmR
3
40Rm
5-5如习题5-5图所示,有一轻质弹簧,其劲度系数k=500Nm1,上端固定,下端悬挂
质量M=4.0kg的物体A,在物体A的正下方h=0.6m处,以初速度v014.0ms1的速度向
上抛出一质量m=1.0kg的油灰团B,击中A并附着于A上。
(1)证明A与B作简谐振动;
(2)写出它们共同作简谐振动的振动表达式;
(3)弹簧所受的最大拉力是多少?
(取g10ms2,弹簧未挂重物时,其下端端点位
于O点)
解:
(1)取弹簧原长所在位置为O点.当弹簧挂上物体A时,处于静止位置P点,有:
MgkOP
将A与B粘合后,挂在弹簧下端,静止平衡所在位置O点,取O点为原坐标原点如图题
5-5所示,则有:
kOO(Mm)g
设当B与A粘在一起后,在其运动过程的任一位置,弹簧形变量OOx,则A、B系统
所受合力为:
可求得:
Ax02020.0447(m)
2
0.65
arctan
x0
(3)弹簧所受的最大拉力,应是弹簧最大形变时的弹力,最大形变为:
Mm
xOOAgA0.1447m
k
则最大拉力Fmaxkx72.4N
5-6一物体竖直悬挂在劲度系数k的弹簧上简谐振动,设振幅A=0.24m,周期T=4.0s,开始时在平衡位置下方0.12m处向上运动。
求
(1)物体作简谐振动的振动表达式;
(2)物体由初始位置运动到平衡位置上方0.12处所需的最短时间;
(3)物钵在平衡位置上方0.12m处所受到的合外刀的大小及方向(设物体的质量为l.0kg)。
2
解:
(1)已知A=0.24m,,如选x轴向下为正方向.
T2
1已知初始条件x00.12m,00即0.120.24cos,cos,
0023
而0Asin0,sin0,取,故:
3
x0.24costm
23
(2)如图题所示坐标中,在平衡位置上方0.12m,即x=-0.12m处,有
1
cost
232
2
t
233
则取
因为所求时间为最短时间,故物体从初始位置向上运动,
(3)物体在平衡位置上方0.12m处所受合外力Fmx0.3N,指向平衡位置5-7如习题5-7图所示,质量m=10g的子弹,以v1000ms1的速度射入一在光滑平面上与弹簧相连的木块,并嵌入其中,致使弹簧压缩而作简谐振动,若木块质量M=4.99kg,弹簧的劲度系数k810Nm,求简谐振动的振动表达式。
解:
子弹射入木块为完全非弹性碰撞,设u为子弹射入木块后二者共同速度,由动量定理可知:
m
u2.0(m/s)
Mm
不计摩擦,弹簧压缩过程中系统机械能守恒,即:
1(Mm)u21kx02(x0为弹簧最大形变量)
220
Mm2
x0u5.010m
由此简谐振动的振幅Ax05.010
系统圆频率k40(rad/s)Mm
若取物体静止时的位置O(平衡位置)为坐标原点,Ox轴水平向右为正,则初始条件为:
t=0时,x=0,0u2.0m/s0
由x0Acos,0Asin,得:
2则木块与子弹二者作简谐振动,其振动表达式为:
2
x5.010cos(40t)m2
5-8如习题5-8图所示,质量为m1的光滑物块和弹簧构成振动系统,已知两弹簧的劲度系数分别为k1=3.0Nm1,k2=1.0Nm1,:
此系统沿弹簧的长度方向振动,周朗T1=1.0s,
振幅A1=0.05m,当物块经过平衡位置时有质量为m2=0.10kg的油泥块竖直落到物体上并立
即粘住,求新的振动周期T2和振幅A。
解:
当物体m1向右移动x时,左方弹簧伸长x,右方弹簧缩短x,但它们物体的作用方向是相同的,均与物体的位移方向相反,即
F(k1xk2x)
令F=-kx,有:
kk1k24N/m
m
由T2
k
22
T1kT1k
得m112120.1(kg)
4242
则粘上油泥块后,新的振动系统质量为:
m1m20.20kg
mm
新的周期T22m1m21.4(s)
k
在平衡位置时,m2与m1发生完全非弹性碰撞.
碰撞前,m1的速度11A10.10m/s
设碰撞后,m1和m2共同速度为.
根据动量守恒定律,
m11(m1m2)
新的振幅
T
A220.035(m)
22
5-9质量为0.2kg的质点作简谐振动,其振动方程为x0.60sin5t,式中x的单位为2
m,t的单位为s,求:
(1)振动周期;
(2)质点初始位置,初始速度;
A
(3)质点在经过A且向正向运动时的速度和加速度以及此时质点所受的力
2
(4)质点在何位置时其动能、势能相等?
解:
(1)由振动方程x0.60sin(5t)知,A0.6m,5(rad/s)
2
22
故振动周期:
T1.256(s)1.26(s)
5
(2)t=0时,由振动方程得:
x00.60m
dx
0|t03.0cos(5t)0
dt2
(3)由旋转矢量法知,此时的位相:
3
3
速度Asin0.605()m/s2.6(m/s)
2
可得:
xA0.42(m)
5-10手持一块平板。
平板上放一质量m=0.5kg的砝码,现使平板在竖直方向上振动,设这振动为简谐振动,频率v=2Hz,振幅A=0.04m,问:
(1)位移最大时,砝码对平板的正压力多大?
(2)以多大振幅振动时,会便砝码脱离平板?
(3)如果振动频率加快一倍,则砝码随板保持一起振动的振幅上限如何?
解:
(1)砝码运动到最高点时,加速度最大,方向向下,由牛顿第二定律,有:
mamaxmgN
N是平板对砝码的支持力.
故Nm(gamax)m(gA)m(g42vA)1.74(N)
砝码对板的正压力与N大小相等,方向相反.砝码运动到最低点时,加速度也是最大,但方向向上,由牛顿第二定律,有:
mamaxNmg
故Nm(gamax)m(g42v2A)8.1(N)砝码对板的正压力与板对砝码的支持力N大小相等,方向相反
(2)当N=0时,砝码开始脱离平板,故此时的振幅应满足条件:
0.0155m
Amax1Amax
maxmax
4
5-11有一在光滑水平面上作简谐振动的弹簧振子,劲度系数为k,物体质量为m,振幅为A,当物体通过平衡位置时,有一质量为m'的泥团竖直落在物体上,并与之粘结在一起,求:
(1)系统的振动周期和振幅;
(2)振动总能量损失了多少?
(3)如果当物体达到振幅A时,泥团竖直落在物体上,则系统的周期和振幅又是多?
振动的总能量是否改变?
物体系统通过平衡位置的速度又是多少?
解:
(1)设振子过平衡位置时的速度为,由机械能守恒,有:
1212k
kA2m2A
由水平方向动量定理:
(mm)umu
mm
此后,系统振幅为A,由机械能守恒,有:
12
kA
2
12(mm)u
2
得:
mmmA
mm
有:
mm
(2)碰撞前后系统总能量变化为:
1212EkAkA
22式中,负号表示能量损耗,这是泥团与物体的非弹性碰撞所致.
1
kA(
2
2m
1)
mm
m12mmm(12kA2)
(3)当m达到振幅A时,m竖直落在m上,碰撞前后系统在水平方向的动量均为零,因
而系统的振幅仍为A,周期为2
mm12
,系统的振动总能量不变,为kA2(非弹性碰k2
撞损耗的能量为源于碰撞前m的动能).
1212kA(mm)22
物体系统过平衡位置时的速度由:
得:
k
A
mm
5-12一水平放置的简谐振子,如习题
AA
5-12a图所示,当其从运动到的位置处(A是
22
振幅)需要的最短时间为t1.0s,
现将振子竖直悬挂,如习题5-2b图所示,现由平衡位
置向下拉0.1m,然后放手,让其作简谐振动,已知m=5.0kg,以向上方向为x轴正方向,t=0
时,m处于平衡位置下方且向x轴负方向运动,其势能为总能量的
0.25倍,试求:
(1)振动的周期、圆频率、振幅
(2)t=0时,振子的位置,速度和加速度
(3)t=0时,振子系统的势能、动能和总能量
(4)振动的位移表达式。
解:
(1)由放置矢量法可知,振子从
A
运动到
2
A
的位置处,
2
角相位的最小变化为:
3
则圆频率
rad/s
习题5-12图
周期
由初始状态,在图示坐标中,初始条件为:
6s
x00.1m
A0.1(m)
00
x0.05(m)
则振幅
1
(2)因为EpE
p4
又
故
得:
1
2
1
Ep
kx
2,E
kA
2
2
12
1
1
2
kx2
(kA
2)
2
4
2
根据题意,振子在平衡位置的下方,取x=-0.05m.
根据振动系统的能量守恒定律:
1kx
1kA
22
Ax0.091(ms)
根据题意,取0.091m/s
再由
xAcos(tt)
Asin(t)
dv
dt
A2cos(t)
得:
a0.055(m/s2)
3)t=0时,
11121223
EpE(kA2)2mA26.810(J)p4428
3123223
(kA)mA2110(J)
428
4)由简谐振动的振动表达式
xAcos(t)
当t=0时,
x00.05m,0
0.091m/s0,可得:
又A0.10m,
3
2
故x0.1cos(t)m
33
5-13作简谐振动的P、Q两质点,它们的振幅分别为Ap5.0102m,AQ2.0102m,圆频率都为rads1,初相位分别为P,Q,求:
33
(1)它们各自的振动位移表达式;
(2)当t=ls时,它们的x、v、a各是多少?
(3)判断哪一个质点振动超前?
解:
(1)据题意,两质点振动方程分别为:
2
xP5.0010cos(t)m
3
2
xQ2.0010cos(t)m
3
(2)P、Q两质点的速度及加速度表达分别为:
dxP2
PP5.0010sin(t)(m/s)dt3
dxQ
2
Q
2.0010
sin(t
)(m/s)
dt
3
dP
2
2
2
25.0010
cos(t
)(m/s2)
aP
dt
3
22.00102cos(t)(m/s2)
3
当t=1s时,有:
242
xP5.0010cosm2.510(m)
3
222xQ2.00102cosm1.00102(m)
3
24
P5.0010
sin
m/s13.6010
3
(m/s)
2
2
2
Q
2.0010
sin
m/s
5.4410
(m/s)
3
2
2
4
2
22
aP
25.0010
cos
m/
s
24.68
102(m/s2)
3
2
2
2
2
22
aQ
22.0010
cos
m/s
9.8710(m/s)
3)由相位差
5-14一质量m1.00102kg的质点作振幅为A=5.00102m的简谐振动,初始位置在
1
位移1A处并向着平衡位置运动,每当它通过平衡位置时的动能Ek为3.08105J。
2k
(1)写出质点的振动表达式;
(2)求出初始位置的势能。
解:
(1)由题意得初始条件:
1
x0A
02
00
可得:
(由旋转矢量法可证出)
3
在平衡位置的动能就是质点的总能量
E1kA21m2A23.08105(J)22
12E可求得:
rad/s
Am2
则振动表达式为:
2
x5.0010cos(t)m
23
(2)初始位置势能
1
2
1222
EP
kx
mAcos
(t)
2
2
2
3
当t=0时,
1
222
EPm
Acos
2
3
1
2
2
2
22
6
1
.00102
()2
(5.00102)
cos
J7.71106J
2
2
3
5-15质量m=10g的小球作简谐振动,其A=0.24m,v0.25Hz,当t=0时,初位移为
1.2101m,并向着平衡位置运动,求
(l)t=0.5s时,小球的位置;
(2)t=0.5s时,小球所受力的大小与方向;
(3)从起始位置到x12cm处所需的最短时间;
(4)在x12cm处小球的速度与加速度;
(5)t=4s时,Ek,Ep以及系统的总能量。
解:
(1)由初始条件:
1
x01.210m
00
可知,
3
且2v
2
则振动表达式为:
x0.24cos(t)m23
当t=0.5s时,
12x0.24cos()m6.0010m223
(2)t=0.5s时,小球所受力:
23fmam(x)1.4810(N)
因t=0.5s时,小球的位置在x6.0010m处,即小球在x轴负方向,而f的方向是沿
x轴正方向,总是指向平衡位置.
(3)从初始位置x01.2101m到x1.2101m所需最短时间设为t,由旋转矢量法
知,
x0处,
3
2
x处,
3
12
在x1.2101m处ts
3
2
2
1
0.24sin(
)m/s
3.2610m/s
2
2
33
2
2
2
0.24cos(
)
0.24cos(t)
4
2
3
3
423
1222
0.01()20.242sin2(4)J
2223
4
5.33104(J)
121222
EPkxmAcos(t)
2223
1222
0.01()20.242cos2(4)J
2223
4
1.77104(J)
4-4-4
E总EkEP5.3310J1.7710J7.1010(J)
若1与2的方向与上述情况相反,故用同样的方法,可得:
21
5-17已知两个简谐振动的xt曲线如习题5-17图所示,它们的频率相同,求它们的合振动的振动表达式。
解:
由图题5-17(图在课本上P200)所示曲线可以看出,两个简谐振动的振幅相同,即
2
A1A20.05m,周期均匀T0.1s,因而圆频率为:
20
T
由x-t曲线可知,简谐振动1在t=0时,x100,且100,故可求得振动1的初位相
3
10.
2
同样,简谐振动2在t=0时,x200.05m,200,可知20
故简谐振动1、2的振动表达式分别为:
3
x10.05cos(20t)
2
x20.05cos(20t)m
因此,合振动的振幅和初相位分别为:
AA1A22A1A2cos(2010)5210m
A1sin10A2sin20
0arctan
A1cos10A2cos20
5arcta1n或
44
5但由x-t曲线知,t=0时,xx1x20.05,因此应取.
4
25故合振动的振动表达式:
x52102cos(20t)m
4
5-18已知两个同方向、同频率的简谐振动如下
33
x10.05cos10tx20.06cos10t式中x单位为m,t单位为s。
1525
(1)求它们合振动的振幅与初相位
为何值时,x2x3的振幅最小?
(3)用旋转矢量法表示
(1)、
(2)两小问的结果。
解:
(1)它们的合振动幅度初相位分别为:
AA1A22A1A2cos(21)
0.050.06220.050.06cos()m
55
0.0892m
A1sin1A2sin2arctan
A1cos1A2cos2
3
0.05sin
0.06sin
5
5
3
0.05cos
0.06cos
5
5
arctan
2.51.19rad
6813
x2x3的振幅最小
A=0.20m,合振动的相位与第一个
A1=0.173m,求第二个振动的振幅及第一、第二
5-19图所示.由习题5-19图及余弦定理可知
(300100)习题5-19图0
1
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- 大学物理 习题 解答